Теорема Дезарга

В проективной геометрии теорема Дезарга , названная в честь Жирара Дезарга , гласит:

Два треугольника находятся в перспективе аксиальной тогда и только тогда, когда они находятся в центральной перспективе .

Обозначим три вершины одного треугольника через $a, b$ и $c$ , а другого — $A, B$ и $C.$ через Осевая перспектива означает, что прямые $ab$ и $AB$ пересекаются в одной точке, прямые $ac$ и $AC$ пересекаются во второй точке, а прямые $bc$ и $BC$ пересекаются в третьей точке, и что все эти три точки лежат на общей линии, называемой осью перспективы. . Центральная перспектива означает, что три линии $Aa, Bb$ и $Cc$ совпадают в точке, называемой центром перспективы .

Эта теорема о пересечении верна в обычной евклидовой плоскости , но в исключительных случаях необходимо проявлять особую осторожность, например, когда пара сторон параллельны, так что их «точка пересечения» уходит в бесконечность. Обычно, чтобы устранить эти исключения, математики «дополняют» евклидову плоскость, добавляя точки на бесконечности, следуя Жану-Виктору Понселе . В результате получается проективная плоскость .

Теорема Дезарга верна для вещественной проективной плоскости и для любого проективного пространства, определенного арифметически из поля или тела ; которое включает в себя любое проективное пространство размерности больше двух или в котором справедлива теорема Паппа . Однако существует множество « недезарговых плоскостей », в которых теорема Дезарга неверна.

История

Дезарг никогда не публиковал эту теорему, но она появилась в приложении под названием « Универсальный метод М. Дезарга для использования перспективы» ( Manière Universelle de M. Desargues pour pratiquer la Perspective ) к практической книге по использованию перспективы, изданной в 1648 году. ^[1] его друг и ученик Авраам Боссе (1602–1676). ^[2]

Координация

Важность теоремы Дезарга в абстрактной проективной геометрии обусловлена, в частности, тем фактом, что проективное пространство удовлетворяет этой теореме тогда и только тогда, когда оно изоморфно проективному пространству, определенному над полем или телом.

Проективные и аффинные пространства

В аффинном пространстве, таком как евклидова плоскость, аналогичное утверждение верно, но только если перечислить различные исключения, связанные с параллельными прямыми. Таким образом, теорема Дезарга является одной из простейших геометрических теорем, чье естественное место обитания находится в проективном, а не в аффинном пространстве.

Самодвойственность

По определению, два треугольника перспективны тогда и только тогда, когда они находятся в перспективе по центру (или, что то же самое, согласно этой теореме, в перспективе по оси). Обратите внимание, что перспективные треугольники не обязательно должны быть подобными .

В соответствии со стандартной двойственностью плоской проективной геометрии (где точки соответствуют линиям, а коллинеарность точек соответствует совпадению линий) утверждение теоремы Дезарга является самодуальным: осевая перспектива переводится в центральную перспективу и наоборот. Конфигурация Дезарга (ниже) является самодвойственной конфигурацией. ^[3]

Эта самодвойственность в утверждении обусловлена обычным современным способом записи теоремы. Исторически теорема гласила только: «В проективном пространстве пара треугольников с центральной перспективой является аксиально перспективной», а двойственное этому утверждению называлось обращением теоремы Дезарга и всегда упоминалось под этим именем. ^[4]

Доказательство теоремы Дезарга.

Теорема Дезарга справедлива для проективного пространства любой размерности над любым полем или телом, а также справедлива для абстрактных проективных пространств размерности не менее 3. В размерности 2 плоскости, для которых она справедлива, называются дезарговыми плоскостями и совпадают с плоскостями, которые можно задать координаты над телом. Существует также много недезарговых плоскостей , на которых теорема Дезарга не выполняется.

Трехмерное доказательство

Теорема Дезарга верна для любого проективного пространства размерности не менее 3 и, в более общем плане, для любого проективного пространства, которое можно вложить в пространство размерности не менее 3.

Теорему Дезарга можно сформулировать следующим образом:

Если прямые

Aa, Bb

и

Cc

совпадают (встречаются в одной точке), то

точки

AB \cap ab, AC \cap ac

и

BC \cap bc

лежат на одной прямой .

Точки $A, B, a$ и $b$ компланарны (лежат в одной плоскости) из-за предполагаемого совпадения $Aa$ и $Bb$ . Следовательно, прямые $AB$ и $ab$ лежат в одной плоскости и должны пересекаться. Далее, если два треугольника лежат в разных плоскостях, то точка $AB \cap ab$ принадлежит обеим плоскостям. По симметричному рассуждению точки $AC \cap ac$ и $BC \cap bc$ также существуют и принадлежат плоскостям обоих треугольников. Поскольку эти две плоскости пересекаются более чем в одной точке, их пересечение представляет собой линию, содержащую все три точки.

Это доказывает теорему Дезарга, если два треугольника не лежат в одной плоскости. Если они находятся в одной плоскости, теорему Дезарга можно доказать, выбрав точку, не лежащую в плоскости, используя ее, чтобы поднять треугольники из плоскости, чтобы приведенный выше аргумент работал, а затем спроектировать обратно в плоскость. Последний шаг доказательства терпит неудачу, если проективное пространство имеет размерность меньше 3, поскольку в этом случае невозможно найти точку, не лежащую в плоскости.

Теорема Монжа также утверждает, что три точки лежат на прямой, и имеет доказательство, использующее ту же идею рассмотрения ее в трех, а не в двух измерениях и записи линии как пересечения двух плоскостей.

Двумерное доказательство

Поскольку существуют недезарговы проективные плоскости, в которых теорема Дезарга неверна, ^[5] необходимо выполнить некоторые дополнительные условия чтобы это доказать. Эти условия обычно принимают форму предположения о существовании достаточного числа коллинеаций определенного типа, что, в свою очередь, приводит к показу того, что основная алгебраическая система координат должна быть телом ( телом). ^[6]

Связь с теоремой Паппа

Теорема Паппа о шестиугольнике гласит, что если шестиугольник $AbCaBc$ нарисован таким образом, что вершины $a, b$ и $c$ лежат на прямой, а вершины $A, B$ и $C$ лежат на второй прямой, то каждые две противоположные стороны шестиугольника лежат на две прямые, пересекающиеся в одной точке, и три построенные таким образом точки лежат на одной прямой. Плоскость, в которой теорема Паппа является универсально истинной, называется Папповой . Хессенберг (1905) ^[7] показал, что теорему Дезарга можно вывести из трех применений теоремы Паппа. ^[8]

Обратное к этому результату неверно, т. е. не все дезарговы плоскости папповы. Универсальное выполнение теоремы Паппа эквивалентно коммутативности базовой системы координат . Следовательно, плоскость, определенная над некоммутативным телом (телом, не являющимся полем), будет дезарговой, но не папповой. Однако из-за маленькой теоремы Веддерберна , которая утверждает, что все конечные тела являются полями, все конечные дезарговы плоскости являются папповскими. Не существует известного полностью геометрического доказательства этого факта, хотя Бамберг и Пенттила (2015) дают доказательство, которое использует только «элементарные» алгебраические факты (а не полную силу малой теоремы Веддерберна).

Конфигурация Дезарга

Десять прямых, участвующих в теореме Дезарга (шесть сторон треугольников, три прямые $Aa, Bb$ и $Cc$ и ось перспективы) и десять задействованных точек (шесть вершин, три точки пересечения оси перспективы и центр перспективы) устроены так, что каждая из десяти линий проходит через три из десяти точек, и каждая из десяти точек лежит на трех из десяти линий. Эти десять точек и десять линий составляют конфигурацию Дезарга , пример проективной конфигурации . Хотя теорема Дезарга выбирает разные роли для этих десяти линий и точек, сама конфигурация Дезарга более симметрична : любая из десяти точек может быть выбрана в качестве центра перспективы, и этот выбор определяет, какие шесть точек будут вершинами треугольников и какая линия будет осью перспективы.

Маленькая теорема Дезарга

Эта ограниченная версия гласит, что если два треугольника перспективны из точки на данной прямой и две пары соответствующих сторон также встречаются на этой прямой, то третья пара соответствующих сторон также встречается на этой прямой. Таким образом, это специализация теоремы Дезарга только для тех случаев, когда центр перспективы лежит на оси перспективы.

Плоскость Муфанга — это проективная плоскость, в которой для каждой прямой справедлива малая теорема Дезарга.

