Теория представлений конечных групп

Теория представлений групп . — это часть математики, которая исследует, как группы действуют на заданные структуры

Здесь основное внимание уделяется, в частности, операциям групп над векторными пространствами . группы, действующие на другие группы или множества Тем не менее, рассматриваются также . Для получения более подробной информации обратитесь к разделу, посвященному представлениям перестановок .

За исключением нескольких отмеченных исключений, в этой статье будут рассматриваться только конечные группы. Мы также ограничимся векторными пространствами над полями характеристики нулевой . Поскольку теория алгебраически замкнутых полей нулевой характеристики полна, теория, справедливая для специального алгебраически замкнутого поля нулевой характеристики, справедлива и для любого другого алгебраически замкнутого поля нулевой характеристики. Таким образом, без ограничения общности мы можем изучать векторные пространства над $\mathbb {C} .$

Теория представлений используется во многих разделах математики, а также в квантовой химии и физике. Помимо прочего, он используется в алгебре для изучения структуры групп. Есть также приложения в гармоническом анализе и теории чисел . Например, теория представлений используется в современном подходе для получения новых результатов об автоморфных формах.

Определение

Линейные представления

Позволять $V$ быть $K$– векторное пространство и $G$ конечная группа. Линейное представление ​ $G$ является групповым гомоморфизмом $\rho :G\to {\text{GL}}(V)={\text{Aut}}(V).$ Здесь ${\text{GL}}(V)$ — обозначение общей линейной группы , а ${\text{Aut}}(V)$ для группы автоморфизмов . Это означает, что линейное представление — это отображение $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$ который удовлетворяет $\rho (st)=\rho (s)\rho (t)$ для всех $s,t\in G.$ Векторное пространство $V$ называется пространством представления $G.$ Часто термин «представительство» $G$ также используется для пространства представления $V.$

Представление группы в модуле вместо векторного пространства также называется линейным представлением.

Мы пишем $(\rho ,V_{\rho })$ для представительства $\rho :G\to {\text{GL}}(V_{\rho })$ из $G.$ Иногда мы используем обозначение $(\rho ,V)$ если ясно, к какому представлению относится пространство $V$ принадлежит.

В этой статье мы ограничимся изучением конечномерных пространств представления, за исключением последней главы. Поскольку в большинстве случаев только конечное число векторов в $V$ представляет интерес, достаточно изучить подпредставление, порожденное этими векторами. Пространство представления этого подпредставления тогда конечномерно.

Степень . представления - это размерность его пространства представления $V.$ Обозначения $\dim(\rho )$ иногда используется для обозначения степени представления $\rho .$

Примеры

Тривиальное представление имеет вид $\rho (s)={\text{Id}}$ для всех $s\in G.$

Представление степени $1$ группы $G$ является гомоморфизмом в мультипликативную группу $\rho :G\to {\text{GL}}_{1}(\mathbb {C} )=\mathbb {C} ^{\times }=\mathbb {C} \setminus \{0\}.$ Поскольку каждый элемент $G$ имеет конечный порядок, значения $\rho (s)$ являются корнями единства . Например, пусть $\rho :G=\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \to \mathbb {C} ^{\times }$ — нетривиальное линейное представление. С $\rho$ является групповым гомоморфизмом, он должен удовлетворять $\rho ({0})=1.$ Потому что $1$ генерирует $G,\rho$ определяется его значением Не удалось проанализировать (SVG (MathML можно включить через плагин браузера): неверный ответ («Расширение Math не может подключиться к Restbase.») с сервера «http://localhost:6011/en.wikipedia.org» /v1/":): {\displaystyle \rho(1).} И как $\rho$ является нетривиальным, $\rho ({1})\in \{i,-1,-i\}.$ Таким образом, мы достигаем того результата, что изображение $G$ под $\rho$ должна быть нетривиальной подгруппой группы, состоящей из корней четвертой степени из единицы. Другими словами, $\rho$ должна быть одна из следующих трех карт:

${\begin{cases}\rho _{1}({0})=1\\\rho _{1}({1})=i\\\rho _{1}({2})=-1\\\rho _{1}({3})=-i\end{cases}}\qquad {\begin{cases}\rho _{2}({0})=1\\\rho _{2}({1})=-1\\\rho _{2}({2})=1\\\rho _{2}({3})=-1\end{cases}}\qquad {\begin{cases}\rho _{3}({0})=1\\\rho _{3}({1})=-i\\\rho _{3}({2})=-1\\\rho _{3}({3})=i\end{cases}}$

Позволять $G=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ и пусть $\rho :G\to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )$ — групповой гомоморфизм, определяемый формулой:

$\rho ({0},{0})={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \rho ({1},{0})={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad \rho ({0},{1})={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \rho ({1},{1})={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.$

В этом случае $\rho$ является линейным представлением $G$ степени $2.$

Представление перестановок

Дополнительная информация: Группа перестановок.

Позволять $X$ конечное множество и пусть $G$ быть группой, действующей $X.$ Обозначим через ${\text{Aut}}(X)$ группа всех перестановок на $X$ с композицией как групповым умножением.

Группа, действующая на конечном множестве, иногда считается достаточной для определения представления перестановок. Однако, поскольку мы хотим построить примеры для линейных представлений, где группы действуют на векторных пространствах, а не на произвольных конечных множествах, нам придется действовать другим путем. Чтобы построить представление перестановок, нам нужно векторное пространство $V$ с $\dim(V)=|X|.$ Основа $V$ могут быть индексированы элементами $X.$ Представление перестановок - это групповой гомоморфизм $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$ предоставлено $\rho (s)e_{x}=e_{s.x}$ для всех $s\in G,x\in X.$ Все линейные карты $\rho (s)$ однозначно определяются этим свойством.

Пример. Позволять $X=\{1,2,3\}$ и $G={\text{Sym}}(3).$ Затем $G$ действует на $X$ с помощью ${\text{Aut}}(X)=G.$ Соответствующее линейное представление $\rho :G\to {\text{GL}}(V)\cong {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )$ с $\rho (\sigma )e_{x}=e_{\sigma (x)}$ для $\sigma \in G,x\in X.$

Лево- и право-регулярное представление

Основная статья: Регулярное представление § Конечные группы

Позволять $G$ быть группой и $V$ быть векторным пространством размерности $|G|$ с основой $(e_{t})_{t\in G}$ индексируется элементами $G.$ Леворегулярное представление является частным случаем представления перестановок при выборе $X=G.$ Это означает $\rho (s)e_{t}=e_{st}$ для всех $s,t\in G.$ Таким образом, семья $(\rho (s)e_{1})_{s\in G}$ изображений $e_{1}$ являются основой $V.$ Степень леворегулярного представления равна порядку группы.

Праворегулярное представление определено в том же векторном пространстве с аналогичным гомоморфизмом: $\rho (s)e_{t}=e_{ts^{-1}}.$ Точно так же, как и раньше $(\rho (s)e_{1})_{s\in G}$ является основой $V.$ Как и в случае леворегулярного представления, степень праворегулярного представления равна порядку $G.$

Оба представления изоморфны через $e_{s}\mapsto e_{s^{-1}}.$ По этой причине их не всегда выделяют отдельно и часто называют «обычным» представительством.

Более пристальный взгляд дает следующий результат: заданное линейное представление $\rho :G\to {\text{GL}}(W)$ изоморфно существует леворегулярному представлению тогда и только тогда, когда $w\in W,$ такой, что $(\rho (s)w)_{s\in G}$ является основой $W.$

Пример. Позволять $G=\mathbb {Z} /5\mathbb {Z}$ и $V=\mathbb {R} ^{5}$ с основой $\{e_{0},\ldots ,e_{4}\}.$ Тогда лево-регулярное представление $L_{\rho }:G\to {\text{GL}}(V)$ определяется $L_{\rho }(k)e_{l}=e_{l+k}$ для $k,l\in \mathbb {Z} /5\mathbb {Z} .$ Праворегулярное представление определяется аналогично формулой $R_{\rho }(k)e_{l}=e_{l-k}$ для $k,l\in \mathbb {Z} /5\mathbb {Z} .$

Представления, модули и алгебра свертки

Позволять $G$ конечная группа, пусть $K$ — коммутативное кольцо и пусть $K[G]$ быть групповой алгеброй $G$ над $K.$ Эта алгебра свободна, и ее базис может индексироваться элементами $G.$ Чаще всего основу отождествляют с $G$. Каждый элемент $f\in K[G]$ тогда может быть однозначно выражено как

$f=\sum _{s\in G}a_{s}s$ с $a_{s}\in K$.

Умножение в $K[G]$ расширяет это в $G$ распределительно.

Теперь позвольте $V$ быть $K$– модуль и пусть $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$ быть линейным представлением $G$ в $V.$ Мы определяем $sv=\rho (s)v$ для всех $s\in G$ и $v\in V$. Путем линейного расширения $V$ наделен структурой лево- $K[G]$–модуль. Наоборот, мы получаем линейное представление $G$ начиная с $K[G]$–модуль $V$. Кроме того, гомоморфизмы представлений находятся в биективном соответствии с гомоморфизмами групповых алгебр. Таким образом, эти термины могут использоваться как взаимозаменяемые. Это пример изоморфизма категорий .

Предполагать $K=\mathbb {C} .$ В этом случае левый $\mathbb {C} [G]$–модуль, заданный $\mathbb {C} [G]$ само соответствует леворегулярному представлению. Таким же образом $\mathbb {C} [G]$ как право $\mathbb {C} [G]$–module соответствует праворегулярному представлению.

Ниже мы определим алгебру свертки : Пусть $G$ быть группой, множеством $L^{1}(G):=\{f:G\to \mathbb {C} \}$ это $\mathbb {C}$–векторное пространство с операциями сложения и скалярного умножения, то это векторное пространство изоморфно $\mathbb {C} ^{|G|}.$ Свертка двух элементов $f,h\in L^{1}(G)$ определяется

$f*h(s):=\sum _{t\in G}f(t)h(t^{-1}s)$

делает $L^{1}(G)$ алгебра ​ . Алгебра $L^{1}(G)$ называется алгеброй свертки .

Алгебра свертки свободна и имеет базис, индексированный элементами группы: $(\delta _{s})_{s\in G},$ где

$\delta _{s}(t)={\begin{cases}1&t=s\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

Используя свойства свертки, получаем: $\delta _{s}*\delta _{t}=\delta _{st}.$

Мы определяем карту между $L^{1}(G)$ и $\mathbb {C} [G],$ определяя $\delta _{s}\mapsto e_{s}$ на основе $(\delta _{s})_{s\in G}$ и расширяя его линейно. Очевидно, что априорное отображение является биективным . Более тщательный анализ свертки двух базисных элементов, как показано в приведенном выше уравнении, показывает, что умножение в $L^{1}(G)$ соответствует тому, что в $\mathbb {C} [G].$ Таким образом, алгебра свертки и групповая алгебра изоморфны как алгебры.

Инволюция ​

$f^{*}(s)={\overline {f(s^{-1})}}$

поворачивается $L^{1}(G)$ в $^{*}$– алгебра . У нас есть $\delta _{s}^{*}=\delta _{s^{-1}}.$

Представительство $(\pi ,V_{\pi })$ группы $G$ распространяется на $^{*}$– алгебраический гомоморфизм $\pi :L^{1}(G)\to {\text{End}}(V_{\pi })$ к $\pi (\delta _{s})=\pi (s).$ Поскольку мультипликативность является характерным свойством гомоморфизмов алгебр, $\pi$ удовлетворяет $\pi (f*h)=\pi (f)\pi (h).$ Если $\pi$ унитарна, мы также получаем $\pi (f)^{*}=\pi (f^{*}).$ Определение унитарного представления можно найти в главе, посвященной свойствам . В этой главе мы увидим, что (без ограничения общности) любое линейное представление можно считать унитарным.

Используя алгебру свертки, мы можем реализовать преобразование Фурье на группе $G.$ В области гармонического анализа показано, что следующее определение согласуется с определением преобразования Фурье на $\mathbb {R} .$

Позволять $\rho :G\to {\text{GL}}(V_{\rho })$ быть представлением и пусть $f\in L^{1}(G)$ быть $\mathbb {C}$-значная функция на $G$. Преобразование Фурье ${\hat {f}}(\rho )\in {\text{End}}(V_{\rho })$ из $f$ определяется как

${\hat {f}}(\rho )=\sum _{s\in G}f(s)\rho (s).$

Это преобразование удовлетворяет ${\widehat {f*g}}(\rho )={\hat {f}}(\rho )\cdot {\hat {g}}(\rho ).$

Карты между представлениями

См. Также: Эквивариантное отображение и теория представлений § Эквивариантные отображения и изоморфизмы.

