Теорема Питера – Вейля

В математике теорема Питера -Вейля является основным результатом теории гармонического анализа , применимым к топологическим группам , которые компактны , но не обязательно являются абелевыми . Первоначально это было доказано Германом Вейлем и его учеником Фрицем Петером в условиях компактной топологической группы G ( Peter & Weyl 1927 ). Теорема представляет собой набор результатов, обобщающих важные факты о разложении регулярного представления любой конечной группы , открытые Фердинандом Георгом Фробениусом и Иссаем Шуром .

Пусть G — компактная группа. Теорема состоит из трех частей. В первой части утверждается, что матричные коэффициенты неприводимых представлений плотны G в пространстве C ( G ) непрерывных комплекснозначных функций на G , а значит, и в пространстве L ² ( G ) функций, интегрируемых с квадратом . Вторая часть утверждает полную приводимость представлений G унитарных . Третья часть тогда утверждает, что регулярное представление группы G на L ² ( G ) разлагается как прямая сумма всех неприводимых унитарных представлений. , матричные коэффициенты неприводимых унитарных представлений образуют ортонормированный базис L Более того ² ( Г ). В случае, если G — группа единичных комплексных чисел, этот последний результат является просто стандартным результатом из рядов Фурье.

Матричные коэффициенты

Матричный коэффициент группы G представляет собой комплексную функцию $\varphi$ на G, заданном в виде композиции

$\varphi =L\circ \pi$

где π : G → GL( V ) — конечномерное ( непрерывное ) групповое представление G L , а — линейный функционал в векторном пространстве эндоморфизмов V (например , след), который содержит GL( V ) как открытый подмножество. Коэффициенты матрицы непрерывны, поскольку представления по определению непрерывны, а линейные функционалы на конечномерных пространствах также непрерывны.

Первая часть теоремы Питера-Вейля утверждает ( Bump 2004 , §4.1; Knapp 1986 , теорема 1.12):

Теорема Питера–Вейля (часть I). Множество матричных коэффициентов группы G плотно G в пространстве непрерывных комплексных функций C( ) на G , снабженном равномерной нормой .

Этот первый результат напоминает теорему Стоуна-Вейерштрасса тем, что он указывает плотность набора функций в пространстве всех непрерывных функций, подлежащих только алгебраической характеризации . Фактически, матричные коэффициенты образуют единичную алгебру, инвариантную относительно комплексного сопряжения, поскольку произведение двух матричных коэффициентов является матричным коэффициентом представления тензорного произведения, а комплексно-сопряженное число является матричным коэффициентом двойственного представления. Следовательно, теорема следует непосредственно из теоремы Стоуна-Вейерштрасса, если матричные коэффициенты разделяют точки, что очевидно, если G является матричной группой ( Кнапп 1986 , стр. 17). И наоборот, следствием теоремы является то, что любая компактная группа Ли изоморфна группе матриц ( Кнапп 1986 , теорема 1.15).

Следствием этого результата является то, что матричные коэффициенты группы G плотны в L ² ( Г ).

Разложение унитарного представления

Вторая часть теоремы доказывает существование разложения унитарного представления группы G на конечномерные представления. Интуитивно группы воспринимались как вращения геометрических объектов, поэтому вполне естественно изучать представления, которые по существу возникают в результате непрерывных действий в гильбертовых пространствах. (Для тех, кто впервые познакомился с двойственными группами, состоящими из характеров, которые являются непрерывными гомоморфизмами в группу окружностей , этот подход аналогичен, за исключением того, что группа окружностей (в конечном итоге) обобщается до группы унитарных операторов в данном гильбертовом пространстве.)

Пусть G — топологическая группа, а H — комплексное гильбертово пространство.

Непрерывное линейное действие ∗ : G × H → H порождает непрерывное отображение ρ _∗ : G → H ^ЧАС (функции из H в H с сильной топологией ), определенные формулой: ρ _∗ ( g )( v ) = ∗(g,v) . очевидно, является гомоморфизмом G в GL( H ), ограниченных линейных операторов в H. Это отображение , И наоборот, по такому отображению мы можем однозначно восстановить действие очевидным способом.

Таким образом, мы определяем представления G в гильбертовом пространстве H как те групповые гомоморфизмы ρ, которые возникают в результате непрерывных действий G на H . Мы говорим, что представление ρ унитарно , если ρ( g ) — унитарный оператор для всех g ∈ G ; то есть, $\langle \rho (g)v,\rho (g)w\rangle =\langle v,w\rangle$ для v , ш ∈ H. всех (Т.е. оно унитарно, если ρ : G → U( H ). Обратите внимание, как это обобщает частный случай одномерного гильбертова пространства, где U( C ) — это просто группа окружностей.)

