Медленно меняющаяся функция

В реальном анализе , разделе математики , медленно меняющаяся функция — это функция действительной переменной , поведение которой на бесконечности в некотором смысле похоже на поведение функции, сходящейся на бесконечности. Точно так же правильно меняющаяся функция — это функция действительной переменной, поведение которой на бесконечности аналогично поведению степенной функции (например, полинома ) вблизи бесконечности. Оба эти класса функций были введены Йованом Караматой . ^[1]^[2] и нашли несколько важных применений, например, в теории вероятностей .

Основные определения

Определение 1 . L Измеримая функция $: (0, +\infty) \to (0, +\infty)$ называется медленно меняющейся (на бесконечности), если для всех $a >$ 0

\lim _{x\to \infty }{\frac {L(ax)}{L(x)}}=1.

Определение 2 . Пусть $L : (0, +\infty) \to (0, +\infty)$ . Тогда $L$ — правильно меняющаяся функция тогда и только тогда, когда $\forall a>0,g_{L}(a)=\lim _{x\to \infty }{\frac {L(ax)}{L(x)}}\in \mathbb {R} ^{+}$ . В частности, предел должен быть конечным.

Эти определения принадлежат Йовану Карамате . ^[1]^[2]

Основные свойства

Правильно меняющиеся функции обладают некоторыми важными свойствами: ^[1] неполный их список приведен ниже. Более обширный анализ свойств, характеризующих регулярные вариации, представлен в монографии Бингема, Голди и Тьюгельса (1987) .

Равномерность предельного поведения

Теорема 1 . Предел в определениях 1 и 2 является равномерным , если $а$ ограничено компактным интервалом .

Теорема о характеризации Караматы

Теорема 2 . Любая правильно меняющаяся функция $f : (0, +\infty) \to (0, +\infty)$ имеет вид

f(x)=x^{\beta }L(x)

где

$β$ — действительное число ,
$L$ — медленно меняющаяся функция.

Примечание . Это означает, что функция $g (a)$ в определении 2 обязательно должна иметь следующий вид

g(a)=a^{\rho }

где действительное число $ρ$ называется индексом регулярного изменения .

Теорема о представлении Караматы

Теорема 3 . Функция $L$ является медленно меняющейся тогда и только тогда, когда существует $B > 0$ такое, что для всех $x \geq B$ функцию можно записать в виде

L(x)=\exp \left(\eta (x)+\int _{B}^{x}{\frac {\varepsilon (t)}{t}}\,dt\right)

где

$η (x)$ — ограниченная измеримая функция действительной переменной, сходящаяся к конечному числу при $стремлении x$ к бесконечности.
$ε (x)$ — ограниченная измеримая функция действительной переменной, сходящаяся к нулю при $стремлении x$ к бесконечности.

Примеры

Если $L$ — измеримая функция и имеет предел

\lim _{x\to \infty }L(x)=b\in (0,\infty ),

тогда

L

— медленно меняющаяся функция.

Для любого $β \in R$ функция $L (x) = log б x$ медленно меняется.
Функция $L (x) = x$ не является медленно меняющейся, равно как и $L (x) = x б$ для любого вещественного $β \neq 0$ . Однако эти функции регулярно меняются.

См. также

Аналитическая теория чисел
Тауберова теорема Харди – Литтлвуда и ее трактовка Караматы

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б ^с См. ( Галамбос и Сенета, 1973 ).
^ Jump up to: ^а ^б См. ( Бингем, Голди и Тьюгельс, 1987 ).

Ссылки

Бингхэм, Нью-Хэмпшир (2001) [1994], «Теория Караматы» , Энциклопедия математики , EMS Press
Бингем, Нью-Хэмпшир; Голди, CM; Тойгельс, Дж. Л. (1987), Регулярная вариация , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 27, Кембридж : Издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-30787-2 , МР 0898871 , Збл 0617.26001
Галамбос, Дж.; Сенета, Э. (1973), «Регулярно меняющиеся последовательности», Труды Американского математического общества , 41 (1): 110–116, doi : 10.2307/2038824 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2038824 .

[GaSe-1] Jump up to: ^а ^б ^с См. ( Галамбос и Сенета, 1973 ).

[BiGoTe-2] Jump up to: ^а ^б См. ( Бингем, Голди и Тьюгельс, 1987 ).

[1]

[2]