Алгебра Гекке конечной группы

Алгебра Гекке конечной группы это алгебра, на двойные классы класса HgH подгруппы H натянутая конечной группы G. — Это частный случай алгебры Гекке локально компактной группы .

Определение

Пусть F — поле , нулевой характеристики G — конечная группа и H — подгруппа в G . Позволять $F[G]$ обозначают групповая алгебра группы G : пространство F -значных функций на G с умножением, заданным сверткой. Мы пишем $F[G/H]$ для пространства F -значных функций на $G/H$. ( F -значная) функция на G / H определяет и определяется функцией на G инвариантной относительно правого действия H. , То есть происходит естественная идентификация:

$F[G/H]=F[G]^{H}.$

Аналогичным образом происходит идентификация

$R:=\operatorname {End} _{G}(F[G/H])=F[G]^{H\times H}$

задается путем отправки G -линейной карты f на значение f, оцененное в характеристической функции H . Для каждого двойного класса $HgH$, позволять $T_{g}$ обозначим его характеристическую функцию. Тогда эти $T_{g}$составляют основу R ​ .

Применение в теории представлений

Позволять $\varphi :G\rightarrow GL(V)$ — любое конечномерное комплексное представление конечной группы G , алгебры Гекке $H=\operatorname {End} _{G}(V)$ алгеброй G - эквивариантных эндоморфизмов V . является Для каждого неприводимого представления $W$ группы G действие ​ H ​ на V сохраняет ${\tilde {W}}$ – компонент изотипический $W$ – и ездит с $W$ как G. действие

См. также

• Гельфандская пара

Ссылки

• Клаудио Процесси (2007) Группы Ли: подход через инварианты и представления , Спрингер, ISBN   9780387260402 .
• Марк Ридер (2011) Заметки о представлениях конечных групп, заметки .