Карта между двумя представлениями $(\rho ,V_{\rho }),\,(\tau ,V_{\tau })$ из той же группы $G$ это линейная карта $T:V_{\rho }\to V_{\tau },$ с имуществом, которое $\tau (s)\circ T=T\circ \rho (s)$ держится для всех $s\in G.$ Другими словами, следующая диаграмма коммутирует для всех $s\in G$:

Такая карта еще называется $G$–линейное , или эквивариантное отображение . Ядро ​ , образ и коядро ​ $T$ определены по умолчанию. Композиция эквивариантных карт снова является эквивариантной картой. Существует категория представлений которых являются эквивариантные отображения , морфизмами . Они снова $G$–модули. Таким образом, они обеспечивают представление $G$ из-за корреляции, описанной в предыдущем разделе.

Неприводимые представления и лемма Шура.

Основная статья: лемма Шура

Позволять $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$ быть линейным представлением $G.$ Позволять $W$ быть $G$-инвариантное подпространство $V,$ то есть, $\rho (s)w\in W$ для всех $s\in G$ и $w\in W$. Ограничение $\rho (s)|_{W}$ является изоморфизмом $W$ на себя. Потому что $\rho (s)|_{W}\circ \rho (t)|_{W}=\rho (st)|_{W}$ держится для всех $s,t\in G,$ эта конструкция представляет собой $G$ в $W.$ называется субпредставлением Это $V.$Любое представление V имеет по крайней мере два подпредставления: одно, состоящее только из 0, и то, которое состоит из V. самого Представление называется неприводимым представлением , если эти два являются единственными подпредставлениями. Некоторые авторы также называют эти представления простыми, поскольку они представляют собой в точности простые модули над групповой алгеброй. $\mathbb {C} [G]$.

Лемма Шура накладывает сильные ограничения на отображения между неприводимыми представлениями. Если $\rho _{1}:G\to {\text{GL}}(V_{1})$ и $\rho _{2}:G\to {\text{GL}}(V_{2})$ оба являются неприводимыми, и $F:V_{1}\to V_{2}$ является линейным отображением таким, что $\rho _{2}(s)\circ F=F\circ \rho _{1}(s)$ для всех $s\in G.$, существует следующая дихотомия:

• Если $V_{1}=V_{2}$ и $\rho _{1}=\rho _{2},$ $F$ является гомотетией (т.е. $F=\lambda {\text{Id}}$ для $\lambda \in \mathbb {C}$). В более общем смысле, если $\rho _{1}$ и $\rho _{2}$ изоморфны, пространство G -линейных отображений одномерно.
• В противном случае, если два представления не изоморфны, F должно быть равно 0.

Характеристики

Два представления $(\rho ,V_{\rho }),(\pi ,V_{\pi })$ называются эквивалентными или изоморфными , если существует $G$– изоморфизм линейного векторного пространства между пространствами представления. Другими словами, они изоморфны, если существует биективное линейное отображение $T:V_{\rho }\to V_{\pi },$ такой, что $T\circ \rho (s)=\pi (s)\circ T$ для всех $s\in G.$ В частности, эквивалентные представления имеют одинаковую степень.

Представительство $(\pi ,V_{\pi })$ называется верным, когда $\pi$ является инъективным . В этом случае $\pi$ индуцирует изоморфизм между $G$ и изображение $\pi (G).$ Поскольку последняя является подгруппой ${\text{GL}}(V_{\pi }),$ мы можем рассматривать $G$ с помощью $\pi$ как подгруппа ${\text{Aut}}(V_{\pi }).$

Мы можем ограничить диапазон, а также домен:

Позволять $H$ быть подгруппой $G.$ Позволять $\rho$ быть линейным представлением $G.$ Обозначим через ${\text{Res}}_{H}(\rho )$ ограничение $\rho$ в подгруппу $H.$

Если нет опасности путаницы, мы можем использовать только ${\text{Res}}(\rho )$ или короче ${\text{Res}}\rho .$

Обозначения ${\text{Res}}_{H}(V)$ или короче ${\text{Res}}(V)$ также используется для обозначения ограничения представления $V$ из $G$ на $H.$

Позволять $f$ быть функцией на $G.$ Мы пишем ${\text{Res}}_{H}(f)$ или в ближайшее время ${\text{Res}}(f)$ для ограничения на подгруппу $H.$

Можно доказать, что число неприводимых представлений группы $G$ (или соответственно количество простых $\mathbb {C} [G]$–модулей) равно числу сопряженности классов $G.$

Представление называется полупростым или вполне приводимым, если его можно записать в виде прямой суммы неприводимых представлений. Это аналогично соответствующему определению полупростой алгебры.

Для определения прямой суммы представлений обратитесь к разделу о прямых суммах представлений .

Представление называется изотипическим , если оно представляет собой прямую сумму попарно изоморфных неприводимых представлений.

Позволять $(\rho ,V_{\rho })$ быть заданным представлением группы $G.$ Позволять $\tau$ быть неприводимым представлением $G.$ $\tau$– изотип $V_{\rho }(\tau )$ из $G$ определяется как сумма всех неприводимых подпредставлений $V$ изоморфен $\tau .$

Каждое векторное пространство над $\mathbb {C}$ может быть снабжен внутренним продуктом . Представительство $\rho$ группы $G$ в векторном пространстве, наделенном скалярным произведением, называется унитарным , если $\rho (s)$ является единым для каждого $s\in G.$ Это означает, что, в частности, каждый $\rho (s)$ является диагонализируемым . Подробнее см. статью об унитарных представлениях .

Представление унитарно относительно данного внутреннего продукта тогда и только тогда, когда внутренний продукт инвариантен относительно индуцированной операции $G,$ то есть тогда и только тогда, когда $(v|u)=(\rho (s)v|\rho (s)u)$ держится для всех $v,u\in V_{\rho },s\in G.$

Данный внутренний продукт $(\cdot |\cdot )$ можно заменить инвариантным внутренним произведением, заменив $(v|u)$ с

$\sum _{t\in G}(\rho (t)v|\rho (t)u).$

Таким образом, без ограничения общности можно считать, что каждое дальнейшее рассматриваемое представление унитарно.

Пример. Позволять $G=D_{6}=\{{\text{id}},\mu ,\mu ^{2},\nu ,\mu \nu ,\mu ^{2}\nu \}$ быть диэдра порядка группой $6$ созданный $\mu ,\nu$ которые удовлетворяют свойствам ${\text{ord}}(\nu )=2,{\text{ord}}(\mu )=3$ и $\nu \mu \nu =\mu ^{2}.$ Позволять $\rho :D_{6}\to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )$ быть линейным представлением $D_{6}$ определяется на генераторах следующим образом:

$\rho (\mu )=\left({\begin{array}{ccc}\cos({\frac {2\pi }{3}})&0&-\sin({\frac {2\pi }{3}})\\0&1&0\\\sin({\frac {2\pi }{3}})&0&\cos({\frac {2\pi }{3}})\end{array}}\right),\,\,\,\,\rho (\nu )=\left({\begin{array}{ccc}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{array}}\right).$

Это представление является верным. Подпространство $\mathbb {C} e_{2}$ это $D_{6}$– инвариантное подпространство. Таким образом, существует нетривиальное подпредставление $\rho |_{\mathbb {C} e_{2}}:D_{6}\to \mathbb {C} ^{\times }$ с $\nu \mapsto -1,\mu \mapsto 1.$ Следовательно, представление не является неприводимым. Упомянутое подпредставление имеет степень единицу и неприводимо. подпространство Дополнительное ​ $\mathbb {C} e_{2}$ является $D_{6}$– тоже инвариант. Таким образом, мы получаем подпредставление $\rho |_{\mathbb {C} e_{1}\oplus \mathbb {C} e_{3}}$ с

$\nu \mapsto {\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,\,\,\,\mu \mapsto {\begin{pmatrix}\cos({\frac {2\pi }{3}})&-\sin({\frac {2\pi }{3}})\\\sin({\frac {2\pi }{3}})&\cos({\frac {2\pi }{3}})\end{pmatrix}}.$

Это подпредставление также неприводимо. Это означает, что исходное представление полностью приводимо:

$\rho =\rho |_{\mathbb {C} e_{2}}\oplus \rho |_{\mathbb {C} e_{1}\oplus \mathbb {C} e_{3}}.$

Оба подпредставления изотипичны и представляют собой два единственных ненулевых изотипа $\rho .$

Представительство $\rho$ унитарен относительно стандартного внутреннего произведения на $\mathbb {C} ^{3},$ потому что $\rho (\mu )$ и $\rho (\nu )$ являются унитарными.

Позволять $T:\mathbb {C} ^{3}\to \mathbb {C} ^{3}$ — любой изоморфизм векторного пространства. Затем $\eta :D_{6}\to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} ),$ которое определяется уравнением $\eta (s):=T\circ \rho (s)\circ T^{-1}$ для всех $s\in D_{6},$ является представлением, изоморфным $\rho .$

Ограничив область представления подгруппой, например $H=\{{\text{id}},\mu ,\mu ^{2}\},$ мы получаем представление ${\text{Res}}_{H}(\rho ).$ Это представление определяется изображением $\rho (\mu ),$ явный вид которого показан выше.

Конструкции

Двойное представительство

Основная статья: Двойное представительство

Позволять $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$ быть заданным представлением. Двойное представление или контрагредиентное представление $\rho ^{*}:G\to {\text{GL}}(V^{*})$ является представлением $G$ в двойственном векторном пространстве $V.$ Это определяется свойством

$\forall s\in G,v\in V,\alpha \in V^{*}:\qquad \left(\rho ^{*}(s)\alpha \right)(v)=\alpha \left(\rho \left(s^{-1}\right)v\right).$

Что касается естественного спаривания $\langle \alpha ,v\rangle :=\alpha (v)$ между $V^{*}$ и $V$ определение выше дает уравнение:

$\forall s\in G,v\in V,\alpha \in V^{*}:\qquad \langle \rho ^{*}(s)(\alpha ),\rho (s)(v)\rangle =\langle \alpha ,v\rangle .$

Пример смотрите на главной странице по этой теме: Двойное представление .

Прямая сумма представлений

См. Также: Прямая сумма § Прямая сумма представлений групп.

Позволять $(\rho _{1},V_{1})$ и $(\rho _{2},V_{2})$ быть представителем $G_{1}$ и $G_{2},$ соответственно. Прямая сумма этих представлений является линейным представлением и определяется как

$\forall s_{1}\in G_{1},s_{2}\in G_{2},v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2}:\qquad {\begin{cases}\rho _{1}\oplus \rho _{2}:G_{1}\times G_{2}\to {\text{GL}}(V_{1}\oplus V_{2})\\[4pt](\rho _{1}\oplus \rho _{2})(s_{1},s_{2})(v_{1},v_{2}):=\rho _{1}(s_{1})v_{1}\oplus \rho _{2}(s_{2})v_{2}\end{cases}}$

Позволять $\rho _{1},\rho _{2}$ быть представителями одной и той же группы $G.$ Для простоты прямая сумма этих представлений определяется как представление $G,$ то есть это дается как $\rho _{1}\oplus \rho _{2}:G\to {\text{GL}}(V_{1}\oplus V_{2}),$ просмотрев $G$ как диагональная подгруппа $G\times G.$

Пример. Пусть (здесь $i$ и $\omega$ являются мнимой единицей и примитивным кубическим корнем из единицы соответственно):

${\begin{cases}\rho _{1}:\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )\\[4pt]\rho _{1}(1)={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\end{cases}}\qquad \qquad {\begin{cases}\rho _{2}:\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )\\[6pt]\rho _{2}(1)={\begin{pmatrix}1&0&\omega \\0&\omega &0\\0&0&\omega ^{2}\end{pmatrix}}\end{cases}}$

Затем

${\begin{cases}\rho _{1}\oplus \rho _{2}:\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}\left(\mathbb {C} ^{2}\oplus \mathbb {C} ^{3}\right)\\[6pt]\left(\rho _{1}\oplus \rho _{2}\right)(k,l)={\begin{pmatrix}\rho _{1}(k)&0\\0&\rho _{2}(l)\end{pmatrix}}&k\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,l\in \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \end{cases}}$

Поскольку достаточно рассмотреть образ порождающего элемента, находим, что

$(\rho _{1}\oplus \rho _{2})(1,1)={\begin{pmatrix}0&-i&0&0&0\\i&0&0&0&0\\0&0&1&0&\omega \\0&0&0&\omega &0\\0&0&0&0&\omega ^{2}\end{pmatrix}}$

Тензорное произведение представлений

Смотрите также: Теория представлений § Тензорные произведения представлений

Позволять $\rho _{1}:G_{1}\to {\text{GL}}(V_{1}),\rho _{2}:G_{2}\to {\text{GL}}(V_{2})$ быть линейными представлениями. Определим линейное представление $\rho _{1}\otimes \rho _{2}:G_{1}\times G_{2}\to {\text{GL}}(V_{1}\otimes V_{2})$ в произведение тензорное $V_{1}$ и $V_{2}$ к $\rho _{1}\otimes \rho _{2}(s_{1},s_{2})=\rho _{1}(s_{1})\otimes \rho _{2}(s_{2}),$ в котором $s_{1}\in G_{1},s_{2}\in G_{2}.$ Это представление называется внешним тензорным произведением представлений $\rho _{1}$ и $\rho _{2}.$ Существование и единственность есть следствие свойств тензорного произведения .