Учитывая эти определения, мы можем сформулировать вторую часть теоремы Питера–Вейля ( Кнапп 1986 , теорема 1.12):

Теорема Питера–Вейля (часть II). — унитарное представление компактной группы G в комплексном гильбертовом пространстве H. Пусть ρ Тогда H распадается в ортогональную прямую сумму неприводимых конечномерных унитарных представлений G .

Разложение функций, интегрируемых с квадратом

Чтобы сформулировать третью и последнюю часть теоремы, существует естественное гильбертово пространство над G, состоящее из интегрируемых с квадратом функций $L^{2}(G)$; это имеет смысл, поскольку мера Хаара существует на G . Группа G имеет унитарное представление ρ на $L^{2}(G)$ дается, действуя слева, через

$\rho (h)f(g)=f(h^{-1}g).$

Последнее утверждение теоремы Питера–Вейля ( Кнапп, 1986 , теорема 1.12) дает явный ортонормированный базис $L^{2}(G)$. что матричные коэффициенты для G , соответствующим образом перенормированные, являются ортонормированным базисом L. Грубо говоря, он утверждает , ² ( Г ). В частности, $L^{2}(G)$ разлагается в ортогональную прямую сумму всех неприводимых унитарных представлений, в которой кратность каждого неприводимого представления равна его степени (т. е. размерности основного пространства представления). Таким образом,

$L^{2}(G)={\underset {\pi \in \Sigma }{\widehat {\bigoplus }}}E_{\pi }^{\oplus \dim E_{\pi }}$

где Σ обозначает множество (классов изоморфизма) неприводимых унитарных представлений группы G , а суммирование обозначает замыкание прямой суммы тотальных пространств E _π представлений π.

Мы также можем рассматривать $L^{2}(G)$ как представление прямой группы продуктов $G\times G$, причем два фактора действуют путем перевода слева и справа соответственно. Исправить представление $(\pi ,E_{\pi })$ из $G$. Пространство матричных коэффициентов представления можно отождествить с $\operatorname {End} (E_{\pi })$, пространство линейных отображений $E_{\pi }$ самому себе. Естественное левое и правое действие $G\times G$ на матричные коэффициенты соответствует действию на $\operatorname {End} (E_{\pi })$ данный

$(g,h)\cdot A=\pi (g)A\pi (h)^{-1}.$

Тогда мы можем разложить $L^{2}(G)$ как унитарное представительство $G\times G$ в форме

$L^{2}(G)={\underset {\pi \in \Sigma }{\widehat {\bigoplus }}}E_{\pi }\otimes E_{\pi }^{*}.$

Наконец, мы можем сформировать ортонормированный базис для $L^{2}(G)$ следующее. Предположим, что для каждого класса изоморфизма неприводимого унитарного представления выбран представитель π, и обозначим совокупность всех таких π через Σ. Позволять $\scriptstyle {u_{ij}^{(\pi )}}$ — матричные коэффициенты числа π в ортонормированном базисе, другими словами

$u_{ij}^{(\pi )}(g)=\langle \pi (g)e_{j},e_{i}\rangle .$

для каждого g ∈ G . Наконец, пусть d ^(п) — степень представления π. Теперь теорема утверждает, что набор функций

$\left\{{\sqrt {d^{(\pi )}}}u_{ij}^{(\pi )}\mid \,\pi \in \Sigma ,\,\,1\leq i,j\leq d^{(\pi )}\right\}$

является ортонормированным базисом $L^{2}(G).$

Ограничение на функции класса

Функция $f$ на G называется функцией класса, если $f(hgh^{-1})=f(g)$ для всех $g$ и $h$ в Г. ​Пространство функций класса, интегрируемых с квадратом, образует замкнутое подпространство $L^{2}(G)$и, следовательно, является самостоятельным гильбертовым пространством. В пространстве матричных коэффициентов фиксированного представления $\pi$ это персонаж $\chi _{\pi }$ из $\pi$, определяемый

$\chi _{\pi }(g)=\operatorname {trace} (\pi (g)).$

В обозначениях выше символ представляет собой сумму коэффициентов диагональной матрицы:

$\chi _{\pi }=\sum _{i=1}^{d^{(\pi )}}u_{ii}^{(\pi )}.$

Важным следствием предыдущего результата является следующее:

Теорема : Характеры неприводимых представлений группы G образуют базис Гильберта для пространства интегрируемых с квадратом функций класса G. на

Этот результат играет важную роль в классификации Вейля представлений связной компактной группы Ли .

Пример: U(1)

Простым, но полезным примером является случай группы комплексных чисел величины 1: $G=S^{1}$. В этом случае неприводимые представления одномерны и имеют вид

$\pi _{n}(e^{i\theta })=e^{in\theta }.$

Тогда для каждого представления существует один матричный коэффициент, функция

$u_{n}(e^{i\theta })=e^{in\theta }.$

Последняя часть теоремы Петера-Вейля в этом случае утверждает, что эти функции образуют ортонормированный базис для $L^{2}(S^{1})$. В этом случае теорема представляет собой просто стандартный результат теории рядов Фурье.

Для любой компактной группы G мы можем рассмотреть разложение $L^{2}(G)$ в терминах матричных коэффициентов как обобщение теории рядов Фурье. Действительно, это разложение часто называют рядом Фурье.

Пример: SU(2)

Мы используем стандартное представление группы SU(2) в виде

$\operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,\,|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~,$

Таким образом, SU(2) представляется в виде 3-сферы $S^{3}$ сидя внутри $\mathbb {C} ^{2}=\mathbb {R} ^{4}$.При этом неприводимые представления SU(2) помечаются неотрицательным целым числом. $m$ и может быть реализовано как естественное действие SU(2) на пространство однородных многочленов степени $m$ в двух комплексных переменных. Матричные коэффициенты $m$представлением являются гиперсферические гармоники степени $m$, то есть ограничения на $S^{3}$ однородных гармонических полиномов степени $m$ в $\alpha$ и $\beta$. Ключом к проверке этого утверждения является вычисление того, что для любых двух комплексных чисел $z_{1}$ и $z_{2}$, функция

$(\alpha ,\beta )\mapsto (z_{1}\alpha +z_{2}\beta )^{m}$

гармонична как функция $(\alpha ,\beta )\in \mathbb {C} ^{2}=\mathbb {R} ^{4}$.

В этом случае поиск ортонормированного базиса для $L^{2}(\operatorname {SU} (2))=L^{2}(S^{3})$ состоящая из матричных коэффициентов, сводится к нахождению ортонормированного базиса, состоящего из гиперсферических гармоник, что является стандартной конструкцией в анализе на сферах.

Последствия

Теория представлений связных компактных групп Ли

Теорема Питера-Вейля, а именно утверждение о том, что характеры образуют ортонормированный базис пространства функций класса, интегрируемых с квадратом, играет ключевую роль в классификации неприводимых представлений связной компактной группы Ли. Аргумент также зависит от интегральной формулы Вейля (для функций класса) и формулы характера Вейля .

Краткое изложение аргумента можно найти здесь .

Линейность компактных групп Ли

Одним из важных следствий теоремы Питера – Вейля является следующее:

Теорема : Каждая компактная группа Ли имеет точное конечномерное представление и, следовательно, изоморфна замкнутой подгруппе группы Ли. $\operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )$ для некоторых $n$.

Структура компактных топологических групп

Из теоремы Питера – Вейля можно вывести важную общую структурную теорему. Пусть G — компактная топологическая группа, которую мы предполагаем Хаусдорфовой . Для любого конечномерного G -инвариантного подпространства V в L ² ( G ), где G действует слева, рассмотрим образ G в GL( V ). Она замкнута, поскольку G компактна и является подгруппой группы Ли GL( V ). следует По теореме Эли Картана , что образ G также является группой Ли.

Если мы теперь возьмем предел (в смысле теории категорий ) по всем таким пространствам V , мы получим результат о G : Поскольку G действует точно на L ² ( G ), G — обратный предел групп Ли . Конечно, она сама может не быть группой Ли: она может, например, быть проконечной группой .

См. также

• Двойственность Понтрягина

Ссылки

• Питер, Ф.; Вейль, Х. (1927), «Полнота примитивных представлений замкнутой непрерывной группы», Math. , 97 : 737–755, doi : 10.1007/BF01447892 .
• Бамп, Дэниел (2004), Группы лжи , Спрингер, ISBN  0-387-21154-3 .
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-3319134666 .
• «Теорема Питера-Вейля» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Кнапп, Энтони (1986), Теория представлений полупростых групп , Princeton University Press, ISBN  0-691-09089-0 .
• Кнапп, Энтони В. (2002), Группы Ли за пределами введения , Progress in Mathematics, vol. 140 (2-е изд.), Бостон: Биркхойзер, ISBN  0-8176-4259-5 .
• Мостоу, Джордж Д. (1961), «Когомологии топологических групп и сольвмногообразий», Annals of Mathematics , 73 (1), Princeton University Press: 20–48, doi : 10.2307/1970281 , JSTOR   1970281
• Пале, Ричард С .; Стюарт, Т.Э. (1961), «Когомологии дифференцируемых групп преобразований», Американский журнал математики , 83 (4), The Johns Hopkins University Press: 623–644, doi : 10.2307/2372901 , JSTOR   2372901 .

Специфический