³Д ₄

В математике группы тройственности Стейнберга типа ³D ₄ образуют семейство групп Штейнберга или скрученных групп Шевалле . Они являются квазирасщепимыми формами D ₄ , зависящими от кубического расширения Галуа полей автоморфизм K ⊂ L и использующими тройственности диаграммы Дынкина D ₄ . К сожалению, обозначение группы не стандартизировано, так как некоторые авторы пишут его как ³Д ₄ ( К ) (думая о ³D ₄ как алгебраическая группа, принимающая значения в K ), а некоторые как ³D ₄ ( L ) (представление группы как подгруппы D ₄ ( L ), фиксированной внешним автоморфизмом порядка 3). Группа ³D ₄ очень похожа на ортогональную или спиновую группу в размерности 8.

Над конечными полями эти группы образуют одно из 18 бесконечных семейств конечных простых групп и были введены Стейнбергом (1959) . Они были независимо обнаружены Жаком Титсом в работах «Титс» (1958) и «Титс» (1959) .

Строительство

Односвязная расщепляемая алгебраическая группа типа D ₄ порядка 3 имеет автоморфизм тройственности σ порядка 3, происходящий из автоморфизма ее диаграммы Дынкина. Если L — поле с автоморфизмом τ порядка 3, то это индуцирует автоморфизм τ порядка 3 группы D ₄ ( L ). Группа ³D ₄ ( L ) — подгруппа в D ₄ ( L ) точек, фиксированных στ. Он имеет три 8-мерных представления над полем L , перестановочные внешним автоморфизмом τ порядка 3.

Над конечными полями

Группа ³Д ₄ ( q ³) имеет порядок д ¹²( q ⁸ + д ⁴ + 1)( q ⁶ − 1)( q ² − 1).Для сравнения, расщепленная спиновая группа D ₄ ( q ) в размерности 8 имеет порядок д ¹²( q ⁸ − 2 q ⁴ + 1)( q ⁶ − 1)( q ² − 1)и квазирасщепленная спиновая группа ²Д ₄ ( q ²) в размерности 8 имеет порядок д ¹²( q ⁸ − 1)( q ⁶ − 1)( q ² − 1).

Группа ³Д ₄ ( q ³) всегда просто . Множитель Шура всегда тривиален. Внешняя группа автоморфизмов циклическая , порядка f где q ³ = п ^ж и p является простым .

Эту группу иногда называют ³Д ₄ ( д ), Д ₄²( q ³), или скрученная группа Шевалле.

³Д ₄ (2 ³)

Самый маленький член этого семейства групп обладает несколькими исключительными свойствами, не присущими другим членам семейства. Он имеет порядок 211341312 = 2. ¹²⋅3 ⁴⋅7 ²⋅13 и внешняя группа автоморфизмов порядка 3.

Группа автоморфизмов ³Д ₄ (2 ³) — максимальная подгруппа спорадической группы Томпсона , а также подгруппа компактной группы Ли типа F ₄ размерности 52. В частности, она действует на 26-мерном представлении F ₄ . В этом представлении он фиксирует 26-мерную решетку, которая является уникальной 26-мерной четной решеткой определителя 3 без векторов нормы 2, изученной Элкисом и Гроссом (1996) . Двойственная этой решетке имеет 819 пар векторов нормы 8/3, на которых ³Д ₄ (2 ³ ранга 4 ) действует как группа перестановок .

Группа ³Д ₄ (2 ³) имеет 9 классов максимальных подгрупп структуры

2 ¹⁺⁸:L ₂ (8) фиксация точки перестановочного представления ранга 4 на 819 точках.

[2 ¹¹]:(7 × _S3 )

У ₃ (3):2

С ₃ х Д ₂ (8)

(7 х Д ₂ (7)):2

3 ¹⁺².2С ₄

7 ²:2А ₄

3 ²:2А ₄

13:4

См. также

Ссылки

Картер, Роджер В. (1989) [1972], Простые группы типа Ли , Библиотека классики Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50683-6 , МР 0407163
Элкис, Ноам Д.; Гросс, Бенедикт Х. (1996), «Исключительный конус и решетка Лича», Международные уведомления о математических исследованиях , 1996 (14): 665–698, doi : 10.1155/S1073792896000426 , ISSN 1073-7928 , MR 1411589
Стейнберг, Роберт (1959), «Вариации на тему Шевалле» , Pacific Journal of Mathematics , 9 (3): 875–891, doi : 10.2140/pjm.1959.9.875 , ISSN 0030-8730 , MR 0109191
Стейнберг, Роберт (1968), Лекции о группах Шевалле , Йельский университет, Нью-Хейвен, Коннектикут, MR 0466335 , заархивировано из оригинала 10 сентября 2012 г.
Титс, Жак (1958), «Реальные формы» групп типа E ₆ , Семинар Бурбаки; 10 класс: 1957/1958 гг. тексты конференций; Презентации 152–168; 2-е изд. исправлено, Лекция 162, т. 15, Париж: Секретариат математики, MR 0106247
Титс, Жак (1959), «О триальности и некоторых группах, которые выводятся из нее» , Inst. Высшие исследования Sci. Опубл. Математика. , 2 :13–60, doi : 10.1007/BF02684706 , S2CID 120426125

Внешние ссылки