См. также

Теорема Паскаля

Примечания

^ Смит (1959 , стр. 307)
^ Кац (1998 , стр. 461)
^ ( Коксетер 1964 ), стр. 26–27.
^ ( Коксетер 1964 , стр. 19)
^ Самые маленькие примеры из них можно найти в Room & Kirkpatrick 1971 .
^ ( Альберт и Сэндлер, 2015 ), ( Хьюз и Пайпер, 1973 ) и ( Стивенсон, 1972 ).
^ Согласно ( Дембовский 1968 , стр. 159, сноска 1), первоначальное доказательство Хессенберга не является полным; он игнорировал возможность того, что в конфигурации Дезарга могут возникнуть некоторые дополнительные случаи. Полное доказательство предоставлено Кронхеймом (1953) .
^ Коксетер 1969 , с. 238, раздел 14.3

Ссылки

Альберт, А. Адриан; Сандлер, Рубен (2015) [1968], Введение в конечные проективные плоскости , Дувр, ISBN 978-0-486-78994-1
Бамберг, Джон; Пенттила, Тим (2015), «Завершение доказательства Сегре малой теоремы Веддерберна» , Бюллетень Лондонского математического общества , 47 (3): 483–492, doi : 10.1112/blms/bdv021 , S2CID 123036578
Касс, Рей (2006), Проективная геометрия: введение , Оксфорд: Oxford University Press , ISBN 0-19-929886-6
Коксетер, HSM (1964), Проективная геометрия , Блейсделл
Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд (1969), Введение в геометрию (2-е изд.), Wiley, ISBN 978-0-471-50458-0 , МР 0123930
Кронхейм, Арно (1953), «Доказательство теоремы Хессенберга», Proceedings of the American Mathematical Society , 4 (2): 219–221, doi : 10.2307/2031794 , JSTOR 2031794 , MR 0053531
Дембовский, Питер (1968), Конечная геометрия , Springer Verlag, ISBN 978-3-540-61786-0
Хессенберг, Герхард (1905), «Доказательство теоремы Дезарга из Паскаля», Mathematical Annals , 61 (2), Springer: 161–172, doi : 10.1007/BF01457558 , ISSN 1432-1807 , S2CID 120456855
Гильберт, Дэвид ; Кон-Воссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Челси, стр. 119–128, ISBN 0-8284-1087-9
Хьюз, Дэн; Пайпер, Фред (1973), Проекционные плоскости , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
Картези, Ференц (1976), Введение в конечную геометрию , Северная Голландия, ISBN 0-7204-2832-7
Кац, Виктор Дж. (1998), История математики: введение (2-е изд.), Ридинг, Массачусетс: Аддисон Уэсли Лонгман, ISBN 0-321-01618-1
Памбучян, Виктор; Шахт, Селия (2019), «Аксиоматическая судьба теорем Паппа и Дезарга», в Дэни, С.Г.; Пападопулос, А. (ред.), Геометрия в истории , Springer, стр. 355–399, ISBN. 978-3-030-13611-6
Комната, Томас Г .; Киркпатрик, П.Б. (1971), Геометрия миникватернионов , Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-07926-8
Смит, Дэвид Юджин (1959), Справочник по математике , Дувр, ISBN 0-486-64690-4
Стивенсон, Фредерик В. (1972), Проекционные плоскости , WH Freeman, ISBN 0-7167-0443-9
Войцеховский, М.И. (2001) [1994], «Предположение Дезарга» , Энциклопедия Математики , EMS Press

Внешние ссылки

[1] Смит (1959 , стр. 307)

[2] Кац (1998 , стр. 461)

[3] ( Коксетер 1964 ), стр. 26–27.

[4] ( Коксетер 1964 , стр. 19)

[5] Самые маленькие примеры из них можно найти в Room & Kirkpatrick 1971 .

[6] ( Альберт и Сэндлер, 2015 ), ( Хьюз и Пайпер, 1973 ) и ( Стивенсон, 1972 ).

[7] Согласно ( Дембовский 1968 , стр. 159, сноска 1), первоначальное доказательство Хессенберга не является полным; он игнорировал возможность того, что в конфигурации Дезарга могут возникнуть некоторые дополнительные случаи. Полное доказательство предоставлено Кронхеймом (1953) .

[8] Коксетер 1969 , с. 238, раздел 14.3

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]