Пример. Мы еще раз рассмотрим пример, приведенный для прямой суммы :

${\begin{cases}\rho _{1}:\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )\\[4pt]\rho _{1}(1)={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\end{cases}}\qquad \qquad {\begin{cases}\rho _{2}:\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )\\[6pt]\rho _{2}(1)={\begin{pmatrix}1&0&\omega \\0&\omega &0\\0&0&\omega ^{2}\end{pmatrix}}\end{cases}}$

Внешнее тензорное произведение

${\begin{cases}\rho _{1}\otimes \rho _{2}:\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{3})\\(\rho _{1}\otimes \rho _{2})(k,l)=\rho _{1}(k)\otimes \rho _{2}(l)&k\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,l\in \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \end{cases}}$

Используя стандартную основу $\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{3}\cong \mathbb {C} ^{6}$ у нас есть следующее для генерирующего элемента:

$\rho _{1}\otimes \rho _{2}(1,1)=\rho _{1}(1)\otimes \rho _{2}(1)={\begin{pmatrix}0&0&0&-i&0&-i\omega \\0&0&0&0&-i\omega &0\\0&0&0&0&0&-i\omega ^{2}\\i&0&i\omega &0&0&0\\0&i\omega &0&0&0&0\\0&0&i\omega ^{2}&0&0&0\end{pmatrix}}$

Замечание. Обратите внимание, что прямая сумма и тензорные произведения имеют разные степени и, следовательно, представляют собой разные представления.

Позволять $\rho _{1}:G\to {\text{GL}}(V_{1}),\rho _{2}:G\to {\text{GL}}(V_{2})$ — два линейных представления одной и той же группы. Позволять $s$ быть элементом $G.$ Затем $\rho (s)\in {\text{GL}}(V_{1}\otimes V_{2})$ определяется $\rho (s)(v_{1}\otimes v_{2})=\rho _{1}(s)v_{1}\otimes \rho _{2}(s)v_{2},$ для $v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2},$ и мы пишем $\rho (s)=\rho _{1}(s)\otimes \rho _{2}(s).$ Тогда карта $s\mapsto \rho (s)$ определяет линейное представление $G,$ которое также называют тензорным произведением данных представлений.

Эти два случая следует строго различать. Первый случай — это представление группового произведения в тензорное произведение соответствующих пространств представления. Второй случай представляет собой представление группы $G$ в тензорное произведение двух пространств представления этой одной группы. Но этот последний случай можно рассматривать как частный случай первого, сосредоточив внимание на диагональной подгруппе $G\times G.$ Это определение можно повторять конечное число раз.

Позволять $V$ и $W$ быть представителями группы $G.$ Затем ${\text{Hom}}(V,W)$ является представлением в силу следующего тождества: ${\text{Hom}}(V,W)=V^{*}\otimes W$. Позволять $B\in {\text{Hom}}(V,W)$ и пусть $\rho$ быть представителем на ${\text{Hom}}(V,W).$ Позволять $\rho _{V}$ быть представителем на $V$ и $\rho _{W}$ представительство на $W.$ Тогда приведенное выше тождество приводит к следующему результату:

$\rho (s)(B)v=\rho _{W}(s)\circ B\circ \rho _{V}(s^{-1})v$ для всех $s\in G,v\in V.$

Теорема. Неприводимые представления $G_{1}\times G_{2}$ с точностью до изоморфизма являются в точности представлениями $\rho _{1}\otimes \rho _{2}$ в котором $\rho _{1}$ и $\rho _{2}$ являются неприводимыми представлениями $G_{1}$ и $G_{2},$ соответственно.

Симметричный и чередующийся квадрат

Позволять $\rho :G\to V\otimes V$ быть линейным представлением $G.$ Позволять $(e_{k})$ быть основой $V.$ Определять $\vartheta :V\otimes V\to V\otimes V$ расширяя $\vartheta (e_{k}\otimes e_{j})=e_{j}\otimes e_{k}$ линейно. Тогда утверждается, что $\vartheta ^{2}=1$ и поэтому $V\otimes V$ распадается на $V\otimes V={\text{Sym}}^{2}(V)\oplus {\text{Alt}}^{2}(V),$ в котором

${\text{Sym}}^{2}(V)=\{z\in V\otimes V:\vartheta (z)=z\}$

${\text{Alt}}^{2}(V)=\bigwedge ^{2}V=\{z\in V\otimes V:\vartheta (z)=-z\}.$

Эти подпространства $G$–инвариант и тем самым определяют подпредставления, которые называются симметричным квадратом и знакопеременным квадратом соответственно. Эти подпредставления также определены в $V^{\otimes m},$ хотя в данном случае они обозначаются клиновым произведением $\bigwedge ^{m}V$ и симметричное произведение ${\text{Sym}}^{m}(V).$ В случае, если $m>2,$ векторное пространство $V^{\otimes m}$ вообще не равна прямой сумме этих двух произведений.

Разложения

Чтобы легче понимать представления, было бы желательно разложить пространство представлений в прямую сумму более простых подпредставлений.Этого можно достичь для конечных групп, как мы увидим в следующих результатах. Более подробные пояснения и доказательства можно найти в [1] и [2] .

Теорема. ( Машке ) Пусть $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$ быть линейным представлением, где $V$ — векторное пространство над полем нулевой характеристики. Позволять $W$ быть $G$-инвариантное подпространство $V.$ Тогда дополнение $W^{0}$ из $W$ существует в $V$ и есть $G$-инвариант.

Подпредставление и его дополнение однозначно определяют представление.

Следующая теорема будет представлена ​​в более общем виде, поскольку она дает очень красивый результат о представлениях компактных , а значит, и конечных групп:

Теорема. Всякое линейное представление компактной группы над полем нулевой характеристики является прямой суммой неприводимых представлений.

Или на языке $K[G]$-модули: Если ${\text{char}}(K)=0,$ групповая алгебра $K[G]$ полупроста, т. е. является прямой суммой простых алгебр.

Обратите внимание, что это разложение не уникально. Однако количество раз, сколько раз в этом разложении встречается подпредставление, изоморфное данному неприводимому представлению, не зависит от выбора разложения.

Каноническое разложение

Чтобы добиться однозначного разложения, необходимо объединить все неприводимые подпредставления, изоморфные друг другу. Это означает, что пространство представления разлагается в прямую сумму своих изотипов. Это разложение определено однозначно. Это называется каноническим разложением .

Позволять $(\tau _{j})_{j\in I}$ — множество всех неприводимых представлений группы $G$ с точностью до изоморфизма. Позволять $V$ быть представителем $G$ и пусть $\{V(\tau _{j})|j\in I\}$ быть набором всех изотипов $V.$ Проекция ​ $p_{j}:V\to V(\tau _{j})$ соответствующее каноническому разложению, имеет вид

$p_{j}={\frac {n_{j}}{g}}\sum _{t\in G}{\overline {\chi _{\tau _{j}}(t)}}\rho (t),$

где $n_{j}=\dim(\tau _{j}),$ $g={\text{ord}}(G)$ и $\chi _{\tau _{j}}$ это персонаж, принадлежащий $\tau _{j}.$

Далее мы покажем, как определить изотип тривиального представления:

Определение (формула проецирования). Для каждого представления $(\rho ,V)$ группы $G$ мы определяем

$V^{G}:=\{v\in V:\rho (s)v=v\,\,\,\,\forall \,s\in G\}.$

В общем, $\rho (s):V\to V$ не $G$-линейный. Мы определяем

$P:={\frac {1}{|G|}}\sum _{s\in G}\rho (s)\in {\text{End}}(V).$

Затем $P$ это $G$-линейная карта, потому что

$\forall t\in G:\qquad \sum _{s\in G}\rho (s)=\sum _{s\in G}\rho (tst^{-1}).$

Предложение. Карта $P$ это проекция из $V$ к $V^{G}.$

Это предложение позволяет нам явно определить изотип тривиального подпредставления данного представления.

Как часто тривиальное представление встречается в $V$ дается ${\text{Tr}}(P).$ Этот результат является следствием того факта, что собственные значения проекции равны только $0$ или $1$ и что собственное пространство, соответствующее собственному значению $1$ это изображение проекции. Поскольку след проекции представляет собой сумму всех собственных значений, получаем следующий результат

$\dim(V(1))=\dim(V^{G})=Tr(P)={\frac {1}{|G|}}\sum _{s\in G}\chi _{V}(s),$

в котором $V(1)$ обозначает изотип тривиального представления.

Позволять $V_{\pi }$ — нетривиальное неприводимое представление $G.$ Тогда изотип тривиального представления $\pi$ это нулевое пространство. Это означает, что справедливо следующее уравнение

$P={\frac {1}{|G|}}\sum _{s\in G}\pi (s)=0.$

Позволять $e_{1},...,e_{n}$ быть ортонормированным базисом $V_{\pi }.$ Тогда у нас есть:

$\sum _{s\in G}{\text{Tr}}(\pi (s))=\sum _{s\in G}\sum _{j=1}^{n}\langle \pi (s)e_{j},e_{j}\rangle =\sum _{j=1}^{n}\left\langle \sum _{s\in G}\pi (s)e_{j},e_{j}\right\rangle =0.$

Поэтому для нетривиального неприводимого представления справедливо следующее $V$:

$\sum _{s\in G}\chi _{V}(s)=0.$

Пример. Позволять $G={\text{Per}}(3)$ — группы перестановок из трех элементов. Позволять $\rho :{\text{Per}}(3)\to {\text{GL}}_{5}(\mathbb {C} )$ быть линейным представлением ${\text{Per}}(3)$ определяется на образующих элементах следующим образом:

$\rho (1,2)={\begin{pmatrix}-1&2&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}},\quad \rho (1,3)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0&0&0\\{\frac {1}{2}}&-1&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\end{pmatrix}},\quad \rho (2,3)={\begin{pmatrix}0&-2&0&0&0\\-{\frac {1}{2}}&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}.$

Это представление можно разложить при первом взгляде на леворегулярное представление ${\text{Per}}(3),$который обозначается $\pi$ в дальнейшем и представление $\eta :{\text{Per}}(3)\to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )$ с

$\eta (1,2)={\begin{pmatrix}-1&2\\0&1\end{pmatrix}},\quad \eta (1,3)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&-1\end{pmatrix}},\quad \eta (2,3)={\begin{pmatrix}0&-2\\-{\frac {1}{2}}&0\end{pmatrix}}.$

С помощью критерия неприводимости, взятого из следующей главы, мы могли бы понять, что $\eta$ является неприводимым, но $\pi$ нет. Это потому, что (с точки зрения внутреннего продукта из раздела «Внутренний продукт и символы» ниже) мы имеем $(\eta |\eta )=1,(\pi |\pi )=2.$

Подпространство $\mathbb {C} (e_{1}+e_{2}+e_{3})$ из $\mathbb {C} ^{3}$ инвариантно относительно леворегулярного представления. Ограничиваясь этим подпространством, мы получаем тривиальное представление.

Ортогональное дополнение $\mathbb {C} (e_{1}+e_{2}+e_{3})$ является $\mathbb {C} (e_{1}-e_{2})\oplus \mathbb {C} (e_{1}+e_{2}-2e_{3}).$ Ограничено этим подпространством, которое также $G$–инвариантно, как мы видели выше, получаем представление $\tau$ предоставлено

$\tau (1,2)={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \tau (1,3)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {3}{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},\quad \tau (2,3)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {3}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}.$

Опять же, мы можем использовать критерий неприводимости из следующей главы, чтобы доказать, что $\tau$ является нередуцируемым. Сейчас, $\eta$ и $\tau$ изоморфны, потому что $\eta (s)=B\circ \tau (s)\circ B^{-1}$ для всех $s\in {\text{Per}}(3),$ в котором $B:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} ^{2}$ задается матрицей

$M_{B}={\begin{pmatrix}2&2\\0&2\end{pmatrix}}.$

Разложение $(\rho ,\mathbb {C} ^{5})$ в неприводимых подпредставлениях: $\rho =\tau \oplus \eta \oplus 1$ где $1$ обозначает тривиальное представление и

$\mathbb {C} ^{5}=\mathbb {C} (e_{1},e_{2})\oplus \mathbb {C} (e_{3}-e_{4},e_{3}+e_{4}-2e_{5})\oplus \mathbb {C} (e_{3}+e_{4}+e_{5})$

— соответствующее разложение пространства представления.

