Проективное пространство

В графической перспективе параллельные (горизонтальные) линии на плоскости пересекаются в точке схода (на горизонте ).

В математике концепция проективного пространства возникла из визуального эффекта перспективы , когда кажется, что параллельные линии встречаются в бесконечности . Таким образом, проективное пространство можно рассматривать как расширение евклидова пространства или, в более общем плане, аффинного пространства с бесконечно удаленными точками , таким образом, что в каждом направлении параллельных линий имеется одна точка на бесконечности .

Это определение проективного пространства имеет тот недостаток, что оно не изотропно и имеет два разных типа точек, которые в доказательствах необходимо рассматривать отдельно. Поэтому обычно предпочтительны другие определения. Существует два класса определений. В синтетической геометрии точка и линия — это примитивные объекты, которые связаны отношением инцидентности «точка находится на прямой» или «линия проходит через точку», что подчиняется аксиомам проективной геометрии . Было показано, что для некоторых таких наборов аксиом определенные проективные пространства эквивалентны тем, которые следуют из следующего определения, которое чаще встречается в современных учебниках.

Используя линейную алгебру , проективное пространство размерности n определяется как набор векторных линий (то есть векторных подпространств размерности один) в векторном пространстве V размерности n + 1 . Эквивалентно, это фактормножество V по \ {0} отношению эквивалентности, «находящееся на одной векторной прямой». Поскольку векторная линия пересекает единичную сферу V , проективные пространства можно эквивалентно определить как сферы , в двух противоположных точках в которых идентифицированы противоположные точки. Проективное пространство размерности 1 — это проективная прямая , а проективное пространство размерности 2 — проективная плоскость .

Проективные пространства широко используются в геометрии , поскольку допускают более простые утверждения и более простые доказательства. Например, в аффинной геометрии две различные прямые на плоскости пересекаются не более чем в одной точке, а в проективной геометрии они пересекаются ровно в одной точке. Также существует только один класс конических сечений , которые можно отличить только по их пересечениям с линией, находящейся на бесконечности: две точки пересечения для гипербол ; один для параболы , касательной к бесконечной линии; и нет реальной точки пересечения эллипсов .

В топологии , а точнее в теории многообразий , проективные пространства играют фундаментальную роль, являясь типичными примерами неориентируемых многообразий .

Мотивация

Проекционная плоскость и центральная проекция

Как отмечалось выше, проективные пространства были введены для формализации утверждений типа «две копланарные прямые пересекаются ровно в одной точке, и эта точка находится на бесконечности, если прямые параллельны ». Такие утверждения подсказываются исследованием перспективы , которую можно рассматривать как центральную проекцию трехмерного пространства на плоскость (см. Модель камеры-обскуры ). Точнее, входной зрачок камеры или глаза наблюдателя является центром проекции , и изображение формируется на плоскости проекции .

Математически центром проекции является точка О пространства (пересечение осей на рисунке); плоскость проекции ( P ₂ , синего цвета на рисунке) — это плоскость, не проходящая через O , которую часто выбирают в качестве плоскости уравнения z = 1 , когда декартовы координаты рассматриваются . Затем центральная проекция отображает точку P в пересечение линии OP с плоскостью проекции. Такое пересечение существует тогда и только тогда, когда точка P не принадлежит плоскости ( P ₁ , на рисунке выделена зеленым цветом), которая проходит через O и параллельна P ₂ .

Отсюда следует, что прямые, проходящие через O, распадаются на два непересекающихся подмножества: прямые, не содержащиеся в P1 _P2 , находящиеся во взаимно однозначном соответствии с точками P2 _. , и содержащиеся в P1 _, находящиеся в одно-однозначном соответствии с точками одно соответствие направлениям параллельных линий в P ₂ . Это предлагает определить точки (называемые здесь для ясности проективными точками ) проективной плоскости как прямые, проходящие через O . Проективная прямая в этой плоскости состоит из всех проективных точек (которые являются прямыми), содержащихся в плоскости, проходящей через O . Поскольку пересечение двух плоскостей, проходящих через O, является линией, проходящей через O , пересечение двух различных проективных прямых состоит из одной проективной точки. Самолет П ₁ которая называется линией на бесконечности P определяет проективную прямую , ₂ . Отождествляя каждую точку P2 _и с соответствующей проективной точкой, можно, таким образом, сказать, что проективная плоскость представляет собой ( проективной объединение P2 _{дизъюнктное} ) прямой на бесконечности.

