Мультиоднородная теорема Безу

В алгебре и алгебраической геометрии мультиоднородная теорема Безу является обобщением на мультиоднородные многочлены теоремы Безу , которая подсчитывает количество изолированных общих нулей набора однородных многочленов . Это обобщение принадлежит Игорю Шафаревичу . ^[1]

Мотивация

Учитывая полиномиальное уравнение или систему полиномиальных уравнений, часто бывает полезно вычислить или ограничить количество решений без явного вычисления решений.

В случае одного уравнения эта проблема решается основной теоремой алгебры , которая утверждает, что число комплексных решений ограничено степенью многочлена , причем равенство, если решения считаются с их кратностями .

В случае системы из $n$ полиномиальных уравнений с $n$ неизвестными задача решается теоремой Безу , утверждающей, что если число комплексных решений конечно, то их число ограничено произведением степеней многочленов. Более того, если число решений на бесконечности также конечно, то произведение степеней равно количеству решений, посчитанных с кратностями, включая решения на бесконечности.

Однако довольно часто число решений на бесконечности бесконечно. В этом случае произведение степеней многочленов может быть намного больше, чем количество корней, и полезны лучшие оценки.

Мультиоднородная теорема Безу обеспечивает такой лучший корень, когда неизвестные могут быть разделены на несколько подмножеств так, что степень каждого многочлена в каждом подмножестве ниже, чем общая степень многочлена. Например, пусть $p_{1},\ldots ,p_{2n}$ — многочлены второй степени, имеющие первую степень от $n$ неопределенных $x_{1},\ldots x_{n},$ а также первой степени в $y_{1},\ldots y_{n}.$ (то есть полиномы билинейны . В этом случае теорема Безу ограничивает количество решений величиной

2^{2n},

в то время как теорема Безу о мультиоднородности дает оценку (с использованием приближения Стирлинга )

{\binom {2n}{n}}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}\sim {\frac {2^{2n}}{\sqrt {\pi n}}}.

Заявление

Мультиоднородный полином — это многочлен , однородный по нескольким наборам переменных.

Точнее, рассмотрим $k$ натуральных чисел $n_{1},\ldots ,n_{k}$ , а для $i = 1, ..., k$ , $n_{i}+1$ неопределенный $x_{i,0},x_{i,1},\ldots ,x_{i,n_{i}}.$ Полином от всех этих неопределенных является многооднородным или многостепенным. $d_{1},\ldots ,d_{k},$ если он однороден степени $d_{i}$ в $x_{i,0},x_{i,1},\ldots ,x_{i,{n_{i}}}.$

Мультипроективное многообразие — это проективное подмногообразие произведения проективных пространств.

\mathbb {P} _{n_{1}}\times \cdots \times \mathbb {P} _{n_{k}},

где $\mathbb {P} _{n}$ обозначим проективное пространство размерности $n$ . Мультипроективное многообразие можно определить как множество общих нетривиальных нулей идеала мультиоднородных многочленов, где «нетривиальное» означает, что $x_{i,0},x_{i,1},\ldots ,x_{i,n}$ не являются одновременно 0 для каждого $i$ .

Теорема Безу утверждает, что $n$ однородных многочленов степени $d_{1},\ldots ,d_{n}$ в $n + 1$ неопределенном задают либо алгебраическое множество положительной размерности , либо нульмерное алгебраическое множество, состоящее из $d_{1}\cdots d_{n}$ очки учитываются с учетом их кратности.

Для формулировки обобщения теоремы Безу удобно ввести новые неопределенные величины. $t_{1},\ldots ,t_{k},$ и представлять многостепенную $d_{1},\ldots ,d_{k}$ по линейной форме $\mathbf {d} =d_{1}t_{1}+\cdots +d_{k}t_{k}.$ В дальнейшем термин «многостепень» будет относиться к этой линейной форме, а не к последовательности степеней.

Параметр $n=n_{1}+\cdots +n_{k},$ Теорема Безу о мультиоднородности состоит в следующем.

В приведенных выше обозначениях $n$ мультиоднородных полиномов мультистепеней $\mathbf {d} _{1},\ldots ,\mathbf {d} _{n}$ определяют либо мультипроективное алгебраическое множество положительной размерности, либо нульмерное алгебраическое множество, состоящее из $B$ точек, подсчитанных с кратностями, где $B$ - коэффициент при

t_{1}^{n_{1}}\cdots t_{k}^{n_{k}}

в произведении линейных форм

\mathbf {d} _{1}\cdots \mathbf {d} _{n}.

Неоднородный случай

Мультиоднородная оценка Безу числа решений может использоваться для неоднородных систем уравнений, когда полиномы могут быть (мульти)-усреднены без увеличения общей степени. Однако в этом случае оценка может быть не точной, если существуют решения «на бесконечности».

Без понимания изучаемой проблемы может быть сложно сгруппировать переменные для «хорошей» мульти-гомогенизации. К счастью, существует множество задач, в которых такая группировка является прямым следствием моделируемой проблемы. Например, в механике уравнения, как правило, однородны или почти однородны по длинам и массам.

Ссылки

^ Шафаревич, И.Р. (2012) [1977]. Основная алгебраическая геометрия . Основные принципы математических наук. Том 213. Перевод Хирша К.А. Спрингера. ISBN 978-3-642-96200-4 .

Эта алгебраической геометрии статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Шафаревич, И.Р. (2012) [1977]. Основная алгебраическая геометрия . Основные принципы математических наук. Том 213. Перевод Хирша К.А. Спрингера. ISBN 978-3-642-96200-4 .

[1]