Каноническое разложение мы получим, объединив все изоморфные неприводимые подпредставления: $\rho _{1}:=\eta \oplus \tau$ это $\tau$-изотип $\rho$ и, следовательно, каноническое разложение имеет вид

$\rho =\rho _{1}\oplus 1,\qquad \mathbb {C} ^{5}=\mathbb {C} (e_{1},e_{2},e_{3}-e_{4},e_{3}+e_{4}-2e_{5})\oplus \mathbb {C} (e_{3}+e_{4}+e_{5}).$

Приведенные выше теоремы, вообще говоря, не справедливы для бесконечных групп. Это будет продемонстрировано на следующем примере: пусть

$G=\{A\in {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )|\,A\,\,{\text{ is an upper triangular matrix}}\}.$

Вместе с матричным умножением $G$ представляет собой бесконечную группу. $G$ действует на $\mathbb {C} ^{2}$ путем матрично-векторного умножения. Мы рассматриваем представление $\rho (A)=A$ для всех $A\in G.$ Подпространство $\mathbb {C} e_{1}$ это $G$-инвариантное подпространство. Однако не существует $G$-инвариантное дополнение к этому подпространству. Предположение о существовании такого дополнения означало бы, что каждая матрица диагонализуема по $\mathbb {C} .$ Известно, что это неверно и поэтому приводит к противоречию.

Мораль этой истории в том, что если мы рассмотрим бесконечные группы, возможно, что представление — даже то, которое не является неприводимым — не может быть разложено в прямую сумму неприводимых подпредставлений.

Теория персонажей

Основная статья: Теория персонажей

Определения

Характер ​ представительства $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$ определяется как карта

$\chi _{\rho }:G\to \mathbb {C} ,\chi _{\rho }(s):={\text{Tr}}(\rho (s)),$ в котором ${\text{Tr}}(\rho (s))$ обозначает след линейного отображения $\rho (s).$

Несмотря на то, что характер является отображением между двумя группами, он, вообще говоря, не является групповым гомоморфизмом , как показывает следующий пример.

Позволять $\rho :\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )$ быть представлением, определяемым:

$\rho (0,0)={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \rho (1,0)={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad \rho (0,1)={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \rho (1,1)={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.$

Персонаж $\chi _{\rho }$ дается

$\chi _{\rho }(0,0)=2,\quad \chi _{\rho }(1,0)=-2,\quad \chi _{\rho }(0,1)=\chi _{\rho }(1,1)=0.$

Характеры представлений перестановок особенно легко вычислить. Если V — G -представление, соответствующее левому действию $G$ на конечном множестве $X$, затем

$\chi _{V}(s)=|\{x\in X|s\cdot x=x\}|.$

Например, характер регулярного представления $R$ дается

$\chi _{R}(s)={\begin{cases}0&s\neq e\\|G|&s=e\end{cases}},$

где $e$ обозначает нейтральный элемент $G.$

Характеристики

Важнейшим свойством символов является формула

$\chi (tst^{-1})=\chi (s),\,\,\forall \,s,t\in G.$

Эта формула следует из того, что след произведения AB двух квадратных матриц совпадает со следом BA . Функции $G\to \mathbb {C}$ удовлетворяющие такой формуле, называются функциями класса . Иными словами, функции класса и, в частности, символы постоянны в каждом классе сопряженности. $C_{s}=\{tst^{-1}|t\in G\}.$Из элементарных свойств следа также следует, что $\chi (s)$ представляет собой сумму значений собственных $\rho (s)$ с кратностью. Если степень представления равна n , то длина суммы равна n . Если s имеет порядок m , все эти собственные значения являются корнями m-й степени из единицы . Этот факт можно использовать, чтобы показать, что $\chi (s^{-1})={\overline {\chi (s)}},\,\,\,\forall \,s\in G$ и это также подразумевает $|\chi (s)|\leqslant n.$

Поскольку след единичной матрицы равен количеству строк, $\chi (e)=n,$ где $e$ является нейтральным элементом $G$ и n — размерность представления. В общем, $\{s\in G|\chi (s)=n\}$ является нормальной подгруппой в $G.$В следующей таблице показано, как символы $\chi _{1},\chi _{2}$ двух данных представлений $\rho _{1}:G\to {\text{GL}}(V_{1}),\rho _{2}:G\to {\text{GL}}(V_{2})$ порождают символы родственных представлений.

Персонажи нескольких стандартных конструкций

Представительство	Характер
двойное представительство $V_{1}^{*}$	$\chi _{1}^{*}={\overline {\chi _{1}}}.$
прямая сумма $V_{1}\oplus V_{2}$	$\chi _{1}+\chi _{2}.$
тензорное произведение представлений $V_{1}\otimes V_{2}$	$\chi _{1}\chi _{2}.$
симметричный квадрат $Sym^{2}(V)$	${\tfrac {1}{2}}\left(\chi (s)^{2}+\chi (s^{2})\right)$
чередующийся квадрат $\bigwedge ^{2}V$	${\tfrac {1}{2}}\left(\chi (s)^{2}-\chi (s^{2})\right)$

По построению существует разложение в прямую сумму $V\otimes V=Sym^{2}(V)\oplus \bigwedge ^{2}V$. На символах это соответствует тому, что сумма двух последних выражений в таблице равна $\chi (s)^{2}$, характер $V\otimes V$.

Внутренний продукт и персонажи

См. Также: Функция класса (алгебра) и отношения ортогональности Шура.

Чтобы продемонстрировать некоторые особенно интересные результаты о персонажах, полезно рассмотреть более общий тип функций для групп:

Определение (функции класса). Функция $\varphi :G\to \mathbb {C}$ называется функцией класса, если она постоянна на классах сопряженности $G$, то есть

$\forall s,t\in G:\quad \varphi \left(sts^{-1}\right)=\varphi (t).$

Обратите внимание, что каждый символ является функцией класса, поскольку след матрицы сохраняется при сопряжении.

Множество всех функций класса представляет собой $\mathbb {C}$–алгебра и обозначается $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)$. Его размерность равна числу классов сопряженности $G.$

Доказательства следующих результатов этой главы можно найти в [1] , [2] и [3] .

Внутренний продукт может быть определен на множестве всех функций класса конечной группы:

$(f|h)_{G}={\frac {1}{|G|}}\sum _{t\in G}f(t){\overline {h(t)}}$

Ортонормированное свойство. Если $\chi _{1},\ldots ,\chi _{k}$ являются отдельными неприводимыми характерами $G$, они образуют ортонормированный базис для векторного пространства всех функций класса относительно скалярного произведения, определенного выше, т.е.

• $(\chi _{i}|\chi _{j})={\begin{cases}1{\text{ if }}i=j\\0{\text{ otherwise }}\end{cases}}.$
• Каждая функция класса $f$ может быть выражено как уникальная линейная комбинация неприводимых характеров $\chi _{1},\ldots ,\chi _{k}$.

Можно проверить, что неприводимые характеры порождают $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)$ показав, что не существует ненулевой функции класса, ортогональной всем неприводимым характерам. Для $\rho$ представительство и $f$ функция класса, обозначим $\rho _{f}=\sum _{g}f(g)\rho (g).$ Тогда для $\rho$ несводимый, мы имеем $\rho _{f}={\frac {|G|}{n}}\langle f,\chi _{V}^{*}\rangle \in End(V)$ из леммы Шура . Предполагать $f$ — это функция класса, ортогональная всем символам. Тогда согласно вышеизложенному мы имеем $\rho _{f}=0$ в любое время $\rho$ является нередуцируемым. Но тогда следует, что $\rho _{f}=0$ для всех $\rho$, по разложимости. Брать $\rho$ быть регулярным представительством. Применение $\rho _{f}$ к какому-то конкретному базовому элементу $g$, мы получаем $f(g)=0$. Поскольку это справедливо для всех $g$, у нас есть $f=0.$

Из ортонормированного свойства следует, что число неизоморфных неприводимых представлений группы $G$ равно числу сопряженности классов $G.$

Более того, функция класса на $G$ является персонажем $G$ тогда и только тогда, когда его можно записать как линейную комбинацию различных неприводимых характеров $\chi _{j}$ с неотрицательными целыми коэффициентами: если $\varphi$ это функция класса на $G$ такой, что $\varphi =c_{1}\chi _{1}+\cdots +c_{k}\chi _{k}$ где $c_{j}$ неотрицательные целые числа, то $\varphi$ — характер прямой суммы $c_{1}\tau _{1}\oplus \cdots \oplus c_{k}\tau _{k}$ представительств $\tau _{j}$ соответствующий $\chi _{j}.$ И наоборот, всегда можно записать любой характер как сумму неприводимых характеров.

Определенный выше внутренний продукт можно расширить на множество всех $\mathbb {C}$-значные функции $L^{1}(G)$ на конечной группе:

$(f|h)_{G}={\frac {1}{|G|}}\sum _{t\in G}f(t){\overline {h(t)}}$

Симметричную билинейную форму можно также определить на $L^{1}(G):$

$\langle f,h\rangle _{G}={\frac {1}{|G|}}\sum _{t\in G}f(t)h(t^{-1})$

Эти две формы совпадают по набору символов. Если нет опасности путаницы, индекс обеих форм $(\cdot |\cdot )_{G}$ и $\langle \cdot |\cdot \rangle _{G}$ будет опущено.

Позволять $V_{1},V_{2}$ быть двумя $\mathbb {C} [G]$–модули. Обратите внимание, что $\mathbb {C} [G]$–модули — это просто представления $G$. Поскольку ортонормированное свойство дает число неприводимых представлений $G$ равно числу его классов сопряженности, то простых $\mathbb {C} [G]$–модулей (с точностью до изоморфизма), так как существуют классы сопряженности $G.$

Мы определяем $\langle V_{1},V_{2}\rangle _{G}:=\dim({\text{Hom}}^{G}(V_{1},V_{2})),$ в котором ${\text{Hom}}^{G}(V_{1},V_{2})$ векторное пространство всех $G$–линейные карты. Эта форма билинейна относительно прямой суммы.

В дальнейшем эти билинейные формы позволят нам получить некоторые важные результаты относительно разложения и неприводимости представлений.

Например, пусть $\chi _{1}$ и $\chi _{2}$ быть персонажами $V_{1}$ и $V_{2},$ соответственно. Затем $\langle \chi _{1},\chi _{2}\rangle _{G}=(\chi _{1}|\chi _{2})_{G}=\langle V_{1},V_{2}\rangle _{G}.$

Из приведенных выше результатов, а также леммы Шура и полной приводимости представлений можно вывести следующую теорему.

Теорема. Позволять $V$ быть линейным представлением $G$ с характером $\xi .$ Позволять $V=W_{1}\oplus \cdots \oplus W_{k},$ где $W_{j}$ являются нередуцируемыми. Позволять $(\tau ,W)$ быть неприводимым представлением $G$ с характером $\chi .$ Тогда число подпредставлений $W_{j}$ которые изоморфны $W$ не зависит от данного разложения и равен скалярному продукту $(\xi |\chi ),$ то есть $\tau$–изотип $V(\tau )$ из $V$ не зависит от выбора разложения. Мы также получаем:

$(\xi |\chi )={\frac {\dim(V(\tau ))}{\dim(\tau )}}=\langle V,W\rangle$

и таким образом

$\dim(V(\tau ))=\dim(\tau )(\xi |\chi ).$

Следствие. Два представления одного и того же характера изоморфны. Это значит, что каждое представление определяется своим характером.

При этом мы получаем очень полезный результат для анализа представлений:

Критерий неприводимости. Позволять $\chi$ быть характером представления $V,$ тогда у нас есть $(\chi |\chi )\in \mathbb {N} _{0}.$ Дело $(\chi |\chi )=1$ имеет место тогда и только тогда, когда $V$ является нередуцируемым.

Следовательно, по первой теореме характеры неприводимых представлений $G$ образуют ортонормированное множество на $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)$ относительно этого внутреннего продукта.

Следствие. Позволять $V$ быть векторным пространством с $\dim(V)=n.$ Данное неприводимое представление $V$ из $G$ содержится $n$– раз в обычном представлении . Другими словами, если $R$ обозначает регулярное представление $G$ тогда мы имеем: $R\cong \oplus (W_{j})^{\oplus \dim(W_{j})},$ в котором $\{W_{j}|j\in I\}$ есть множество всех неприводимых представлений $G$ которые попарно не изоморфны друг другу.

С точки зрения групповой алгебры это означает, что $\mathbb {C} [G]\cong \oplus _{j}{\text{End}}(W_{j})$ как алгебры.

В числовом результате получаем:

$|G|=\chi _{R}(e)=\dim(R)=\sum _{j}\dim \left((W_{j})^{\oplus (\chi _{W_{j}}|\chi _{R})}\right)=\sum _{j}(\chi _{W_{j}}|\chi _{R})\cdot \dim(W_{j})=\sum _{j}\dim(W_{j})^{2},$

в котором $R$ является регулярным представлением и $\chi _{W_{j}}$ и $\chi _{R}$ соответствующие символы $W_{j}$ и $R,$ соответственно. Напомним, что $e$ обозначает нейтральный элемент группы.

