Теорема Маркова–Какутани о неподвижной точке

В математике теорема Маркова-Какутани о неподвижной точке , названная в честь Андрея Маркова и Шизуо Какутани , утверждает, что коммутирующее семейство непрерывных аффинных самоотображений компактного выпуклого подмножества в локально выпуклом топологическом векторном пространстве имеет общую неподвижную точку. Эта теорема является ключевым инструментом в одном из самых быстрых доказательств аменабельности абелевых групп.

Заявление

Позволять $X$ — локально выпуклое топологическое векторное пространство с компактным выпуклым подмножеством $K$ . Позволять $S$ — семейство непрерывных отображений $K$ самому себе, которые коммутируют и аффинны , что означает, что $T(\lambda x+(1-\lambda )y)=\lambda T(x)+(1-\lambda )T(y)$ для всех $\lambda$ в $(0,1)$ и $T$ в $S$ . Тогда отображения в $S$ разделять фиксированную точку. ^{[ 1 ]}

Доказательство единственного аффинного самоотображения

Позволять $T$ быть непрерывным аффинным самоотображением $K$ .

Для $x$ в $K$ определить сеть $\{x(N)\}_{N\in \mathbb {N} }$ в $K$ к

x(N)={1 \over N+1}\sum _{n=0}^{N}T^{n}(x).

С $K$ компактна, существует конвергентная подсеть в $K$ :

x(N_{i})\rightarrow y.\,

Чтобы доказать это $y$ является фиксированной точкой, достаточно показать, что $f(Ty)=f(y)$ для каждого $f$ в дуале $X$ . (Двойственный разделяет точки по теореме Хана-Банаха ; здесь используется предположение о локальной выпуклости.)

С $K$ компактен, $|f|$ ограничен $K$ положительной константой $M$ . С другой стороны

|f(Tx(N))-f(x(N))|={1 \over N+1}|f(T^{N+1}x)-f(x)|\leq {2M \over N+1}.

принимая $N=N_{i}$ и переходя к пределу как $i$ стремится к бесконечности, отсюда следует, что

f(Ty)=f(y).\,

Следовательно

Ty=y.\,

Доказательство теоремы

Множество неподвижных точек одного аффинного отображения $T$ — непустое компактное выпуклое множество $K^{T}$ по результату для одного отображения. Другие отображения в семье $S$ ездить с $T$ так что уходи $K^{T}$ инвариант. Последовательно применяя результат для одного отображения, следует, что любое конечное подмножество $S$ имеет непустое множество неподвижных точек, заданное как пересечение компактных выпуклых множеств $K^{T}$ как $T$ колеблется по подмножеству. От компактности $K$ следует, что множество

K^{S}=\{y\in K\mid Ty=y,\,T\in S\}=\bigcap _{T\in S}K^{T}\,

непусто (и компактно, и выпукло).

Цитаты

^ Конвей 1990 , стр. 151–152.

Ссылки

Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9 . OCLC 21195908 .
Марков А. (1936), "Некоторые теоремы об абелевых множествах", Докл. Акад. Наук СССР , 10 : 311–314.
Какутани, С. (1938), «Две теоремы о неподвижной точке, касающиеся бикомпактных выпуклых множеств», Proc. Имп. Акад. Токио , 14 : 242–245.
Рид, М.; Саймон, Б. (1980), Функциональный анализ , методы математической физики, том. 1 (2-е исправленное изд.), Academic Press, стр. 1. 152, ISBN 0-12-585050-6

[FOOTNOTEConway1990151–152-1] Конвей 1990 , стр. 151–152.

[ 1 ]