Глоссарий коммутативной алгебры

Это словарь коммутативной алгебры .

См. также список тем алгебраической геометрии , глоссарий классической алгебраической геометрии , глоссарий алгебраической геометрии , глоссарий теории колец и глоссарий теории модулей .

В этой статье предполагается, что все кольца коммутативны с единицей 1.

!$@

()

1. k ( x , y ,...) является расширением поля , k порожденным x , y ,...

2. ( x , y ,...) — идеал, порожденный x , y ,...

3. ( I : J ) — идеальное частное I xJ по J всех элементов x что , состоящее из ⊆ I. таких ,

[]

R [ x , y ,...] — кольцо полиномов над R .

[[]]

R [[ x , y ,...]] — кольцо формальных степенных рядов над R .

{}

R { x , y ,...} — кольцо формальных степенных рядов над R, удовлетворяющее некоторому условию сходимости.

^

 — завершение A. ​ ​

А

абсолютное интегральное замыкание

Абсолютное интегральное замыкание — это интегральное замыкание области целостности в алгебраическом замыкании поля частных области.

абсолютно

Слово «абсолютно» обычно означает «не относительно»; т. е. в некотором смысле независимо от основного поля. Это часто является синонимом слова «геометрически».

1. Абсолютно плоским кольцом называется кольцо, все модули над которым плоские. (Некоммутативные кольца, обладающие этим свойством, называются регулярными кольцами фон Неймана .)

2. Идеал в кольце полиномов над полем называется абсолютно первичным, если его расширение остается первичным для любого расширения поля.

3. Идеал в кольце многочленов над полем называется абсолютно неразветвленным, если он неразветвлен для любого расширения поля.

4. «Абсолютно нормально» — альтернативный термин для обозначения «геометрически нормально».

5. Абсолютно регулярный — альтернативный термин для обозначения геометрически регулярного .

6. Абсолютно простой точкой называется точка с геометрически правильным локальным кольцом .

приемлемое кольцо

Приемлемые кольца являются обобщениями превосходных колец , в которых условия о регулярных кольцах в определении заменены условиями о кольцах Горенштейна.

т.е.

I -адическая топология на кольце имеет базу окрестностей 0, заданную степенями идеала I .

аффинное кольцо

Аффинное кольцо R над другим кольцом S (часто полем) — это кольцо (или иногда область целостности), которое конечно порождено S. над

алгебро-геометрическое локальное кольцо

Локальное кольцо, являющееся локализацией конечно порожденной области над полем.

почти

1. Элемент x кольца называется почти целым над подкольцом, если существует такой регулярный элемент a подкольца, что ax ^н находится в подкольце для всех натуральных чисел n .

2. Область целостности S называется почти конечной над подкольцом R , если ее поле частных является конечным расширением поля частных S .

высота

1. Высота кольца — архаичное название его размера.

2. Высота идеала — другое название его высоты.

аналитический

1. Аналитическим распространением идеала локального кольца называется размерность Крулля слоя в особой точке локального кольца алгебры Риса идеала.

2. Аналитическое отклонение идеала — это его аналитический размах минус высота.

3. Аналитическое кольцо — это фактор кольца сходящихся степенных рядов от конечного числа переменных над полем с нормированием.

аналитически

Часто это относится к свойствам пополнения локального кольца; ср. #формально

1. Локальное кольцо называется аналитически нормальным , если его пополнение является целозамкнутой областью.

2. Локальное кольцо называется аналитически неразветвленным , если в его пополнении нет ненулевых нильпотентных элементов.

3. Локальное кольцо называется аналитически неприводимым, если его пополнение не имеет делителей нуля.

4. Два локальных кольца называются аналитически изоморфными, если их пополнения изоморфны.

аннигилятор

Аннулятор . подмножества модуля — это идеал элементов, произведение которых на любой элемент подмножества равно 0

искусство

Артиниан

1. Эмиль Артин

2. Майкл Артин

3. Артинов модуль — это модуль, удовлетворяющий условию нисходящей цепочки на подмодулях.

4. Артиновым кольцом называется кольцо, удовлетворяющее условию нисходящей цепи идеалов.

5. Лемма Артина-Риса устанавливает некоторую устойчивость фильтрации по идеалу.

АСЛ

Акроним от алгебры с законом выпрямления .