Эта формула является «необходимым и достаточным» условием задачи классификации неприводимых представлений группы с точностью до изоморфизма. Он дает нам возможность проверить, нашли ли мы все классы изоморфизма неприводимых представлений группы.

Аналогично, используя характер регулярного представления, оцененного в $s\neq e,$ мы получаем уравнение:

$0=\chi _{R}(s)=\sum _{j}\dim(W_{j})\cdot \chi _{W_{j}}(s).$

Используя описание представлений через алгебру свертки, мы достигаем эквивалентной формулировки этих уравнений:

Формула обращения Фурье :

$f(s)={\frac {1}{|G|}}\sum _{\rho {\text{ irr. rep. of }}G}\dim(V_{\rho })\cdot {\text{Tr}}(\rho (s^{-1})\cdot {\hat {f}}(\rho )).$

Кроме того, справедлива формула Планшереля :

$\sum _{s\in G}f(s^{-1})h(s)={\frac {1}{|G|}}\sum _{\rho \,\,{\text{ irred.}}{\text{ rep.}}{\text{ of }}G}\dim(V_{\rho })\cdot {\text{Tr}}({\hat {f}}(\rho ){\hat {h}}(\rho )).$

В обеих формулах $(\rho ,V_{\rho })$ является линейным представлением группы $G,s\in G$ и $f,h\in L^{1}(G).$

Вышеупомянутое следствие имеет дополнительное следствие:

Лемма. Позволять $G$ быть группой. Тогда следующее эквивалентно:

• $G$ является абелевым .
• Каждая функция на $G$ это функция класса.
• Все неприводимые представления $G$ иметь степень $1.$

Индуцированное представление

Основная статья: Индуцированное представление

Как было показано в разделе о свойствах линейных представлений , мы можем — путем ограничения — получить представление подгруппы, исходя из представления группы. Естественно, нас интересует обратный процесс: можно ли получить представление группы, исходя из представления подгруппы? Мы увидим, что определенное ниже индуцированное представление дает нам необходимое понятие. Правда, эта конструкция не обратная, а сопряженная с ограничением.

Определения

Позволять $\rho :G\to {\text{GL}}(V_{\rho })$ быть линейным представлением $G.$ Позволять $H$ быть подгруппой и $\rho |_{H}$ ограничение. Позволять $W$ быть субпредставительством $\rho _{H}.$ Мы пишем $\theta :H\to {\text{GL}}(W)$ для обозначения этого представления. Позволять $s\in G.$ Векторное пространство $\rho (s)(W)$ зависит только от левого смежного класса $sH$ из $s.$ Позволять $R$ быть репрезентативной системой $G/H,$ затем

$\sum _{r\in R}\rho (r)(W)$

является субпредставлением $V_{\rho }.$

Представительство $\rho$ из $G$ в $V_{\rho }$ называется индуцированным представлением $\theta$ из $H$ в $W,$ если

$V_{\rho }=\bigoplus _{r\in R}W_{r}.$

Здесь $R$ обозначает репрезентативную систему $G/H$ и $W_{r}=\rho (s)(W)$ для всех $s\in rH$ и для всех $r\in R.$ Другими словами: представление $(\rho ,V_{\rho })$ индуцируется $(\theta ,W),$ если каждый $v\in V_{\rho }$ можно записать однозначно как

$\sum _{r\in R}w_{r},$

где $w_{r}\in W_{r}$ для каждого $r\in R.$

Обозначим представление $\rho$ из $G$ которое индуцировано представлением $\theta$ из $H$ как $\rho ={\text{Ind}}_{H}^{G}(\theta ),$ или короче $\rho ={\text{Ind}}(\theta ),$ если нет опасности путаницы. Вместо карты представления часто используется само пространство представления, т.е. $V={\text{Ind}}_{H}^{G}(W),$ или $V={\text{Ind}}(W),$ если представление $V$ индуцируется $W.$

Альтернативное описание индуцированного представления

Используя групповую алгебру, мы получаем альтернативное описание индуцированного представления:

Позволять $G$ быть группой, $V$ а $\mathbb {C} [G]$–модуль и $W$ а $\mathbb {C} [H]$– субмодуль $V$ соответствующий подгруппе $H$ из $G.$ Мы говорим, что $V$ индуцируется $W$ если $V=\mathbb {C} [G]\otimes _{\mathbb {C} [H]}W,$ в котором $G$ действует на первый фактор: $s\cdot (e_{t}\otimes w)=e_{st}\otimes w$ для всех $s,t\in G,w\in W.$

Характеристики

Результаты, представленные в этом разделе, будут представлены без доказательства. Их можно найти в [1] и [2] .

Единственность и существование индуцированного представления. Позволять $(\theta ,W_{\theta })$ быть линейным представлением подгруппы $H$ из $G.$ Тогда существует линейное представление $(\rho ,V_{\rho })$ из $G,$ который вызван $(\theta ,W_{\theta }).$ Заметим, что это представление единственно с точностью до изоморфизма.

Транзитивность индукции. Позволять $W$ быть представителем $H$ и пусть $H\leq G\leq K$ быть возрастающим рядом групп. Тогда у нас есть

${\text{Ind}}_{G}^{K}({\text{Ind}}_{H}^{G}(W))\cong {\text{Ind}}_{H}^{K}(W).$

Лемма. Позволять $(\rho ,V_{\rho })$ быть вызвано $(\theta ,W_{\theta })$ и пусть $\rho ':G\to {\text{GL}}(V')$ быть линейным представлением $G.$ Теперь позвольте $F:W_{\theta }\to V'$ быть линейным отображением, удовлетворяющим тому свойству, что $F\circ \theta (t)=\rho '(t)\circ F$ для всех $t\in G.$ Тогда существует однозначно определенное линейное отображение $F':V_{\rho }\to V',$ который простирается $F$ и для чего $F'\circ \rho (s)=\rho '(s)\circ F'$ действителен для всех $s\in G.$

Это означает, что если мы интерпретируем $V'$ как $\mathbb {C} [G]$–модуль, у нас есть ${\text{Hom}}^{H}(W_{\theta },V')\cong {\text{Hom}}^{G}(V_{\rho },V'),$ где ${\text{Hom}}^{G}(V_{\rho },V')$ векторное пространство всех $\mathbb {C} [G]$–гомоморфизмы $V_{\rho }$ к $V'.$ То же самое справедливо для ${\text{Hom}}^{H}(W_{\theta },V').$

Индукция по функциям классов. Точно так же, как это было сделано с представлениями, мы можем — по индукции — получить функцию класса на группе из функции класса на подгруппе. Позволять $\varphi$ быть функцией класса на $H.$ Мы определяем функцию $\varphi '$ на $G$ к

$\varphi '(s)={\frac {1}{|H|}}\sum _{t\in G \atop t^{-1}st\in H}^{}\varphi (t^{-1}st).$

Мы говорим $\varphi '$ индуцируется ​ ​ $\varphi$ и напиши ${\text{Ind}}_{H}^{G}(\varphi )=\varphi '$ или ${\text{Ind}}(\varphi )=\varphi '.$

Предложение. Функция ${\text{Ind}}(\varphi )$ это функция класса на $G.$ Если $\varphi$ это характер представления $W$ из $H,$ затем ${\text{Ind}}(\varphi )$ – характер индуцированного представления ${\text{Ind}}(W)$ из $G.$

Лемма. Если $\psi$ это функция класса на $H$ и $\varphi$ это функция класса на $G,$ тогда мы имеем: ${\text{Ind}}(\psi \cdot {\text{Res}}\varphi )=({\text{Ind}}\psi )\cdot \varphi .$

Теорема. Позволять $(\rho ,V_{\rho })$ быть представителем $G$ индуцированный представлением $(\theta ,W_{\theta })$ подгруппы $H.$ Позволять $\chi _{\rho }$ и $\chi _{\theta }$ быть соответствующими символами. Позволять $R$ быть репрезентативной системой $G/H.$ Индуцированный характер определяется выражением

$\forall t\in G:\qquad \chi _{\rho }(t)=\sum _{r\in R, \atop r^{-1}tr\in H}^{}\chi _{\theta }(r^{-1}tr)={\frac {1}{|H|}}\sum _{s\in G, \atop s^{-1}ts\in H}^{}\chi _{\theta }(s^{-1}ts).$

взаимность Фробениуса

Основная статья: взаимность Фробениуса

Подводя предварительный итог, можно извлечь урок из взаимности Фробениуса: карты ${\text{Res}}$ и ${\text{Ind}}$ примыкают друг к другу.

Позволять $W$ быть неприводимым представлением $H$ и пусть $V$ быть неприводимым представлением $G,$ тогда взаимность Фробениуса говорит нам, что $W$ содержится в ${\text{Res}}(V)$ так часто, как ${\text{Ind}}(W)$ содержится в $V.$

Взаимность Фробениуса. Если $\psi \in \mathbb {C} _{\text{class}}(H)$ и $\varphi \in \mathbb {C} _{\text{class}}(G)$ у нас есть $\langle \psi ,{\text{Res}}(\varphi )\rangle _{H}=\langle {\text{Ind}}(\psi ),\varphi \rangle _{G}.$

Это утверждение справедливо и для внутреннего продукта .

Критерий неприводимости Макки

Джордж Макки установил критерий проверки неприводимости индуцированных представлений. Для этого нам сначала понадобятся некоторые определения и некоторые уточнения относительно обозначений.

Два представления $V_{1}$ и $V_{2}$ группы $G$ называются непересекающимися , если они не имеют общей неприводимой компоненты, т. е. если $\langle V_{1},V_{2}\rangle _{G}=0.$

Позволять $G$ будьте группой и позвольте $H$ быть подгруппой. Мы определяем $H_{s}=sHs^{-1}\cap H$ для $s\in G.$ Позволять $(\rho ,W)$ быть представлением подгруппы $H.$ Это определяет ограничением представление ${\text{Res}}_{H_{s}}(\rho )$ из $H_{s}.$ Мы пишем ${\text{Res}}_{s}(\rho )$ для ${\text{Res}}_{H_{s}}(\rho ).$ Мы также определим другое представление $\rho ^{s}$ из $H_{s}$ к $\rho ^{s}(t)=\rho (s^{-1}ts).$ Эти два представления не следует путать.

Критерий неприводимости Макки. Индуцированное представление $V={\text{Ind}}_{H}^{G}(W)$ является неприводимым тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

• $W$ является неприводимым
• Для каждого $s\in G\setminus H$ два представления $\rho ^{s}$ и ${\text{Res}}_{s}(\rho )$ из $H_{s}$ непересекающиеся.

Для случая $H$ нормально, у нас есть $H_{s}=H$ и ${\text{Res}}_{s}(\rho )=\rho$. Таким образом мы получаем следующее:

Следствие. Позволять $H$ быть нормальной подгруппой $G.$ Затем ${\text{Ind}}_{H}^{G}(\rho )$ неприводимо тогда и только тогда, когда $\rho$ неприводим и не изоморфен сопряженным $\rho ^{s}$ для $s\notin H.$

Заявления в специальные группы

В этом разделе мы представляем некоторые приложения изложенной до сих пор теории к нормальным подгруппам и к специальной группе — полупрямому произведению подгруппы с абелевой нормальной подгруппой.

Предложение. Позволять $A$ быть нормальной подгруппой группы $G$ и пусть $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$ быть неприводимым представлением $G.$ Тогда одно из следующих утверждений должно быть справедливым:

• либо существует собственная подгруппа $H$ из $G$ содержащий $A$и неприводимое представление $\eta$ из $H$ который вызывает $\rho$,
• или $V$ является изотипическим $\mathbb {C} A$-модуль.

Доказательство. Учитывать $V$ как $\mathbb {C} A$-модуль и разложим его на изотипы как $V=\bigoplus _{j}{V_{j}}$. Если это разложение тривиально, мы находимся во втором случае. В противном случае, чем больше $G$-действие меняет местами эти изотипические модули; потому что $V$ является неприводимым как $\mathbb {C} G$-модуля, действие перестановки транзитивно (фактически примитивно ). Исправьте любой $j$; стабилизатор . в $G$ из $V_{j}$ элементарно видно, что он проявляет заявленные свойства. $\Box$

Обратите внимание, что если $A$ абелева, то изотипические модули $A$ неприводимы, имеют степень один и все гомотетии.

Мы получаем также следующее

Следствие. Позволять $A$ — абелева нормальная подгруппа группы $G$ и пусть $\tau$ быть любым неприводимым представлением $G.$ Обозначим через $(G:A)$ индекс ​ ​ $A$ в $G.$ Затем $\deg(\tau )|(G:A).$[1]

Если $A$ является абелевой подгруппой $G$ (не обязательно нормальный), как правило $\deg(\tau )|(G:A)$ не удовлетворен, но тем не менее $\deg(\tau )\leq (G:A)$ все еще действителен.

