Геометрия Бюкенхаута
В математике геометрия Бюкенхаута или геометрия диаграмм — это обобщение проективных пространств , зданий Титса и некоторых других геометрических структур, введенных Бюкенхаутом (1979) .
Определение
[ редактировать ]Геометрия Бюкенхаута состоит из множества X, элементы которого называются «многообразиями», с симметричным рефлексивным отношением к X , называемым «инцидентностью», вместе с функцией τ, называемой «картой типов» из X в множество Δ, элементы которого называются «инцидентностью». типы» и размер которого называется «рангом». Две различные разновидности одного и того же типа не могут быть инцидентными.
Флаг — это подмножество X , в котором любые два элемента флага инцидентны. Геометрия Бюкенхаута должна удовлетворять следующей аксиоме:
- Каждый флаг содержится во флаге ровно с одной разновидностью каждого типа.
Пример: X — линейные подпространства проективного пространства с двумя инцидентными подпространствами, если одно содержится в другом, Δ — множество возможных размерностей линейных подпространств, а отображение типов переводит линейное подпространство в его размерность. Флаг в этом случае представляет собой цепочку подпространств, и каждый флаг содержится в так называемом полном флаге.
Если F — флаг, остаток F X состоит из всех элементов , которые не входят в F но инцидентны всем элементам F. , Остаток флага очевидным образом образует геометрию Бюкенхаута, типом которой являются типы X , не являющиеся типами F . Говорят, что геометрия обладает некоторым свойством по остаточному принципу, если каждый остаток ранга не менее 2 обладает этим свойством. В частности, геометрия называется аппроксимируемо связной , если каждый вычет ранга не ниже 2 связен (по отношению инцидентности).
Диаграммы
[ редактировать ]На диаграмме геометрии Бюкенхаута есть точка для каждого типа, а две точки x , y соединены линией, помеченной, чтобы указать, какой тип геометрии имеют остатки ранга 2 типа { x , y } следующим образом.
- Если остаток ранга 2 является двуугольником, то есть любое многообразие типа x инцидентно каждому многообразию типа y , то линия от x до y опускается. (Это самый распространенный случай.)
- Если остаток ранга 2 является проективной плоскостью, то прямая от x до y не помечена. Это следующий по распространенности случай.
- Если остаток ранга 2 представляет собой более сложную геометрию, линия помечается каким-либо символом, который имеет тенденцию меняться от автора к автору.
Ссылки
[ редактировать ]- Букенхаут, Фрэнсис (1979), «Диаграммы для геометрии и групп», Журнал комбинаторной теории, серия A , 27 (2): 121–151, doi : 10.1016/0097-3165(79)90041-4 , ISSN 1096-0899 , МР 0542524
- Букенхаут, Ф. , изд. (1995), Справочник по геометрии падения , Амстердам: Северная Голландия, ISBN. 978-0-444-88355-1 , МР 1360715
- Кэмерон, Питер Дж. (1991), Проективные и полярные пространства , QMW Maths Notes, vol. 13, Лондон: Школа математических наук колледжа Королевы Марии и Вестфилда, MR 1153019
- Пасини, Антонио (1994), Геометрия диаграмм , Oxford Science Publications, Оксфорд: Oxford University Press, MR 1318911
- Пасини, Антонио (2001) [1994], «Геометрия диаграмм» , Энциклопедия математики , EMS Press
Внешние ссылки
[ редактировать ]
СМИ, связанные с геометрией Бюкенхаута, на Викискладе?