связанный

Ассоциированное простое число модуля M над кольцом R — это простой идеал p такой, что M имеет подмодуль, изоморфный R / p .

Б

Басовый номер

Если M — модуль над локальным кольцом R с полем вычетов k , то i- е число Басса модуля M является k -размерностью Ext ^я
_Р ( к , М ).

Домен Безу

Область Безу — это область целостности, в которой сумма двух главных идеалов является главным идеалом.

большой

Слово «большой» применительно к модулю подчеркивает, что модуль не обязательно является конечно сгенерированным. В частности, большой модуль Коэна–Маколея — это модуль, имеющий систему параметров, для которой он регулярен.

Булево кольцо

— Булево кольцо это кольцо такое, что x ² = x для всех x .

Идеал Бурбаки

Идеал Бурбаки модуля M без кручения — это идеал, изоморфный (как модуль) фактору модуля M без кручения по свободному подмодулю.

Кольцо из самшита

Кольцо Бухсбаума — это нётерово локальное кольцо, в котором каждая система параметров является слабой последовательностью.

С

канонический

«Канонический модуль» — альтернативный термин для дуализирующего модуля .

контактная сеть

Кольцо называется цепным, если все максимальные цепи между двумя простыми идеалами имеют одинаковую длину.

центр

Центр оценки (или место) — это идеал элементов положительного порядка.

цепь

Строго возрастающая или убывающая последовательность простых идеалов.

характеристика

Характеристикой кольца является неотрицательное целое число, порождающее Z -идеал кратных 1, которые равны нулю.

чистый

1. Конечно порожденный модуль M над нётеровым кольцом R если он имеет конечную фильтрацию, все факторы которой имеют вид R / p для p — ассоциированного простого числа M. называется чистым , Более сильный вариант этого определения гласит, что простые числа p должны быть минимальными простыми числами носителя M .

2. Элемент кольца называется чистым, если он представляет собой сумму единицы и идемпотента, и почти чистым, если он представляет собой сумму регулярного элемента и идемпотента. Кольцо называется чистым или почти чистым, если все его элементы чистые или почти чистые, а модуль называется чистым или почти чистым, если его кольцо эндоморфизмов чистое или почти чистое.

СМ

Аббревиатура Коэна-Маколея .

Какао

Система компьютерной алгебры CoCoA для вычислений по коммутативной алгебре

совместная глубина

Коглубина конечно порожденного модуля над нетеровым локальным кольцом равна его размерности минус глубина.

коразмерность

Коразмерность простого идеала — это другое название его #высоты .

кольцо коэффициентов

1. Полное нётерово локальное кольцо.

2. Полное нётерово локальное кольцо с конечным полем вычетов.

3. Альтернативное название кольца Коэна.

Коэн

1. Ирвин Коэн

2. Кольцо Коэна — это поле или полное кольцо дискретного нормирования смешанной характеристики (0,p), максимальный идеал которого порождается p.

Коэн-Маколей

1. Локальное кольцо называется Коэном–Маколеем, если оно нётерово и размерность Крулля равна глубине.Кольцо называется Коэном–Маколеем, если оно нётерово и все локализации в максимальных идеалах являются Коэном–Маколеем.

2. Обобщенным кольцом Коэна–Маколея называется нётерово локальное кольцо такое, что при i < размерности Крулля кольца i -я локальная когомология кольца вдоль максимального идеала имеет конечную длину.

последовательный

1. Модуль называется когерентным, если он конечно порожден и каждый гомоморфизм к нему из конечно порожденного модуля имеет конечно порожденное ядро.

— Когерентное кольцо это кольцо, которое является когерентным модулем над самим собой.

полный

1. Локальным полным кольцом пересечений называется нётерово локальное кольцо, пополнение которого является фактором регулярного локального кольца по идеалу, порожденному регулярной последовательностью.

2. Полное локальное кольцо — это локальное кольцо, полное в топологии (точнее, равномерности), где степени максимального идеала образуют базу окрестностей в точке 0.

полностью закрыто

Область R называется полностью целозамкнутой , если всякий раз, когда все положительные степени некоторого элемента x поля факторов содержатся в конечно порожденном модуле R , x находится в R .

завершение

Пополнение модуля или кольца M в идеале I есть обратный предел модулей M / I. ^н М. ​

композитный

1. Не премьер

2. Композиция кольца нормирования R и кольца нормирования S его поля вычетов есть прообраз кольца S в R .

