Jump to content

Положительно определенная функция на группе

В математике, и особенно в теории операторов , положительно определенная функция на группе связывает понятия положительности в контексте гильбертовых пространств и алгебраических групп . Его можно рассматривать как особый тип положительно определенного ядра , в котором базовый набор имеет дополнительную групповую структуру.

Определение

[ редактировать ]

Пусть G — группа, H комплексное гильбертово пространство и L ( H ) — ограниченные операторы в H. — Положительно определенная функция на G — это функция F : G L ( H ), которая удовлетворяет условию

для каждой функции h : G H с конечным носителем ( h принимает ненулевые значения только для конечного числа s ).

Другими словами, функция F : G L ( H ) называется положительно определенной функцией, если ядро ​​K : G × G L ( H ), определенное формулой K ( s , t ) = F ( s −1 t ) — положительно определенное ядро.

Унитарные представления

[ редактировать ]

Унитарное представление — это унитальный гомоморфизм Φ: G L ( H ), где Φ( s ) — унитарный оператор для всех s . Для таких Φ, Φ( s −1 ) = Φ( s )*.

Положительно определенные функции на G тесно связаны с унитарными представлениями G . Каждое унитарное представление группы G порождает семейство положительно определенных функций. И наоборот, если задана положительно определенная функция, можно определить унитарное представление группы G. естественным образом

Пусть Φ: G L ( H — унитарное представление G. ) Если P L ( H проекция на замкнутое подпространство H` в H. ) — Тогда F ( s ) = ( s ) — положительно определенная функция на G со значениями в L ( H` ). Это можно легко показать:

для любого h : G H` с конечным носителем. Если G имеет топологию и Φ слабо (соответственно сильно) непрерывна, то, очевидно, то же самое имеет и F .

С другой стороны, рассмотрим теперь положительно определенную функцию F на G . Унитарное представление группы G можно получить следующим образом. Пусть C 00 ( G , H ) — семейство функций h : G H с конечным носителем. Соответствующее положительное ядро ​​K ( s , t ) = F ( s −1 t , вырожденное) скалярное произведение на C00 , ( G ) определяет ( возможно H ). Обозначим полученное гильбертово пространство через V .

Заметим, что «элементы матрицы» K ( s , t ) = K ( a −1 с , а −1 t для всех a , s , t в G. ) Итак, U a h ( s ) = h ( a −1 s ) сохраняет скалярное произведение на V , т.е. оно унитарно в L ( V ). Ясно, что отображение Φ( ) = U a является представлением группы G на V. a

Унитарное представление единственно с точностью до изоморфизма гильбертова пространства при условии выполнения следующего условия минимальности:

где обозначает замыкание линейной оболочки.

Определите H как элементы (возможно, классы эквивалентности) в V , носитель которых состоит из единичного элемента e G , и пусть P будет проекцией на это подпространство. Тогда мы имеем PU a P = F ( a для всех a G. )

Ядра Теплица

[ редактировать ]

Пусть G аддитивная группа целых чисел Z. — Ядро K ( n , m ) = F ( m n ) называется ядром типа Теплица по аналогии с матрицами Теплица . Если F имеет вид F ( n ) = T н где T — ограниченный оператор, действующий в некотором гильбертовом пространстве. Можно показать, что ядро ​​K ( n , m ) положительно тогда и только тогда, когда T является сжатием . Согласно обсуждению предыдущего раздела, у нас есть унитарное представление Z , Φ( n ) = U н для унитарного оператора U . Более того, свойство PU a P = F ( a ) теперь переводится в PU н П = Т н . Это именно теорема С.-Надя о расширении , которая намекает на важную теоретико-дилатационную характеристику положительности, которая приводит к параметризации произвольных положительно определенных ядер.

  • Кристиан Берг, Кристенсен, Пол Рессель , Гармонический анализ полугрупп , GTM, Springer Verlag.
  • Т. Константинеску, Параметры Шура, проблемы дилатации и факторизации , Birkhauser Verlag, 1996.
  • Б. С.-Надь и К. Фойас, Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве, Северная Голландия, 1970.
  • З. Сасвари, Положительно определенные и дефинитизируемые функции , Akademie Verlag, 1994.
  • Дж. Х. Уэллс, Л. Р. Уильямс, Вложения и расширения в анализе , Результаты математики и ее пограничные области, Том 84. Springer-Verlag, Нью-Йорк-Гейдельберг, 1975. vii + 108 стр.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 9d1cd47ae6125f01976bf3a3a0fc184e__1595253540
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/9d/4e/9d1cd47ae6125f01976bf3a3a0fc184e.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Positive-definite function on a group - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)