Поскольку аффинное пространство с выделенной точкой O может быть отождествлено со связанным с ним векторным пространством (см. Аффинное пространство § Векторные пространства как аффинные пространства ), предыдущая конструкция обычно выполняется, начиная с векторного пространства, и называется проективизацией . Кроме того, построение можно выполнить, начав с векторного пространства любой положительной размерности.

Итак, проективное пространство размерности n можно определить как набор векторных линий (векторных подпространств размерности один) в векторном пространстве размерности n + 1 . Проективное пространство также можно определить как элементы любого множества, которое находится в естественном соответствии с этим набором векторных линий.

Этот набор может быть набором классов эквивалентности при отношении эквивалентности между векторами, определяемым формулой «один вектор является произведением другого на ненулевой скаляр». Другими словами, это равносильно определению проективного пространства как набора векторных линий, в которых нулевой вектор удален.

Третье эквивалентное определение состоит в том, чтобы определить проективное пространство размерности n как набор пар противоположных точек в сфере размерности n (в пространстве размерности n + 1 ).

Определение

Для векторного пространства V над полем K проективное пространство P ( V ) представляет собой набор классов эквивалентности V если \ {0} при отношении эквивалентности ~, определенном как x ~ y, существует ненулевой элемент λ поля K такой, что Икс знак равно λy . Если V является топологическим векторным пространством , фактор-пространство ( V ) является топологическим пространством , наделенным фактор-топологией топологии V подпространства \ P {0} . Это тот случай, когда K — поле R действительных чисел или поле C комплексных чисел . Если V конечномерно, размерность P . ( V ) равна размерности V минус один

В общем случае, когда V = K ^{п +1} , проективное пространство P ( V ) обозначается Pn ₍ ( K ) так же как K P ^н или П ^н ( K ) , хотя это обозначение можно спутать с возведением в степень). Пространство Pn _n ( K ) часто называют проективным пространством размерности ( над K или проективным n -пространством , поскольку все проективные пространства размерности n изоморфны ему поскольку каждое векторное пространство K размерности n + 1 изоморфно к К ^{п +1} ).

Элементы проективного пространства P ( V ) принято называть точками . Если базис V и, в частности , выбран если V = K ^{п +1} , проективными координатами точки P являются координаты на основе любого элемента соответствующего класса эквивалентности. Эти координаты обычно обозначаются [ x ₀ : ... : x _n ] , двоеточия и скобки используются для отличия от обычных координат и подчеркивания того, что это класс эквивалентности, который определяется с точностью до умножения на ненулевое число. постоянный. То есть, если [ x ₀ : ... : x _n ] являются проективными координатами точки, то [ λx ₀ : ... : λx _n ] также являются проективными координатами той же точки для любого ненулевого λ в K . Кроме того, из приведенного выше определения следует, что [ x ₀ : ... : x _n ] являются проективными координатами точки тогда и только тогда, когда хотя бы одна из координат не равна нулю.

Если K — поле действительных или комплексных чисел, проективное пространство называется вещественным проективным пространством или комплексным проективным пространством соответственно. Если n равно единице или двум, проективное пространство размерности n называется проективной прямой или проективной плоскостью соответственно. Комплексную проективную прямую также называют сферой Римана .

Все эти определения естественным образом распространяются на случай, когда К — тело ; см., например, Кватернионное проективное пространство . Обозначение PG( n , K ) иногда используется Pn _K ( ) . для Если K — конечное поле с q элементами, Pn _PG ( K ) часто обозначается PG( n , q ) (см. (3,2) ).

Связанные понятия

Подпространство

Пусть P ( V ) — проективное пространство, где V — векторное пространство над полем K , и $$p:V\to \mathbf {P} (V)$$— каноническое отображение , которое отображает ненулевой вектор v в его класс эквивалентности, который представляет собой векторную строку, содержащую v с удаленным нулевым вектором.