Классификация представлений полупрямого произведения

В дальнейшем пусть $G=A\rtimes H$ быть полупрямым продуктом, таким что нормальный полупрямой фактор, $A$, является абелевым. Неприводимые представления такой группы $G,$ можно классифицировать, показав, что все неприводимые представления $G$ могут быть построены из определенных подгрупп $H$. Это так называемый метод «малых групп» Вигнера и Макки.

С $A$ является абелевым , неприводимые характеры $A$ иметь первую степень и сформировать группу $\mathrm {X} ={\text{Hom}}(A,\mathbb {C} ^{\times }).$ Группа $G$ действует на $\mathrm {X}$ к $(s\chi )(a)=\chi (s^{-1}as)$ для $s\in G,\chi \in \mathrm {X} ,a\in A.$

Позволять $(\chi _{j})_{j\in \mathrm {X} /H}$ быть системой орбиты ​ представительной $H$ в $\mathrm {X} .$ Для каждого $j\in \mathrm {X} /H$ позволять $H_{j}=\{t\in H:t\chi _{j}=\chi _{j}\}.$ Это подгруппа $H.$ Позволять $G_{j}=A\cdot H_{j}$ — соответствующая подгруппа $G.$ Теперь мы расширяем функцию $\chi _{j}$ на $G_{j}$ к $\chi _{j}(at)=\chi _{j}(a)$ для $a\in A,t\in H_{j}.$ Таким образом, $\chi _{j}$ это функция класса на $G_{j}.$ Более того, поскольку $t\chi _{j}=\chi _{j}$ для всех $t\in H_{j},$ можно показать, что $\chi _{j}$ является гомоморфизмом группы из $G_{j}$ к $\mathbb {C} ^{\times }.$ Таким образом, мы имеем представление о $G_{j}$ первой степени, которая равна его собственному характеру.

Пусть сейчас $\rho$ быть неприводимым представлением $H_{j}.$ Тогда мы получим неприводимое представление ${\tilde {\rho }}$ из $G_{j},$ путем объединения $\rho$ с канонической проекцией $G_{j}\to H_{j}.$ Наконец, мы строим произведение тензорное $\chi _{j}$ и ${\tilde {\rho }}.$ Таким образом, мы получаем неприводимое представление $\chi _{j}\otimes {\tilde {\rho }}$ из $G_{j}.$

Чтобы окончательно получить классификацию неприводимых представлений $G$ мы используем представление $\theta _{j,\rho }$ из $G,$ которое индуцировано тензорным произведением $\chi _{j}\otimes {\tilde {\rho }}.$ Таким образом, мы достигаем следующего результата:

Предложение.

• $\theta _{j,\rho }$ является нередуцируемым.
• Если $\theta _{j,\rho }$ и $\theta _{j',\rho '}$ изоморфны, то $j=j'$ и дополнительно $\rho$ изоморфен $\rho '.$
• Каждое неприводимое представление $G$ изоморфен одному из $\theta _{j,\rho }.$

Для доказательства предложения, среди прочего, необходимы критерий Макки и вывод, основанный на взаимности Фробениуса. Более подробную информацию можно найти в [1] .

Другими словами, мы классифицировали все неприводимые представления $G=A\rtimes H.$

Представительское кольцо

Представительское кольцо $G$ определяется как абелева группа

$R(G)=\left\{\left.\sum _{j=1}^{m}a_{j}\tau _{j}\right|\tau _{1},\ldots ,\tau _{m}{\text{ all irreducible representations of }}G{\text{ up to isomorphism}},a_{j}\in \mathbb {Z} \right\}.$

С умножением, обеспечиваемым тензорным произведением , $R(G)$ становится кольцом. Элементы $R(G)$ называются виртуальными представлениями .

Характер определяет кольцевой гомоморфизм в множестве всех функций класса на $G$ со сложными значениями

${\begin{cases}\chi :R(G)\to \mathbb {C} _{\text{class}}(G)\\\sum a_{j}\tau _{j}\mapsto \sum a_{j}\chi _{j}\end{cases}}$

в котором $\chi _{j}$ – неприводимые характеры, соответствующие $\tau _{j}.$

Поскольку представление определяется его характером, $\chi$ является инъективным . Изображения $\chi$ называются виртуальными персонажами .

Поскольку неприводимые характеры образуют базис ортонормированный $\mathbb {C} _{\text{class}},\chi$ индуцирует изоморфизм

$\chi _{\mathbb {C} }:R(G)\otimes \mathbb {C} \to \mathbb {C} _{\text{class}}(G).$

Этот изоморфизм определяется на основе элементарных тензоров $(\tau _{j}\otimes 1)_{j=1,\ldots ,m}$ к $\chi _{\mathbb {C} }(\tau _{j}\otimes 1)=\chi _{j}$ соответственно $\chi _{\mathbb {C} }(\tau _{j}\otimes z)=z\chi _{j},$ и расширен билинейно .

Мы пишем ${\mathcal {R}}^{+}(G)$ для набора всех персонажей $G$ и ${\mathcal {R}}(G)$ для обозначения группы, порожденной ${\mathcal {R}}^{+}(G),$ т.е. совокупность всех различий двух символов. Тогда утверждается, что ${\mathcal {R}}(G)=\mathbb {Z} \chi _{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} \chi _{m}$ и ${\mathcal {R}}(G)={\text{Im}}(\chi )=\chi (R(G)).$ Таким образом, мы имеем $R(G)\cong {\mathcal {R}}(G)$ и виртуальные персонажи оптимальным образом соответствуют виртуальным представлениям.

С ${\mathcal {R}}(G)={\text{Im}}(\chi )$ держит, ${\mathcal {R}}(G)$ представляет собой набор всех виртуальных персонажей. Поскольку произведение двух символов дает другой символ, ${\mathcal {R}}(G)$ является подкольцом кольца $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)$ всех функций класса на $G.$ Потому что $\chi _{i}$ составить основу $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)$ получаем, как и в случае $R(G),$ изоморфизм $\mathbb {C} \otimes {\mathcal {R}}(G)\cong \mathbb {C} _{\text{class}}(G).$

Позволять $H$ быть подгруппой $G.$ Таким образом, ограничение определяет кольцевой гомоморфизм ${\mathcal {R}}(G)\to {\mathcal {R}}(H),\phi \mapsto \phi |_{H},$ который будет обозначаться ${\text{Res}}_{H}^{G}$ или ${\text{Res}}.$ Аналогично индукция по функциям класса определяет гомоморфизм абелевых групп ${\mathcal {R}}(H)\to {\mathcal {R}}(G),$ который будет записан как ${\text{Ind}}_{H}^{G}$ или короче ${\text{Ind}}.$

Согласно взаимности Фробениуса эти два гомоморфизма сопряжены относительно билинейных форм $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H}$ и $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{G}.$ Кроме того, формула ${\text{Ind}}(\varphi \cdot {\text{Res}}(\psi ))={\text{Ind}}(\varphi )\cdot \psi$ показывает, что образ ${\text{Ind}}:{\mathcal {R}}(H)\to {\mathcal {R}}(G)$ является идеалом кольца ${\mathcal {R}}(G).$

По ограничению представлений отображение ${\text{Res}}$ можно определить аналогично для $R(G),$ и по индукции получаем отображение ${\text{Ind}}$ для $R(G).$ Благодаря взаимности Фробениуса получаем, что эти отображения сопряжены друг другу и что образ ${\text{Im}}({\text{Ind}})={\text{Ind}}(R(H))$ является идеалом кольца $R(G).$

Если $A$ — коммутативное кольцо, гомоморфизмы ${\text{Res}}$ и ${\text{Ind}}$ может быть распространен на $A$–линейные карты:

${\begin{cases}A\otimes {\text{Res}}:A\otimes R(G)\to A\otimes R(H)\\\left(a\otimes \sum a_{j}\tau _{j}\right)\mapsto \left(a\otimes \sum a_{j}{\text{Res}}(\tau _{j})\right)\end{cases}},\qquad {\begin{cases}A\otimes {\text{Ind}}:A\otimes R(H)\to A\otimes R(G)\\\left(a\otimes \sum a_{j}\eta _{j}\right)\mapsto \left(a\otimes \sum a_{j}{\text{Ind}}(\eta _{j})\right)\end{cases}}$

в котором $\eta _{j}$ все это неприводимые представления $H$ с точностью до изоморфизма.

С $A=\mathbb {C}$ мы получаем, в частности, что ${\text{Ind}}$ и ${\text{Res}}$ обеспечивают гомоморфизмы между $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)$ и $\mathbb {C} _{\text{class}}(H).$

Позволять $G_{1}$ и $G_{2}$ быть двумя группами с соответствующими представлениями $(\rho _{1},V_{1})$ и $(\rho _{2},V_{2}).$ Затем, $\rho _{1}\otimes \rho _{2}$ является представлением прямого произведения $G_{1}\times G_{2}$ как было показано в предыдущем разделе . Другим результатом этого раздела было то, что все неприводимые представления $G_{1}\times G_{2}$ это именно представления $\eta _{1}\otimes \eta _{2},$ где $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ являются неприводимыми представлениями $G_{1}$ и $G_{2},$ соответственно. Это переходит в кольцо представлений как тождество $R(G_{1}\times G_{2})=R(G_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }R(G_{2}),$ в котором $R(G_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }R(G_{2})$ - тензорное произведение колец представлений как $\mathbb {Z}$–модули.

Теоремы индукции

Теоремы индукции связывают кольцо представлений данной конечной группы G с кольцами представлений семейства X, состоящего из некоторых подмножеств H группы G . Точнее, для такого набора подгрупп функтор индукции дает отображение

$\varphi :{\text{Ind}}:\bigoplus _{H\in X}{\mathcal {R}}(H)\to {\mathcal {R}}(G)$; теоремы индукции дают критерии сюръективности этого отображения или близких к нему отображений.

Теорема индукции Артина — самая элементарная теорема в этой группе результатов. Он утверждает, что следующие утверждения эквивалентны:

• Ядро ​ ​ $\varphi$ конечно.
• $G$ есть объединение сопряженных подгрупп, принадлежащих $X,$ т.е. $G=\bigcup _{H\in X \atop s\in G}sHs^{-1}.$

С ${\mathcal {R}}(G)$ конечно порождена как группа, первый пункт можно перефразировать следующим образом:

• Для каждого персонажа $\chi$ из $G,$ существуют виртуальные персонажи $\chi _{H}\in {\mathcal {R}}(H),\,H\in X$ и целое число $d\geq 1,$ такой, что $d\cdot \chi =\sum _{H\in X}{\text{Ind}}_{H}^{G}(\chi _{H}).$

Серр (1977) дает два доказательства этой теоремы. Например, поскольку G является объединением своих циклических подгрупп, каждый характер группы $G$ представляет собой линейную комбинацию с рациональными коэффициентами характеров, индуцированную характерами циклических подгрупп группы $G.$ Поскольку представления циклических групп хорошо изучены, в частности, неприводимые представления одномерны, это дает некоторый контроль над представлениями G .

В вышеизложенных обстоятельствах в целом неверно, что $\varphi$ является сюръективным. Теорема индукции Брауэра утверждает, что $\varphi$ является сюръективным при условии, что X — семейство всех элементарных подгрупп .Здесь группа H является элементарной , если существует некоторое простое число p такое, что H является прямым произведением циклической группы порядка, простого с $p$ и $p$-группа .Другими словами, персонаж каждый $G$ — линейная комбинация с целыми коэффициентами характеров, индуцированная характерами элементарных подгрупп.Элементарные подгруппы H, возникающие в теореме Брауэра, имеют более богатую теорию представлений, чем циклические группы, они, по крайней мере, обладают тем свойством, что любое неприводимое представление для такого H индуцируется одномерным представлением (обязательно также элементарной) подгруппы. $K\subset H$. (Можно показать, что это последнее свойство справедливо для любой сверхразрешимой группы , которая включает нильпотентные группы и, в частности, элементарные группы.) Эта способность индуцировать представления из представлений степени 1 имеет некоторые дальнейшие следствия в теории представлений конечных групп.

Реальные представления

Для доказательств и дополнительной информации о представлениях над общими подполями $\mathbb {C}$ пожалуйста, обратитесь к [2] .

