Самое низкое и самое важное
В математике понятия существенной нижней и существенной верхней грани родственны понятиям нижней и верхней граней , но адаптированы для теории измерения и функционального анализа , где часто приходится иметь дело с утверждениями, которые справедливы не для всех элементов множества , а скорее почти для всех элементов множества. везде , кроме множества меры нуль .
Хотя точное определение не является сразу простым, интуитивно основная верхняя граница функции — это наименьшее значение, которое больше или равно значениям функции повсюду, игнорируя при этом то, что функция делает в наборе точек нулевой меры. Например, если взять функцию который равен нулю везде, кроме точки где тогда верхняя грань функции равна единице. Однако ее существенная верхняя грань равна нулю, если мы применяем меру Лебега-Бореля и можем игнорировать то, что функция делает в единственной точке, где является своеобразным. Аналогичным образом определяется существенная нижняя грань.
Определение
[ редактировать ]Как это часто бывает в вопросах теории меры, определение существенной верхней и нижней границы не начинается с вопроса, что представляет собой функция делает в точках есть образ ( то ), а скорее запросив набор баллов где равно определенному значению есть прообраз ( то под ).
Позволять быть вещественнозначной определенной функцией, на множестве Супремум функции характеризуется следующим свойством: для всех и если для некоторых у нас есть для всех затем Точнее, реальное число. называется верхней границей для если для всех то есть, если набор пусто . Позволять — множество верхних границ и определим нижнюю границу пустого множества по Тогда верхняя грань является если набор верхних границ непусто, и в противном случае.
Теперь предположим дополнительно, что — пространство с мерой , и для простоты предположим, что функция измеримо. Подобно супремуму, существенный супремум функции характеризуется следующим свойством: для - почти все и если для некоторых у нас есть для - почти все затем Точнее, ряд называется существенная верхняя граница если измеримое множество представляет собой набор -измерить ноль, [а] То есть, если для - почти все в Позволять — множество существенных верхних границ. Тогда существенная супремум определяется аналогично как если и в противном случае.
Точно так же определяют существенная нижняя грань как верхняя грань существенную нижнюю границу s , т.е. если множество существенных нижних оценок непусто и так как в противном случае; снова есть альтернативное выражение, как (при этом если множество пусто).
Примеры
[ редактировать ]На прямой рассмотрим меру Лебега и соответствующую ей 𝜎-алгебру Определить функцию по формуле
Верхняя грань этой функции (наибольшее значение) равна 5, а нижняя грань (наименьшее значение) равна −4. Однако функция принимает эти значения только на множествах и соответственно, которые имеют нулевую меру. Везде функция принимает значение 2. Таким образом, и существенная верхняя грань, и существенная нижняя грань этой функции равны 2.
В качестве другого примера рассмотрим функцию где обозначает рациональные числа . Эта функция неограничена как сверху, так и снизу, поэтому ее верхняя и нижняя границы равны и соответственно. Однако с точки зрения меры Лебега множество рациональных чисел имеет нулевую меру; таким образом, действительно важно то, что происходит в дополнении к этому набору, где функция задается как Отсюда следует, что существенная верхняя грань равна в то время как существенная нижняя грань
С другой стороны, рассмотрим функцию определено для всех реальных Его существенная супремум и его существенная нижняя грань равна
Наконец, рассмотрим функцию Тогда для любого и так и
Характеристики
[ редактировать ]Если затем и в противном случае, если имеет меру ноль, тогда [1]
Если существенные супремумы двух функций и оба неотрицательны, то
Учитывая пространство меры пространство состоящее из всех измеримых функций, ограниченных почти всюду, является полунормированным пространством которого , полунорма является существенным супремумом абсолютного значения функции, когда [номер 1]
См. также
[ редактировать ]- пространство - функциональные пространства, обобщающие конечномерные пространства с нормой p.
Примечания
[ редактировать ]- ^ Если затем
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Дьедонне Ж .: Трактат об анализе, Vol. II. Ассошиэйтед Пресс, Нью-Йорк, 1976. стр. 172f.
В эту статью включены материалы из Essential supremum на сайте PlanetMath , который распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .