Положительно определенная функция на группе

В математике, и особенно в теории операторов , положительно определенная функция на группе связывает понятия положительности в контексте гильбертовых пространств и алгебраических групп . Его можно рассматривать как особый тип положительно определенного ядра , в котором базовый набор имеет дополнительную групповую структуру.

Определение

Пусть G — группа, H комплексное гильбертово пространство и L ( H ) — ограниченные операторы в H. — Положительно определенная функция на G — это функция F : G → L ( H ), которая удовлетворяет условию

$\sum _{s,t\in G}\langle F(s^{-1}t)h(t),h(s)\rangle \geq 0,$

для каждой функции h : G → H с конечным носителем ( h принимает ненулевые значения только для конечного числа s ).

Другими словами, функция F : G → L ( H ) называется положительно определенной функцией, если ядро ​​K : G × G → L ( H ), определенное формулой K ( s , t ) = F ( s ⁻¹ t ) — положительно определенное ядро.

Унитарные представления

Унитарное представление — это унитальный гомоморфизм Φ: G → L ( H ), где Φ( s ) — унитарный оператор для всех s . Для таких Φ, Φ( s ⁻¹ ) = Φ( s )*.

Положительно определенные функции на G тесно связаны с унитарными представлениями G . Каждое унитарное представление группы G порождает семейство положительно определенных функций. И наоборот, если задана положительно определенная функция, можно определить унитарное представление группы G. естественным образом

Пусть Φ: G → L ( H — унитарное представление G. ) Если P ∈ L ( H проекция на замкнутое подпространство H` в H. ) — Тогда F ( s ) = PΦ ( s ) — положительно определенная функция на G со значениями в L ( H` ). Это можно легко показать:

${\begin{aligned}\sum _{s,t\in G}\langle F(s^{-1}t)h(t),h(s)\rangle &=\sum _{s,t\in G}\langle P\Phi (s^{-1}t)h(t),h(s)\rangle \\{}&=\sum _{s,t\in G}\langle \Phi (t)h(t),\Phi (s)h(s)\rangle \\{}&=\left\langle \sum _{t\in G}\Phi (t)h(t),\sum _{s\in G}\Phi (s)h(s)\right\rangle \\{}&\geq 0\end{aligned}}$

для любого h : G → H` с конечным носителем. Если G имеет топологию и Φ слабо (соответственно сильно) непрерывна, то, очевидно, то же самое имеет и F .

С другой стороны, рассмотрим теперь положительно определенную функцию F на G . Унитарное представление группы G можно получить следующим образом. Пусть C ₀₀ ( G , H ) — семейство функций h : G → H с конечным носителем. Соответствующее положительное ядро ​​K ( s , t ) = F ( s ⁻¹ t , вырожденное) скалярное произведение на C00 _, ( G ) определяет ( возможно H ). Обозначим полученное гильбертово пространство через V .

Заметим, что «элементы матрицы» K ( s , t ) = K ( a ⁻¹ с , а ⁻¹ t для всех a , s , t в G. ) Итак, U _a h ( s ) = h ( a ⁻¹ s ) сохраняет скалярное произведение на V , т.е. оно унитарно в L ( V ). Ясно, что отображение Φ( ) = U _a является представлением группы G на V. a

Унитарное представление единственно с точностью до изоморфизма гильбертова пространства при условии выполнения следующего условия минимальности:

$V=\bigvee _{s\in G}\Phi (s)H\,$

где $\bigvee$ обозначает замыкание линейной оболочки.

Определите H как элементы (возможно, классы эквивалентности) в V , носитель которых состоит из единичного элемента e ∈ G , и пусть P будет проекцией на это подпространство. Тогда мы имеем PU _a P = F ( a для всех a ∈ G. )

Ядра Теплица

Пусть G аддитивная группа целых чисел Z. — Ядро K ( n , m ) = F ( m − n ) называется ядром типа Теплица по аналогии с матрицами Теплица . Если F имеет вид F ( n ) = T ^н где T — ограниченный оператор, действующий в некотором гильбертовом пространстве. Можно показать, что ядро ​​K ( n , m ) положительно тогда и только тогда, когда T является сжатием . Согласно обсуждению предыдущего раздела, у нас есть унитарное представление Z , Φ( n ) = U ^н для унитарного оператора U . Более того, свойство PU _a P = F ( a ) теперь переводится в PU ^н П = Т ^н . Это именно теорема С.-Надя о расширении , которая намекает на важную теоретико-дилатационную характеристику положительности, которая приводит к параметризации произвольных положительно определенных ядер.

Ссылки

• Кристиан Берг, Кристенсен, Пол Рессель , Гармонический анализ полугрупп , GTM, Springer Verlag.
• Т. Константинеску, Параметры Шура, проблемы дилатации и факторизации , Birkhauser Verlag, 1996.
• Б. С.-Надь и К. Фойас, Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве, Северная Голландия, 1970.
• З. Сасвари, Положительно определенные и дефинитизируемые функции , Akademie Verlag, 1994.
• Дж. Х. Уэллс, Л. Р. Уильямс, Вложения и расширения в анализе , Результаты математики и ее пограничные области, Том 84. Springer-Verlag, Нью-Йорк-Гейдельберг, 1975. vii + 108 стр.