Если группа $G$ действует в реальном векторном пространстве $V_{0},$ соответствующее представление в комплексном векторном пространстве $V=V_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ называется реальным ( $V$ называется комплексификацией ​ $V_{0}$). Соответствующее представление, упомянутое выше, имеет вид $s\cdot (v_{0}\otimes z)=(s\cdot v_{0})\otimes z$ для всех $s\in G,v_{0}\in V_{0},z\in \mathbb {C} .$

Позволять $\rho$ быть реальным представителем. Линейная карта $\rho (s)$ является $\mathbb {R}$- ценен для всех $s\in G.$ Таким образом, можно заключить, что характер реального представления всегда вещественен. Но не всякое представление вещественного характера является реальным. Чтобы это было понятно, позвольте $G$ — конечная неабелева подгруппа группы

${\text{SU}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\-{\overline {b}}&{\overline {a}}\end{pmatrix}}\ :\ |a|^{2}+|b|^{2}=1\right\}.$

Затем $G\subset {\text{SU}}(2)$ действует на $V=\mathbb {C} ^{2}.$ Поскольку след любой матрицы в ${\text{SU}}(2)$ веществен, характер представления вещественен. Предполагать $\rho$ является реальным представлением, то $\rho (G)$ будет состоять только из вещественных матриц. Таким образом, $G\subset {\text{SU}}(2)\cap {\text{GL}}_{2}(\mathbb {R} )={\text{SO}}(2)=S^{1}.$ Однако группа кругов абелева, но $G$ была выбрана неабелева группа. Теперь нам нужно только доказать существование неабелевой конечной подгруппы ${\text{SU}}(2).$ Чтобы найти такую ​​группу, заметим, что ${\text{SU}}(2)$ можно отождествить с единицами кватернионов . Теперь позвольте $G=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm ij\}.$ Следующее двумерное представление $G$ не является вещественным, но имеет вещественный характер:

${\begin{cases}\rho :G\to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )\\[4pt]\rho (\pm 1)={\begin{pmatrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}},\quad \rho (\pm i)={\begin{pmatrix}\pm i&0\\0&\mp i\end{pmatrix}},\quad \rho (\pm j)={\begin{pmatrix}0&\pm i\\\pm i&0\end{pmatrix}}\end{cases}}$

Тогда образ $\rho$ не имеет действительного значения, но, тем не менее, является подмножеством ${\text{SU}}(2).$ Таким образом, характер представления реален.

Лемма. Неприводимое представление $V$ из $G$ действительна тогда и только тогда, когда существует невырожденная симметричная билинейная форма $B$ на $V$ сохранено $G.$

Неприводимое представление $G$ в реальном векторном пространстве может стать приводимым при расширении поля до $\mathbb {C} .$ Например, следующее вещественное представление циклической группы приводимо при рассмотрении $\mathbb {C}$

${\begin{cases}\rho :\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {R} )\\[4pt]\rho (k)={\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {2\pi ik}{m}}\right)&\sin \left({\frac {2\pi ik}{m}}\right)\\-\sin \left({\frac {2\pi ik}{m}}\right)&\cos \left({\frac {2\pi ik}{m}}\right)\end{pmatrix}}\end{cases}}$

Поэтому, классифицируя все неприводимые представления, вещественные над $\mathbb {C} ,$ мы еще не классифицировали все неприводимые действительные представления. Но мы добиваемся следующего:

Позволять $V_{0}$ быть реальным векторным пространством. Позволять $G$ действовать непреодолимо на $V_{0}$ и пусть $V=V_{0}\otimes \mathbb {C} .$ Если $V$ не является неприводимым, существует ровно два неприводимых множителя, которые являются комплексно-сопряженными представлениями $G.$

Определение. Кватернионное . представление — это (комплексное) представление $V,$ который обладает $G$–инвариантный антилинейный гомоморфизм $J:V\to V$ удовлетворяющий $J^{2}=-{\text{Id}}.$ Таким образом, кососимметричный невырожденный $G$–инвариантная билинейная форма определяет кватернионную структуру на $V.$

Теорема. Неприводимое представление $V$ является одним и только одним из следующих:

(i) комплекс: $\chi _{V}$ не является действительной величиной и не существует $G$–инвариантная невырожденная билинейная форма на $V.$

(ii) реальные: $V=V_{0}\otimes \mathbb {C} ,$ реальное представительство; $V$ имеет $G$–инвариантная невырожденная симметричная билинейная форма .

(iii) кватернион: $\chi _{V}$ реально, но $V$ не является реальным; $V$ имеет $G$–инвариантная кососимметричная невырожденная билинейная форма.

Представления отдельных групп

Симметричные группы

Основная статья: Теория представлений симметрической группы

Представление симметрических групп $S_{n}$ были интенсивно изучены. Классы сопряжения в $S_{n}$ согласно вышеизложенному, неприводимые представления) соответствуют разбиениям n . (и, следовательно , Например, $S_{3}$ имеет три неприводимых представления, соответствующие разбиениям

3; 2+1; 1+1+1

из 3. Для такого раздела таблица Юнга представляет собой графическое устройство, изображающее раздел. Неприводимое представление, соответствующее такому разбиению (или таблице Юнга), называется модулем Шпехта .

Представления различных симметрических групп связаны: любое представление $S_{n}\times S_{m}$ дает представление о $S_{n+m}$ по индукции и наоборот по ограничению. Прямая сумма всех этих колец представлений

$\bigoplus _{n\geq 0}R(S_{n})$

наследует от этих конструкций структуру алгебры Хопфа , которая, оказывается, тесно связана с симметрическими функциями .

Конечные группы лиева типа

В определенной степени представления $GL_{n}(\mathbf {F} _{q})$ , при изменении n , имеют тот же вкус, что и для $S_{n}$; вышеупомянутый процесс индукции заменяется так называемой параболической индукцией . Однако, в отличие от $S_{n}$, где все представления могут быть получены индукцией тривиальных представлений, это неверно для $GL_{n}(\mathbf {F} _{q})$. новые строительные блоки, известные как представления возврата Вместо этого необходимы .

Представления $GL_{n}(\mathbf {F} _{q})$ и вообще, представления конечных групп лиева типа тщательно изучены. Боннафе (2010) описывает представления $SL_{2}(\mathbf {F} _{q})$. Геометрическое описание неприводимых представлений таких групп, включая упомянутые выше каспидальные представления, дает теория Делиня-Люстига , строящая такие представления в l-адических когомологиях многообразий Делиня-Люстига .

Сходство теории представлений $S_{n}$ и $GL_{n}(\mathbf {F} _{q})$ выходит за пределы конечных групп. Философия форм возврата подчеркивает родство теоретико-представительных аспектов этих типов групп с общими линейными группами локальных полей , таких как Q _p и кольца аделей , см. Bump (2004) .

Outlook — представления компактных групп.

Теория представлений компактных групп может быть в некоторой степени распространена на локально компактные группы . В этом контексте теория представлений приобретает большое значение для гармонического анализа и изучения автоморфных форм. Для доказательств, дополнительной информации и более подробного понимания, выходящего за рамки этой главы, пожалуйста, обратитесь к [4] и [5] .

Определение и свойства

Топологическая группа — это группа вместе с топологией, по отношению к которой групповой состав и инверсия непрерывны .Такая группа называется компактной , если любое покрытие $G,$ открытое в топологии, имеет конечное подпокрытие. Замкнутые подгруппы компактной группы снова компактны.

Позволять $G$ компактная группа и пусть $V$ быть конечномерным $\mathbb {C}$– векторное пространство. Линейное представление $G$ к $V$ является непрерывным групповым гомоморфизмом $\rho :G\to {\text{GL}}(V),$ т.е. $\rho (s)v$ является непрерывной функцией двух переменных $s\in G$ и $v\in V.$

Линейное представление $G$ в банахово пространство $V$ определяется как непрерывный групповой гомоморфизм $G$ в множество всех биективных ограниченных линейных операторов на $V$ с непрерывным обратным. С $\pi (g)^{-1}=\pi (g^{-1}),$ мы можем обойтись без последнего требования. Далее мы рассмотрим, в частности, представления компактных групп в гильбертовых пространствах .

Как и в случае с конечными группами, мы можем определить групповую алгебру и алгебру свертки . Однако групповая алгебра не дает полезной информации в случае бесконечных групп, поскольку при построении теряется условие непрерывности. Вместо этого алгебра свертки $L^{1}(G)$ занимает свое место.

Большинство свойств представлений конечных групп с соответствующими изменениями можно перенести на компактные группы. Для этого нам понадобится аналог суммирования по конечной группе:

Существование и единственность меры Хаара

О компактной группе $G$ существует ровно одна мера $dt,$ такой, что:

• Это инвариантная к левой трансляции мера.

$\forall s\in G:\quad \int _{G}f(t)dt=\int _{G}f(st)dt.$

• Вся группа имеет единицу измерения:

$\int _{G}dt=1,$

Такая левотрансляционно-инвариантная нормированная мера называется мерой Хаара группы $G.$

С $G$ компактна, можно показать, что эта мера также инвариантна относительно правого сдвига, т. е. она также применима

$\forall s\in G:\quad \int _{G}f(t)dt=\int _{G}f(ts)dt.$

В соответствии с приведенным выше масштабированием мера Хаара на конечной группе определяется выражением $dt(s)={\tfrac {1}{|G|}}$ для всех $s\in G.$

Все определения представлений конечных групп, упомянутые в разделе «Свойства» , применимы и к представлениям компактных групп. Но необходимы некоторые модификации:

Чтобы определить подпредставление, нам теперь нужно замкнутое подпространство. В этом не было необходимости для конечномерных пространств представления, поскольку в этом случае каждое подпространство уже замкнуто. Кроме того, два представления $\rho ,\pi$ компактной группы $G$ называются эквивалентными, если существует биективный непрерывный линейный оператор $T$ между пространствами представления, обратное которых также непрерывно и которое удовлетворяет $T\circ \rho (s)=\pi (s)\circ T$ для всех $s\in G.$

Если $T$ унитарно, то два представления называются унитарным эквивалентом .

Чтобы получить $G$–инвариантный внутренний продукт от не $G$–инвариант, теперь нам придется использовать интеграл по $G$ вместо суммы. Если $(\cdot |\cdot )$ является внутренним произведением в гильбертовом пространстве $V,$ которое не инвариантно относительно представления $\rho$ из $G,$ затем

$(v|u)_{\rho }=\int _{G}(\rho (t)v|\rho (t)u)dt$

это $G$–инвариантный внутренний продукт на $V$ в силу свойств меры Хаара $dt.$ Таким образом, мы можем считать каждое представление в гильбертовом пространстве унитарным.

Позволять $G$ компактная группа и пусть $s\in G.$ Позволять $L^{2}(G)$ — гильбертово пространство суммируемых с квадратом функций на $G.$ Определим оператор $L_{s}$ на этом пространстве от $L_{s}\Phi (t)=\Phi (s^{-1}t),$ где $\Phi \in L^{2}(G),t\in G.$

Карта $s\mapsto L_{s}$ является унитарным представлением $G.$ Это называется леворегулярным представлением . праворегулярное представление Аналогично определяется . Поскольку мера Хаара $G$ также инвариантен к правостороннему сдвигу, оператор $R_{s}$ на $L^{2}(G)$ дается $R_{s}\Phi (t)=\Phi (ts).$ Праворегулярное представление тогда является унитарным представлением, заданным формулой $s\mapsto R_{s}.$ Два представления $s\mapsto L_{s}$ и $s\mapsto R_{s}$ двойственны друг другу.

Если $G$ бесконечно, эти представления не имеют конечной степени. Лево- и право-регулярное представление , определенное в начале, изоморфно лево- и право-регулярному представлению, определенному выше, если группа $G$ конечно. Это связано с тем, что в данном случае $L^{2}(G)\cong L^{1}(G)\cong \mathbb {C} [G].$

Конструкции и декомпозиции

Различные способы построения новых представлений из заданных можно использовать и для компактных групп, за исключением двойственного представления, о котором мы поговорим позже. и Прямая сумма тензорное произведение с конечным числом слагаемых/множителей определяются точно так же, как и для конечных групп. Это также относится к симметричному и чередующемуся квадрату. Однако нам нужна мера Хаара на прямом произведении компактных групп, чтобы расширить теорему о том, что неприводимые представления произведения двух групп являются (с точностью до изоморфизма) в точности тензорным произведением неприводимых представлений фактор-групп. Прежде всего, заметим, что прямое произведение $G_{1}\times G_{2}$ двух компактных групп снова является компактной группой, если ей присвоена топология произведения . Тогда мера Хаара для прямого произведения определяется произведением мер Хаара на фактор-группы.

Для двойственного представления на компактных группах нам потребуется топологическое двойственное представление $V'$ векторного пространства $V.$ Это векторное пространство всех непрерывных линейных функционалов из векторного пространства $V$ в базовое поле. Позволять $\pi$ быть представлением компактной группы $G$ в $V.$

Двойное представительство $\pi ':G\to {\text{GL}}(V')$ определяется свойством

$\forall v\in V,\forall v'\in V',\forall s\in G:\qquad \left\langle \pi '(s)v',\pi (s)v\right\rangle =\langle v',v\rangle :=v'(v).$

Таким образом, мы можем заключить, что двойственное представление имеет вид $\pi '(s)v'=v'\circ \pi (s^{-1})$ для всех $v'\in V',s\in G.$ Карта $\pi '$ снова является непрерывным групповым гомоморфизмом и, следовательно, представлением.