Каждое линейное подпространство W в V представляет собой объединение прямых. Отсюда следует, что p ( W ) — проективное пространство, которое можно отождествить с P ( W ) .

Проективное подпространство , таким образом, является проективным пространством, которое получается путем ограничения на линейное подпространство отношения эквивалентности, которое определяет P ( V ) .

Если p ( v ) и p ( w ) — две разные точки P ( V ) , векторы v и w независимы линейно . Отсюда следует, что:

• Существует ровно одна проективная прямая, проходящая через две разные точки P ( V ) , и
• Подмножество P ( V ) является проективным подпространством тогда и только тогда, когда для любых двух разных точек оно содержит всю проективную прямую, проходящую через эти точки.

В синтетической геометрии , где проективные линии являются примитивными объектами, первое свойство является аксиомой, а второе — определением проективного подпространства.

Охватывать

Каждое пересечение проективных подпространств является проективным подпространством. Отсюда следует, что для каждого подмножества S проективного пространства существует наименьшее проективное подпространство, содержащее S , пересечение всех проективных подпространств, S. содержащих Это проективное подпространство называется проективной оболочкой S S , и является для него остовным множеством.

Множество S точек является проективно независимым , если его оболочка не является промежутком какого-либо собственного подмножества S . Если S — остовное множество проективного пространства P , то существует подмножество S , которое охватывает P и является проективно независимым (это следует из аналогичной теоремы для векторных пространств). Если размерность P равна n , такой независимый связующий набор имеет n + 1 элемент.

В отличие от случаев векторных пространств и аффинных пространств , независимого связующего множества недостаточно для определения координат. Нужен еще один момент, см. следующий раздел.

Рамка

Основная статья: Проекционная рамка

Проективная рамка или проективный базис — это упорядоченный набор точек в проективном пространстве, позволяющий определять координаты. Точнее, в n -мерном проективном пространстве проективная рамка представляет собой набор из n + 2 точек такой, что любые n + 1 из них независимы; то есть они не содержатся в гиперплоскости .

Если V — ( n + 1) -мерное векторное пространство, а p — каноническая проекция из V в P ( V ) , то ( p ( e ₀ ), ..., p ( e _{n +1} )) является проективная система координат тогда и только тогда, когда ( e ₀ , ..., ) _en является базисом V и все коэффициенты en _{на +1} этом базисе отличны от нуля. Изменяя масштаб первых n векторов, любой кадр можно переписать как ( p ( e ′ ₀ ), ..., p( e ′ _{n +1} )) так, что e ′ _{n +1} = e ′ ₀ + ... + е ' _н ; это представление уникально с точностью до умножения всех e ′ _i на общий ненулевой множитель.

Проективные координаты или однородные координаты точки p ( v ) системе отсчета ( p ( e0 ₍ ),..., p en + _{1 )} ) с en _{en +1} = e0 ₊ ... + _в являются координатами v на основе ( e ₀ ,... en _, ) . Они определены только с точностью до масштабирования с общим ненулевым коэффициентом.

Канонический каркас проективного пространства ( _p K ) состоит из образов Pn элементов канонического базиса K ^{п +1} (то есть кортежи только с одной ненулевой записью, равной 1) и изображение по p их суммы .

Проективная геометрия

Этот раздел представляет собой отрывок из Проективной геометрии . [ редактировать ]

В математике — это изучение геометрических свойств , проективная геометрия инвариантных относительно проективных преобразований . Это означает, что по сравнению с элементарной евклидовой геометрией проективная геометрия имеет другую настройку, проективное пространство и выборочный набор основных геометрических понятий. Основная интуиция заключается в том, что проективное пространство имеет больше точек, чем евклидово пространство , для данного измерения, и что разрешены геометрические преобразования , которые преобразуют дополнительные точки (называемые « точками на бесконечности ») в евклидовы точки, и наоборот.

