Положительно определенная функция на группе
В математике, и особенно в теории операторов , положительно определенная функция на группе связывает понятия положительности в контексте гильбертовых пространств и алгебраических групп . Его можно рассматривать как особый тип положительно определенного ядра , в котором базовый набор имеет дополнительную групповую структуру.
Определение
[ редактировать ]Пусть G — группа, H комплексное гильбертово пространство и L ( H ) — ограниченные операторы в H. — Положительно определенная функция на G — это функция F : G → L ( H ), которая удовлетворяет условию
для каждой функции h : G → H с конечным носителем ( h принимает ненулевые значения только для конечного числа s ).
Другими словами, функция F : G → L ( H ) называется положительно определенной функцией, если ядро K : G × G → L ( H ), определенное формулой K ( s , t ) = F ( s −1 t ) — положительно определенное ядро.
Унитарные представления
[ редактировать ]Унитарное представление — это унитальный гомоморфизм Φ: G → L ( H ), где Φ( s ) — унитарный оператор для всех s . Для таких Φ, Φ( s −1 ) = Φ( s )*.
Положительно определенные функции на G тесно связаны с унитарными представлениями G . Каждое унитарное представление группы G порождает семейство положительно определенных функций. И наоборот, если задана положительно определенная функция, можно определить унитарное представление группы G. естественным образом
Пусть Φ: G → L ( H — унитарное представление G. ) Если P ∈ L ( H проекция на замкнутое подпространство H` в H. ) — Тогда F ( s ) = PΦ ( s ) — положительно определенная функция на G со значениями в L ( H` ). Это можно легко показать:
для любого h : G → H` с конечным носителем. Если G имеет топологию и Φ слабо (соответственно сильно) непрерывна, то, очевидно, то же самое имеет и F .
С другой стороны, рассмотрим теперь положительно определенную функцию F на G . Унитарное представление группы G можно получить следующим образом. Пусть C 00 ( G , H ) — семейство функций h : G → H с конечным носителем. Соответствующее положительное ядро K ( s , t ) = F ( s −1 t , вырожденное) скалярное произведение на C00 , ( G ) определяет ( возможно H ). Обозначим полученное гильбертово пространство через V .
Заметим, что «элементы матрицы» K ( s , t ) = K ( a −1 с , а −1 t для всех a , s , t в G. ) Итак, U a h ( s ) = h ( a −1 s ) сохраняет скалярное произведение на V , т.е. оно унитарно в L ( V ). Ясно, что отображение Φ( ) = U a является представлением группы G на V. a
Унитарное представление единственно с точностью до изоморфизма гильбертова пространства при условии выполнения следующего условия минимальности:
где обозначает замыкание линейной оболочки.
Определите H как элементы (возможно, классы эквивалентности) в V , носитель которых состоит из единичного элемента e ∈ G , и пусть P будет проекцией на это подпространство. Тогда мы имеем PU a P = F ( a для всех a ∈ G. )
Ядра Теплица
[ редактировать ]Пусть G аддитивная группа целых чисел Z. — Ядро K ( n , m ) = F ( m − n ) называется ядром типа Теплица по аналогии с матрицами Теплица . Если F имеет вид F ( n ) = T н где T — ограниченный оператор, действующий в некотором гильбертовом пространстве. Можно показать, что ядро K ( n , m ) положительно тогда и только тогда, когда T является сжатием . Согласно обсуждению предыдущего раздела, у нас есть унитарное представление Z , Φ( n ) = U н для унитарного оператора U . Более того, свойство PU a P = F ( a ) теперь переводится в PU н П = Т н . Это именно теорема С.-Надя о расширении , которая намекает на важную теоретико-дилатационную характеристику положительности, которая приводит к параметризации произвольных положительно определенных ядер.
Ссылки
[ редактировать ]- Кристиан Берг, Кристенсен, Пол Рессель , Гармонический анализ полугрупп , GTM, Springer Verlag.
- Т. Константинеску, Параметры Шура, проблемы дилатации и факторизации , Birkhauser Verlag, 1996.
- Б. С.-Надь и К. Фойас, Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве, Северная Голландия, 1970.
- З. Сасвари, Положительно определенные и дефинитизируемые функции , Akademie Verlag, 1994.
- Дж. Х. Уэллс, Л. Р. Уильямс, Вложения и расширения в анализе , Результаты математики и ее пограничные области, Том 84. Springer-Verlag, Нью-Йорк-Гейдельберг, 1975. vii + 108 стр.