О гильбертовых пространствах: $\pi$ неприводимо тогда и только тогда, когда $\pi '$ является нередуцируемым.

Перенося результаты секционных разложений на компактные группы, получаем следующие теоремы:

Теорема. Каждое неприводимое представление $(\tau ,V_{\tau })$ компактной группы в гильбертово пространство конечномерна и существует скалярное произведение на $V_{\tau }$ такой, что $\tau$ является унитарным. Поскольку мера Хаара нормирована, этот скалярный продукт уникален.

Каждое представление компактной группы изоморфно прямой сумме Гильберта неприводимых представлений.

Позволять $(\rho ,V_{\rho })$ — унитарное представление компактной группы $G.$ Как и для конечных групп, мы определяем для неприводимого представления $(\tau ,V_{\tau })$ изотип или изотипический компонент в $\rho$ быть подпространством

$V_{\rho }(\tau )=\sum _{V_{\tau }\cong U\subset V_{\rho }}U.$

Это сумма всех инвариантных замкнутых подпространств. $U,$ которые $G$–изоморфен $V_{\tau }.$

Заметим, что изотипы неэквивалентных неприводимых представлений попарно ортогональны.

Теорема.

(я) $V_{\rho }(\tau )$ является замкнутым инвариантным подпространством $V_{\rho }.$

(ii) $V_{\rho }(\tau )$ является $G$–изоморфен прямой сумме копий $V_{\tau }.$

(iii) Каноническое разложение: $V_{\rho }$ - прямая сумма Гильберта изотипов $V_{\rho }(\tau ),$ в котором $\tau$ проходит через все классы изоморфизма неприводимых представлений.

Соответствующая проекция на каноническое разложение $p_{\tau }:V\to V(\tau ),$ в котором $V(\tau )$ является изотипом $V,$ для компактных групп, заданных формулой

$p_{\tau }(v)=n_{\tau }\int _{G}{\overline {\chi _{\tau }(t)}}\rho (t)(v)dt,$

где $n_{\tau }=\dim(V(\tau ))$ и $\chi _{\tau }$ – характер, соответствующий неприводимому представлению $\tau .$

Формула прогноза

Для каждого представления $(\rho ,V)$ компактной группы $G$ мы определяем

$V^{G}=\{v\in V:\rho (s)v=v\,\,\,\forall s\in G\}.$

В общем $\rho (s):V\to V$ не $G$–линейный. Позволять

$Pv:=\int _{G}\rho (s)vds.$

Карта $P$ определяется как эндоморфизм на $V$ имея собственность

$\left.\left(\int _{G}\rho (s)vds\right|w\right)=\int _{G}(\rho (s)v|w)ds,$

что справедливо для скалярного произведения гильбертова пространства $V.$

Затем $P$ является $G$–линейный, потому что

${\begin{aligned}\left.\left(\int _{G}\rho (s)(\rho (t)v)ds\right|w\right)&=\int _{G}\left.\left(\rho \left(tst^{-1}\right)(\rho (t)v)\right|w\right)ds\\&=\int _{G}(\rho (ts)v|w)ds\\&=\int (\rho (t)\rho (s)v|w)ds\\&=\left.\left(\rho (t)\int _{G}\rho (s)vds\right|w\right),\end{aligned}}$

где мы использовали инвариантность меры Хаара.

Предложение. Карта $P$ это проекция из $V$ к $V^{G}.$

Если представление конечномерно, то можно определить прямую сумму тривиального подпредставления так же, как и в случае конечных групп.

Характеры, лемма Шура и внутренний продукт

Обычно представления компактных групп исследуются в гильбертовых и банаховых пространствах . В большинстве случаев они не являются конечномерными. Поэтому нецелесообразно ссылаться на характеры , когда речь идет о представлениях компактных групп. Тем не менее в большинстве случаев можно ограничиться исследованием случая конечных размерностей:

Поскольку неприводимые представления компактных групп конечномерны и унитарны (см. результаты первого пункта ), мы можем определить неприводимые характеры так же, как это было сделано для конечных групп.

Пока построенные представления остаются конечномерными, характеры вновь построенных представлений можно получить так же, как и для конечных групп.

Лемма Шура справедлива и для компактных групп:

Позволять $(\pi ,V)$ — неприводимое унитарное представление компактной группы $G.$ Тогда каждый ограниченный оператор $T:V\to V$ удовлетворение собственности $T\circ \pi (s)=\pi (s)\circ T$ для всех $s\in G,$ является скалярным кратным единицы, т. е. существует $\lambda \in \mathbb {C}$ такой, что $T=\lambda {\text{Id}}.$

Определение. Формула

$(\Phi |\Psi )=\int _{G}\Phi (t){\overline {\Psi (t)}}dt.$

определяет скалярный продукт на множестве всех интегрируемых с квадратом функций $L^{2}(G)$ компактной группы $G.$ Так же

$\langle \Phi ,\Psi \rangle =\int _{G}\Phi (t)\Psi (t^{-1})dt.$

определяет билинейную форму на $L^{2}(G)$ компактной группы $G.$

Билинейная форма в пространствах представлений определена точно так же, как и для конечных групп, и, аналогично конечным группам, поэтому справедливы следующие результаты:

Теорема. Позволять $\chi$ и $\chi '$ — характеры двух неизоморфных неприводимых представлений $V$ и $V',$ соответственно. Тогда справедливо следующее

• $(\chi |\chi ')=0.$
• $(\chi |\chi )=1,$ т.е. $\chi$ есть "норма" $1.$

Теорема. Позволять $V$ быть представителем $G$ с характером $\chi _{V}.$ Предполагать $W$ является неприводимым представлением $G$ с характером $\chi _{W}.$ Количество субпредставлений $V$ эквивалентно $W$ не зависит от какого-либо данного разложения для $V$ и равен внутреннему продукту $(\chi _{V}|\chi _{W}).$

Критерий неприводимости. Позволять $\chi$ быть характером представления $V,$ затем $(\chi |\chi )$ является положительным целым числом. Более того $(\chi |\chi )=1$ тогда и только тогда, когда $V$ является нередуцируемым.

Следовательно, по первой теореме характеры неприводимых представлений $G$ образуют ортонормированное множество на $L^{2}(G)$ относительно этого внутреннего продукта.

Следствие. Каждое неприводимое представление $V$ из $G$ содержится $\dim(V)$– раз в леворегулярном представлении.

Лемма. Позволять $G$ быть компактной группой. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

• $G$ является абелевым.
• Все неприводимые представления $G$ иметь степень $1.$

Ортонормированное свойство. Позволять $G$ быть группой. Неизоморфные неприводимые представления $G$ образуют ортонормированный базис в $L^{2}(G)$ относительно этого внутреннего продукта.

Поскольку мы уже знаем, что неизоморфные неприводимые представления ортонормированы, нам нужно лишь проверить, что они порождают $L^{2}(G).$ Это можно сделать, доказав, что не существует функции, интегрируемой с ненулевым квадратом на $G$ ортогональна всем неприводимым характерам.

Как и в случае конечных групп, число неприводимых представлений с точностью до изоморфизма группы $G$ равно числу классов сопряженности $G.$ Однако, поскольку компактная группа, вообще говоря, имеет бесконечное число классов сопряженности, это не дает никакой полезной информации.

Индуцированное представление

Если $H$ — замкнутая подгруппа конечного индекса в компактной группе $G,$ определение индуцированного представления можно принять для конечных групп.

Однако индуцированное представление можно определить в более общем смысле, так что определение будет действительным независимо от индекса подгруппы. $H.$

Для этого пусть $(\eta ,V_{\eta })$ — унитарное представление замкнутой подгруппы $H.$ Непрерывное индуцированное представление ${\text{Ind}}_{H}^{G}(\eta )=(I,V_{I})$ определяется следующим образом:

Позволять $V_{I}$ обозначают гильбертово пространство всех измеримых функций, интегрируемых с квадратом $\Phi :G\to V_{\eta }$ с собственностью $\Phi (ls)=\eta (l)\Phi (s)$ для всех $l\in H,s\in G.$ Норма определяется

$\|\Phi \|_{G}={\text{sup}}_{s\in G}\|\Phi (s)\|$

и представительство $I$ дается как правильный перевод: $I(s)\Phi (k)=\Phi (ks).$

Тогда индуцированное представление снова является унитарным представлением.

С $G$ компактно, индуцированное представление разлагается в прямую сумму неприводимых представлений $G.$ Заметим, что все неприводимые представления, принадлежащие одному изотипу, появляются с кратностью, равной $\dim({\text{Hom}}_{G}(V_{\eta },V_{I}))=\langle V_{\eta },V_{I}\rangle _{G}.$

Позволять $(\rho ,V_{\rho })$ быть представителем $G,$ то существует канонический изоморфизм

$T:{\text{Hom}}_{G}(V_{\rho },I_{H}^{G}(\eta ))\to {\text{Hom}}_{H}(V_{\rho }|_{H},V_{\eta }).$

вместе Взаимность Фробениуса с модифицированными определениями скалярного произведения и билинейной формы переносится на компактные группы. Теперь теорема справедлива для функций, интегрируемых с квадратом на $G$ вместо функций класса, но подгруппа $H$ должен быть закрыт.

Теорема Питера-Вейля

Дополнительная информация: теорема Питера-Вейля.

Другим важным результатом теории представлений компактных групп является теорема Петера-Вейля. Обычно оно представлено и доказано в гармоническом анализе , поскольку представляет собой одно из его центральных и фундаментальных утверждений.

Теорема Питера-Вейля. Позволять $G$ быть компактной группой. Для каждого неприводимого представления $(\tau ,V_{\tau })$ из $G$ позволять $\{e_{1},\ldots ,e_{\dim(\tau )}\}$ быть ортонормированным базисом $V_{\tau }.$ Определим матричные коэффициенты $\tau _{k,l}(s)=\langle \tau (s)e_{k},e_{l}\rangle$ для $k,l\in \{1,\ldots ,\dim(\tau )\},s\in G.$ Тогда мы имеем следующий ортонормированный базис $L^{2}(G)$:

$\left({\sqrt {\dim(\tau )}}\tau _{k,l}\right)_{k,l}$

Мы можем переформулировать эту теорему, чтобы получить обобщение ряда Фурье для функций на компактных группах:

Теорема Питера-Вейля (вторая версия). Существует естественный $G\times G$–изоморфизм

$L^{2}(G)\cong _{G\times G}{\widehat {\bigoplus }}_{\tau \in {\widehat {G}}}{\text{End}}(V_{\tau })\cong _{G\times G}{\widehat {\bigoplus }}_{\tau \in {\widehat {G}}}\tau \otimes \tau ^{*}$

в котором ${\widehat {G}}$ есть множество всех неприводимых представлений $G$ с точностью до изоморфизма и $V_{\tau }$ — пространство представления, соответствующее $\tau .$ Более конкретно:

${\begin{cases}\Phi \mapsto \sum _{\tau \in {\widehat {G}}}\tau (\Phi )\\[5pt]\tau (\Phi )=\int _{G}\Phi (t)\tau (t)dt\in {\text{End}}(V_{\tau })\end{cases}}$

История

Общие черты теории представлений конечной группы G над комплексными числами были открыты Фердинандом Георгом Фробениусом еще до 1900 года. Позже была развита модульная теория представлений Рихарда Брауэра .

См. также

• Теория персонажей
• Реальное представительство
• Отношения ортогональности Шура
• Гипотеза Маккея
• Кольцо Бернсайда

Литература

• Боннафе, Седрик (2010). Представления SL2(Fq) . Алгебра и приложения. Том. 13. Спрингер. ISBN  9780857291578 .
• Бамп, Дэниел (2004), Группы лжи , Тексты для выпускников по математике, том. 225, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  0-387-21154-3
• [1] Серр, Жан-Пьер (1977), Линейные представления конечных групп , Нью-Йорк: Springer Verlag, ISBN  0-387-90190-6
• [2] Фултон, Уильям; Харрис, Джо: Теория представлений: первый курс. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк, 1991 г., ISBN   0-387-97527-6 .
• [3] Альперин, Дж.Л.; Белл, Роуэн Б.: Группы и репрезентации Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1995, ISBN   0-387-94525-3 .
• [4] Дойтмар, Антон: Автоморфные формы Springer-Verlag 2010, ISBN   978-3-642-12389-4 , с. 89-93,185-189
• [5] Эхтергоф, Зигфрид; Дейтмар, Антон: Принципы гармонического анализа Springer-Verlag 2009, ISBN   978-0-387-85468-7 , с. 127-150
• [6] Ланг, Серж: Алгебра Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк, 2002, ISBN   0-387-95385-X , с. 663-729
• [7] Сенгупта, Амбар (2012). Представление конечных групп: полупростое введение . Нью-Йорк. ISBN  9781461412311 . OCLC   769756134 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )