Функция расстояния Вейля

В комбинаторной геометрии функция расстояния Вейля — это функция, которая в некотором смысле ведет себя как расстояния метрического пространства , но вместо того, чтобы принимать значения в положительных действительных числах, она принимает значения в группе отражений функция , называемой группой Вейля ( назван в честь Германа Вейля ). Эта функция расстояния определяется для совокупности камер в математической структуре, известной как здание , а ее значение для пары камер представляет собой минимальную последовательность отражений (в группе Вейля), идущих от одной камеры к другой. Соседняя последовательность камер в здании известна как галерея, поэтому функция расстояния Вейля — это способ кодирования информации о минимальной галерее между двумя камерами. В частности, количество отражений, проходящих от одной камеры к другой, совпадает с длиной минимальной галереи между двумя камерами и, таким образом, дает естественную метрику (метрику галереи) здания. Согласно Абраменко и Брауну (2008) , функция расстояния Вейля представляет собой что-то вроде геометрический вектор : он кодирует как величину (расстояние) между двумя камерами здания, так и направление между ними.

Определения

Мы записываем здесь определения Абраменко и Брауна (2008) . Пусть Σ( W , S ) — комплекс Кокстера , ассоциированный с группой W, порожденной набором отражений S . Вершины Σ( W , S ) являются элементами W , а камеры комплекса являются смежными классами S в W . Вершины каждой камеры могут быть окрашены взаимно однозначно элементами S так, чтобы никакие соседние вершины комплекса не имели одинаковый цвет. Эта раскраска, хотя и канонична по своей сути, не совсем уникальна. Раскраска данной камеры не определяется однозначно ее реализацией как смежного класса S . Но как только окраска одной камеры будет исправлена, остальная часть комплекса Кокстера станет уникально раскрашиваемой. Зафиксируйте такую ​​раскраску комплекса.

Галерея представляет собой последовательность смежных камер.

$C_{0},C_{1},\dots ,C_{n}.$

Поскольку эти камеры соседние, любая последовательная пара $C_{i-1},C_{i}$ камер имеют общие вершины, кроме одной. Обозначим цвет этой вершины через $s_{i}$. Функция расстояния Вейля между $C_{0}$ и $C_{n}$ определяется

$\delta (C_{0},C_{n})=s_{1}s_{2}\cdots s_{n}.$

Можно показать, что это не зависит от выбора галереи, соединяющей $C_{0}$ и $C_{n}$.

Теперь здание представляет собой симплициальный комплекс, организованный в квартиры, каждая из которых представляет собой комплекс Кокстера (удовлетворяющий некоторым аксиомам связности). Здания можно раскрашивать, поскольку составляющие их комплексы Кокстера тоже можно раскрашивать. Раскраска здания связана с единым выбором группы Вейля для составляющих его комплексов Кокстера, что позволяет рассматривать его как совокупность слов на множестве цветов со связями. Теперь, если $C_{0},\dots ,C_{n}$ представляет собой галерею в здании, затем определите расстояние Вейля между $C_{0}$ и $C_{n}$ к

$\delta (C_{0},C_{n})=s_{1}s_{2}\cdots s_{n}$

где $s_{i}$ такие же, как указано выше. Как и в случае с комплексами Кокстера, это не зависит от выбора галереи, соединяющей камеры. $C_{0}$ и $C_{n}$.

Расстояние до галереи $d(C_{0},C_{n})$ определяется как минимальная длина слова, необходимая для выражения $\delta (C_{0},C_{n})$ в группе Вейля. Символически, $d(C_{0},C_{n})=\ell (\delta (C_{0},C_{n}))$.

Характеристики

Функция расстояния Вейля удовлетворяет нескольким свойствам, аналогичным свойствам функций расстояния в метрических пространствах:

• $\delta (C,D)=1$ тогда и только тогда, когда $C=D$ (элемент группы 1 соответствует пустому слову в S ). Это соответствует свойству $d(C,D)=0$ тогда и только тогда, когда $C=D$ метрики галереи ( Абраменко и Браун 2008 , стр. 199):
• $\delta (C,D)=\delta (D,C)^{-1}$ (инверсия соответствует перестановке слов в алфавите S ). Это соответствует симметрии $d(C,D)=d(D,C)$ метрики галереи.
• Если $\delta (C',C)=s\in S$ и $\delta (C,D)=w$, затем $\delta (C',D)$ это либо w, либо sw . Более того, если $\ell (sw)=\ell (w)+1$, затем $\delta (C',D)=sw$. Это соответствует неравенству треугольника.

Абстрактная характеристика зданий

В дополнение к свойствам, перечисленным выше, функция расстояния Вейля удовлетворяет следующему свойству:

• Если $\delta (C,D)=w$, то для любого $s\in S$ есть палата $C'$, такой, что $\delta (C',C)=s$ и $\delta (C',D)=sw$.

Фактически, это свойство вместе с двумя, перечисленными в разделе «Свойства», дает абстрактную «метрическую» характеристику зданий следующим образом. Предположим, что ( W , S ) — система Кокстера, состоящая из группы Вейля W, отражениями, принадлежащими подмножеству S. порожденной Здание типа ( W , S ) представляет собой пару, состоящую из набора и функции C камер :

$\delta :C\times C\to W$

так, что удовлетворяются три перечисленных выше свойства. Тогда C несет в себе каноническую структуру здания, в которой δ — функция расстояния Вейля.

Ссылки

• Абраменко П.; Браун, К. (2008), Здания: теория и приложения , Springer

Внешние ссылки

• Майк Дэвис, Когомологии групп и зданий Кокстера , ИИГС, 2007.