Свойства, значимые для проективной геометрии, учитываются этой новой идеей трансформации, которая более радикальна по своим последствиям, чем может быть выражена с помощью матрицы трансформации и трансляций ( аффинных трансформаций ). Первый вопрос для геометров — какая геометрия подходит для новой ситуации. В отличие от евклидовой геометрии , понятие угла не применяется в проективной геометрии, поскольку никакая мера углов не является инвариантной относительно проективных преобразований, как это видно при перспективном рисовании с изменяющейся точки зрения. Одним из источников проективной геометрии действительно была теория перспективы. Еще одним отличием от элементарной геометрии является то, как можно сказать, что параллельные прямые встречаются в бесконечной точке , если эту концепцию перевести в термины проективной геометрии. Опять же, это понятие имеет интуитивную основу, например, железнодорожные пути, встречающиеся на горизонте на перспективном рисунке. См. Проекционную плоскость, чтобы узнать об основах проективной геометрии в двух измерениях.

Хотя идеи были доступны и раньше, проективная геометрия была в основном развитием 19 века. Это включало теорию комплексного проективного пространства , в которой используемые координаты ( однородные координаты ) были комплексными числами. Несколько основных типов более абстрактной математики (включая теорию инвариантов , итальянскую школу алгебраической геометрии и Феликса Кляйна , Эрлангенскую программу приведшую к изучению классических групп ) были мотивированы проективной геометрией. Этот предмет, как синтетическая геометрия , интересовал многих практиков сам по себе . Другая тема, развившаяся в результате аксиоматических исследований проективной геометрии, — это конечная геометрия .

Сама тема проективной геометрии теперь разделена на множество исследовательских подтем, двумя примерами которых являются проективная алгебраическая геометрия (изучение проективных многообразий ) и проективная дифференциальная геометрия (изучение дифференциальных инвариантов проективных преобразований).

Проективная трансформация

Этот раздел представляет собой отрывок из «Гомографии» . [ редактировать ]

В проективной геометрии гомография изоморфизм — это проективных пространств, индуцированный изоморфизмом векторных пространств , из которых происходят проективные пространства. Это биекция , которая отображает линии на линии и, следовательно, является коллинеацией . В общем, некоторые коллинеации не являются гомографиями, но фундаментальная теорема проективной геометрии утверждает, что это не так в случае реальных проективных пространств размерности не менее двух. Синонимы включают проективность, проективную трансформацию и проективную коллинеацию.

Исторически гомографии (и проективные пространства) были введены для изучения перспективы и проекций в евклидовой геометрии , и термин гомография , который этимологически примерно означает «подобный рисунок», восходит к этому времени. В конце XIX века были введены формальные определения проективных пространств, которые расширили евклидовы и аффинные пространства за счет добавления новых точек, называемых точками на бесконечности . Термин «проективная трансформация» возник из этих абстрактных конструкций. Эти конструкции делятся на два класса, эквивалентность которых доказана. Проективное пространство может быть построено как набор линий векторного пространства над заданным полем (приведенное выше определение основано на этой версии); эта конструкция облегчает определение проективных координат и позволяет использовать средства линейной алгебры для изучения гомографий. Альтернативный подход состоит в определении проективного пространства через набор аксиом, которые явно не затрагивают какое-либо поле ( геометрия падения , см. также синтетическая геометрия ); в этом контексте коллинеации легче определить, чем гомографии, а гомографии определяются как конкретные коллинеации, называемые, таким образом, «проективными коллинеациями».

Для простоты, если не указано иное, проективные пространства, рассматриваемые в этой статье, считаются определенными над (коммутативным) полем . Эквивалентно теорема Паппа о шестиугольнике и теорема Дезарга предполагается, что верны. Большая часть результатов остается верной или может быть обобщена на проективные геометрии, для которых эти теоремы не выполняются.

Топология

В этом разделе все проективные пространства являются вещественными проективными пространствами конечной размерности. Однако все применимо к сложным проективным пространствам с небольшими модификациями.

Проективное пространство — это топологическое пространство , наделенное фактор-топологией топологии конечномерного вещественного векторного пространства.

Пусть S — единичная сфера в нормированном векторном пространстве V и рассмотрим функцию $$\pi :S\to \mathbf {P} (V)$$который сопоставляет точку S с векторной линией, проходящей через нее. Эта функция непрерывна и сюръективна. Прообраз каждой точки P ( V ) состоит из двух противоположных точек . Поскольку сферы являются компактными пространствами , отсюда следует, что:

(Конечномерное) проективное пространство компактно .

Для каждой точки P из S ограничение π на окрестность точки P является гомеоморфизмом ее образа при условии, что окрестность достаточно мала и не содержит ни одной пары противоположных точек. Это показывает, что проективное пространство является многообразием. Простой атлас можно создать следующим образом.

выбран базис Как только для V , любой вектор можно отождествить с его координатами на базисе, а любую точку P ( V ) можно отождествить с его однородными координатами . Для i = 0,..., n множество $$U_{i}=\{[x_{0}:\cdots :x_{n}],x_{i}\neq 0\}$$является открытым подмножеством P ( V ) и $$\mathbf {P} (V)=\bigcup _{i=0}^{n}U_{i}$$поскольку каждая точка P ( V ) имеет хотя бы одну ненулевую координату.

Каждому Ui _{, представляющая} сопоставлена ​​карта собой гомеоморфизмы $${\begin{aligned}\mathbb {\varphi } _{i}:R^{n}&\to U_{i}\\(y_{0},\dots ,{\widehat {y_{i}}},\dots y_{n})&\mapsto [y_{0}:\cdots :y_{i-1}:1:y_{i+1}:\cdots :y_{n}],\end{aligned}}$$такой, что $$\varphi _{i}^{-1}\left([x_{0}:\cdots x_{n}]\right)=\left({\frac {x_{0}}{x_{i}}},\dots ,{\widehat {\frac {x_{i}}{x_{i}}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{x_{i}}}\right),$$где шляпки означают, что соответствующий термин отсутствует.

Многообразная структура реальной проективной прямой

Эти карты образуют атлас , и, поскольку карты переходов являются аналитическими функциями , из этого следует, что проективные пространства являются аналитическими многообразиями .

Например, в случае n = 1 , то есть проективной прямой, существует только два U _i , каждый из которых может быть отождествлен с копией реальной прямой . В обеих строках пересечение двух диаграмм представляет собой набор ненулевых действительных чисел, а карта перехода — $$x\mapsto {\frac {1}{x}}$$в обоих направлениях. Изображение представляет проективную линию в виде круга, в котором идентифицированы противоположные точки, и показывает два гомеоморфизма реальной линии с проективной линией; поскольку идентифицируются противоположные точки, изображение каждой линии представляется в виде открытого полукруга, который можно отождествить с проективной линией с удаленной единственной точкой.

сложная структура CW

Реальные проективные пространства имеют простую комплексную структуру CW , поскольку P ^н ( R ) можно получить из P ^{п -1} ( R ) путем присоединения n -клетки с факторпроекцией S ^{п -1} → П ^{п -1} ( R ) в качестве прилагаемой карты.

Алгебраическая геометрия

Первоначально алгебраическая геометрия занималась изучением общих нулей множеств многомерных многочленов . Эти общие нули, называемые алгебраическими многообразиями, принадлежат аффинному пространству . Вскоре выяснилось, что в случае действительных коэффициентов для получения точных результатов необходимо учитывать все комплексные нули. Например, основная теорема алгебры утверждает, что одномерный бесквадратный многочлен степени n имеет ровно n комплексных корней. В многомерном случае учет комплексных нулей также необходим, но недостаточен: необходимо учитывать также нули на бесконечности . Например, теорема Безу утверждает, что пересечение двух плоских алгебраических кривых соответствующих степеней d и e состоит ровно из de точек, если рассматривать комплексные точки на проективной плоскости и если считать точки с учетом их кратности. Другой пример — формула рода–степени , позволяющая вычислить род плоской алгебраической кривой по ее особенностям на комплексной проективной плоскости .

Итак, проективное многообразие — это множество точек проективного пространства, однородные координаты которых являются общими нулями множества однородных многочленов .

Любое аффинное многообразие может быть дополнено уникальным способом в проективное многообразие путем добавления его точек на бесконечности , что состоит из усреднения определяющих многочленов и удаления компонентов, содержащихся в гиперплоскости на бесконечности, путем насыщения по отношению к гомогенизирующая переменная.

Важным свойством проективных пространств и проективных многообразий является то, что образ проективного многообразия относительно морфизма алгебраических многообразий замкнут для топологии Зариского (т. е. является алгебраическим множеством ). Это обобщение на все основные поля компактности реального и комплексного проективного пространства.

Проективное пространство само по себе является проективным многообразием, представляя собой множество нулей нулевого многочлена.

Теория схем

Теория схем , введенная Александром Гротендиком во второй половине 20-го века, позволяет определить обобщение алгебраических многообразий, называемых схемами , путем склеивания меньших частей, называемых аффинными схемами , аналогично тому, как многообразия могут быть построены путем склеивания открытых множеств R. ^н . Конструкция Proj — это построение схемы проективного пространства и, в более общем плане, любой проективной разновидности путем склейки аффинных схем. В случае проективных пространств в качестве таких аффинных схем можно взять аффинные схемы, связанные с картами (аффинными пространствами) приведенного выше описания проективного пространства как многообразия.

Смотрите также: Алгебраическая геометрия проективных пространств.

Синтетическая геометрия

В синтетической геометрии проективное пространство S может быть аксиоматически определено как набор P (набор точек) вместе с набором L подмножеств P (набор линий), удовлетворяющих этим аксиомам:

• Каждые две различные точки p и q лежат ровно на одной прямой.
• Веблена : Аксиома Если a , b , c , d — различные точки и прямые, проходящие через ab и cd, пересекаются, то же самое делают и прямые, проходящие через ac и bd .
• Любая линия имеет минимум 3 точки.

Последняя аксиома исключает приводимые случаи, которые можно записать как непересекающееся объединение проективных пространств вместе с двухточечными прямыми, соединяющими любые две точки в различных проективных пространствах. Более абстрактно, его можно определить как структуру инцидентности ( P , L , I ), состоящую из набора P точек, набора L линий и отношения инцидентности I, которое определяет, какие точки лежат на каких прямых.

Структуры, определяемые этими аксиомами, являются более общими, чем структуры, полученные из конструкции векторного пространства, приведенной выше. Если (проективная) размерность не менее трех, то по теореме Веблена–Янга разницы нет. Однако для размерности два есть примеры, удовлетворяющие этим аксиомам, которые нельзя построить из векторных пространств (или даже модулей над телами). Эти примеры не удовлетворяют теореме Дезарга и известны как недесарговы плоскости . В размерности один любое множество, содержащее как минимум три элемента, удовлетворяет аксиомам, поэтому обычно предполагается дополнительная структура для проективных линий, определенных аксиоматически.

Можно избежать неприятных случаев в малых размерностях, добавив или изменив аксиомы, определяющие проективное пространство. Коксетер (1969 , стр. 231) дает такое расширение благодаря Бахману. Чтобы гарантировать, что размерность равна как минимум двум, замените приведенную выше аксиому «три точки на линию» на:

• Существуют четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой.

Чтобы избежать недесарговых плоскостей, включите теорему Паппа в качестве аксиомы;

• Если шесть вершин шестиугольника лежат попеременно на двух прямых, то три точки пересечения пар противоположных сторон лежат на одной прямой.

И чтобы гарантировать, что векторное пространство определено над полем, которое не имеет даже характеристики, включите аксиому Фано ;

• Три диагональные точки полного четырехугольника никогда не лежат на одной прямой.

Подпространство , такое, что любая линия , проективного пространства — это подмножество X содержащая две точки X, является подмножеством X (то есть полностью содержится в X ). Полное пространство и пустое пространство всегда являются подпространствами.

Геометрическая размерность пространства называется n , если это наибольшее число, для которого существует строго возрастающая цепочка подпространств такого вида: $$\varnothing =X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots X_{n}=P.$$

Говорят, что подпространство X _i в такой цепочке имеет (геометрическую) размерность i . Подпространства размерности 0 называются точками , подпространства размерности 1 — линиями и так далее. Если все пространство имеет размерность n , то любое подпространство размерности n -1 называется гиперплоскостью .

Проективные пространства допускают эквивалентную формулировку в терминах теории решеток . Существует биективное соответствие между проективными пространствами и геомодулярными решетками, а именно, подпрямо неприводимыми , компактно порожденными , дополненными , модулярными решетками .

Классификация

• Размер 0 (без линий): пространство представляет собой одну точку.
• Размерность 1 (ровно одна линия): все точки лежат на одной прямой.
• Размер 2: существует как минимум две линии, и любые две линии пересекаются. Проективное пространство при n = 2 эквивалентно проективной плоскости . Их гораздо сложнее классифицировать, поскольку не все из них изоморфны PG( d , K ) . Дезарговы плоскости (те, которые изоморфны PG(2, K )) удовлетворяют теореме Дезарга и являются проективными плоскостями над телами, но существует много недесарговых плоскостей .
• Размерность не менее 3: существуют две непересекающиеся линии. Веблен и Янг (1965) доказали теорему Веблена-Янга о том, что каждое проективное пространство размерности ≥ 3 изоморфно PG( n , K ) , n -мерному проективному пространству над некоторым телом   K. n

Конечные проективные пространства и плоскости.

Дополнительная информация о конечных проективных плоскостях: Проективная плоскость § Конечные проективные плоскости.

Самолет Фано

Конечное проективное пространство — это проективное пространство, где P — конечное множество точек. В любом конечном проективном пространстве каждая прямая содержит одинаковое количество точек, а порядок пространства определяется на единицу меньше этого общего числа. Для конечных проективных пространств размерности не менее трех из теоремы Веддерберна следует, что тело, над которым определяется проективное пространство, должно быть конечным полем GF ( q ) , порядок которого (то есть количество элементов) равен q (простое число элементов). власть). Конечное проективное пространство, определенное над таким конечным полем, имеет q + 1 точку на прямой, поэтому два понятия порядка совпадают. Условно, PG( n , GF( q )) обычно записывается как PG( n , q ) .

Все конечные поля одного и того же порядка изоморфны, поэтому с точностью до изоморфизма существует только одно конечное проективное пространство для каждого измерения, большего или равного трем, над данным конечным полем. Однако в измерении два существуют недесарговы плоскости. С точностью до изоморфизма существуют

1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 4, 0, ... (последовательность A001231 в OEIS )

конечные проективные плоскости порядков 2, 3, 4, ..., 10 соответственно. Числа сверх этого очень трудно вычислить, и они не определены, за исключением некоторых нулевых значений из-за теоремы Брука-Райзера .

Наименьшая проективная плоскость — это Фано плоскость PG(2, 2) с 7 точками и 7 прямыми. Наименьшее трехмерное проективное пространство — PG(3, 2) с 15 точками, 35 линиями и 15 плоскостями.

Морфизмы

Инъективные линейные отображения T ∈ L ( V , W ) между двумя векторными пространствами V и W над одним и тем же полем K индуцируют отображения соответствующих проективных пространств P ( V ) → P ( W ) через:

[ v ] → [ T ( v )] ,

где v - ненулевой элемент V и [...] обозначает классы эквивалентности вектора при определяющей идентификации соответствующих проективных пространств. Поскольку члены класса эквивалентности различаются скалярным коэффициентом, а линейные отображения сохраняют скалярные коэффициенты, это индуцированное отображение корректно определено . (Если T не инъективен, он имеет нулевое пространство больше, чем {0} ; в этом случае смысл класса T ( v ) проблематичен, если v ненулевое и находится в пустом пространстве. В этом случае можно получить так называемое рациональное отображение , см. также Бирациональную геометрию .)

Два линейных отображения S и T в L ( V , W ) вызывают одно и то же отображение между P ( V ) и P ( W ) тогда и только тогда, когда они отличаются скалярным кратным, то есть если T = λS для некоторого λ ≠ 0 . Таким образом, если кто-то отождествляет скалярные кратные тождественного отображения с основным полем K , набор K -линейных морфизмов из P ( V ) в P ( W ) равен просто P ( L ( V , W )) .

Автоморфизмы P P ( V ) → ( V ) можно описать более конкретно. (Мы имеем дело только с автоморфизмами, сохраняющими основное поле K ). Используя понятие пучков, порожденных глобальными сечениями , можно показать, что любой алгебраический (не обязательно линейный) автоморфизм должен быть линейным, т. е. происходить из (линейного) автоморфизма векторного пространства V . Последние образуют группу GL( V ) . Определяя карты, отличающиеся скаляром, можно сделать вывод, что

Aut( P ( V )) = Aut( V ) / K ^× = GL( V ) / K ^× =: PGL( V ) ,

факторгруппа по модулю матриц , GL ( V ) которые являются скалярными кратными единицы. (Эти матрицы образуют центр Aut ( V ) .) Группы PGL называются проективными линейными группами . Автоморфизмы комплексной проективной прямой P ¹ ( C ) называются преобразованиями Мёбиуса .

Двойное проективное пространство

Когда приведенная выше конструкция применяется к двойственному пространству V ^∗ вместо V получается двойственное проективное пространство, которое можно канонически отождествить с пространством гиперплоскостей через начало координат V . То есть, если V n -мерен , то P ( V ^∗ ) — грассманиан n плоскостей − 1 в V .

В алгебраической геометрии эта конструкция обеспечивает большую гибкость при построении проективных расслоений. Хотелось бы иметь возможность сопоставить проективное пространство каждому квазикогерентному пучку E над схемой Y , а не только локально свободным. См. EGA _II , гл. II, пар. 4 для более подробной информации.

Обобщения

измерение

Проективное пространство, являющееся «пространством» всех одномерных линейных подпространств данного векторного пространства V, на грассманово многообразие , которое параметризует подпространства более высокой размерности (некоторой фиксированной размерности) V. обобщается

последовательность подпространств

В более общем смысле многообразие флагов — это пространство флагов, т. е. цепочки линейных подпространств V .

другие подвиды

В более общем смысле, пространства модулей параметризуют такие объекты, как эллиптические кривые заданного типа.

другие кольца

Обобщение на ассоциативные кольца (а не только на поля) дает, например, проективную прямую над кольцом .

исправление

Соединение проективных пространств вместе дает пучки проективных пространств .

Многообразия Севери–Брауэра — это алгебраические многообразия над полем K , которые становятся изоморфными проективным пространствам после расширения основного K. поля

Другое обобщение проективных пространств — это взвешенные проективные пространства ; это сами частные случаи торических многообразий .

См. также

• Геометрическая алгебра

Обобщения

• Грассманово многообразие
• Проективная линия над кольцом
• Космос (математика)

Проективная геометрия

• проективная трансформация
• проективное представление

Ссылки

• Афанасьев, В.В. (2001) [1994], «проективное пространство» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Баер, Рейнхольд (2005) [впервые опубликовано в 1952 году], Линейная алгебра и проективная геометрия , Дувр, ISBN  978-0-486-44565-6
• Бергер, Марсель (2009), Геометрия I , Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-11658-5 , перевод с французского оригинала 1977 года М. Коула и С. Леви, четвертое издание английского перевода 1987 года.
• Бойтельспехер, Альбрехт; Розенбаум, Юте (1998), Проективная геометрия: от основ к приложениям , Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-48277-6 , МР   1629468
• Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд (1974), Введение в геометрию , Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN  0-471-18283-4
• Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд (1969), Проективная геометрия , Торонто, Онтарио: University of Toronto Press, ISBN  0-8020-2104-2 , МР   0346652 , OCLC   977732
• Дембовский, П. (1968), Конечная геометрия , результаты математики и ее пограничные области , Том 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  3-540-61786-8 , МР   0233275
• Гринберг, MJ; Евклидова и неевклидова геометрия , 2-е изд. Фриман (1980).
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90244-9 , МР   0463157 , особ. главы I.2, I.7, II.5 и II.7
• Хильберт Д. и Кон-Воссен С.; Геометрия и воображение , 2-е изд. Челси (1999).
• Мукаи, Сигэру (2003), Введение в инварианты и модули , Кембриджские исследования по высшей математике, Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-80906-1
• Веблен, Освальд ; Янг, Джон Уэсли (1965), Проективная геометрия. Том. 1, 2 , Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co. Нью-Йорк-Торонто-Лондон, MR   0179666 (перепечатка издания 1910 года)

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Проективное пространство» . Математический мир .
• Проективное пространство в PlanetMath .
• Проективные плоскости малого порядка