дирижер

Проводником является области целостности R аннулятор R -модуля T / R , где T — интегральное замыкание R в его поле фактора.

идеал соответствия

Конгруэнтный идеал сюръективного гомоморфизма f : B → C коммутативных колец — это образ под f аннулятора ядра f .

подключен

Градуированная алгебра над полем k связна, если ее кусок нулевой степени равен k .

конормальный

Конормальный модуль фактора кольца по идеалу I — это модуль I / I ² .

сборный

Для нётерова кольца конструктивное подмножество спектра — это конечное объединение локально замкнутых множеств. Для колец, не являющихся нётеровыми, определение конструктивного подмножества более сложное.

содержание

Содержимым многочлена является наибольший общий делитель его коэффициентов.

сокращение

Сжатием идеала называется идеал, заданный прообразом некоторого идеала при гомоморфизме колец.

сопервичный

Копримарный модуль — это модуль, которому сопоставлено ровно одно простое число.

взаимнопростые

1. Два идеала называются взаимно простыми, если их сумма равна всему кольцу.

2. Два элемента кольца называются взаимно простыми, если идеал, который они порождают, есть все кольцо.

котангенс

Кокасательное пространство локального кольца с максимальным идеалом m — это векторное пространство m / m ² над полем вычетов.

Кольцо Кокса

Кольцо Кокса — это своего рода универсальное однородное координатное кольцо проективного многообразия.

Д

разлагаемый

Модуль называется разложимым , если его можно записать в виде прямой суммы двух ненулевых подмодулей.

группа разложения

Группа разложения — это группа автоморфизмов кольца, элементы которого фиксируют данный простой идеал.

Дедекинд домен

— Дедекиндова область нётерова целозамкнутая область размерности не более 1.

дефект

недостаток

Дефект ветвления или недостаток ветвления d оценки поля K определяется выражением [ L : K ] = defg , где e - индекс ветвления, f - степень инерции, а g - количество расширений оценки до большего значения. поле Л. ​Число d является степенью p ^д характеристики p , а иногда и δ, а не d, называется дефектом ветвления.

глубина

( I-глубина также называемая классом ) модуля M над кольцом R , где I — идеал, — это наименьшее целое число n такое, что Ext ^н
_R ( R / I , M ) ненулевое значение. Когда I — максимальный идеал локального кольца, это называется просто глубиной M , а если, кроме того, M — локальное кольцо R это называется глубиной кольца R. ,

вывод

Аддитивный гомоморфизм d кольца в модуль, удовлетворяющий правилу Лейбница d ( ab ) = ad ( b ) + bd ( a ).

полученный

Производное нормальное кольцо области целостности является ее целым замыканием в поле частных.

определяющий модуль

модуля Определяющим модулем является верхняя внешняя степень модуля.

определяющий

Часто это относится к свойствам идеала, порожденного определителями миноров матрицы. Например, детерминантное кольцо генерируется элементами матрицы с отношениями, заданными определителями миноров некоторого фиксированного размера.

отклонение

Отклонение локального кольца — это инвариант, который измеряет, насколько кольцо далеко от регулярности.

измерение

1. Размерность Крулля кольца, часто называемая просто размерностью, — это максимальная длина цепочки простых идеалов, а размерность Крулля модуля — это максимальная длина цепочки простых идеалов, содержащей его аннулятор.

2.  Слабое измерение или плоское измерение модуля — это наименьшая длина плоского разрешения.

3.  Инъективная размерность модуля — это кратчайшая длина инъективной резольвенты.

4.  Проективная размерность модуля — это наименьшая длина проективного разрешения.

5.  Размерность ; векторного пространства над полем — это минимальное количество образующих это не связано с большинством других определений его измерения как модуля над полем.

6.  Гомологическое измерение модуля может относиться практически к любому из других измерений, например к слабому измерению, инъективному измерению или проективному измерению.

7.  Глобальная размерность кольца — это верхняя грань проективных размерностей его модулей.

8.  Слабая глобальная размерность кольца — это верхняя грань плоских размерностей его модулей.

9. Размерностью вложения локального кольца является размерность его касательного пространства Зарисского .

10. Размерностью кольца нормирования над полем называется степень трансцендентности его поля вычетов; обычно это не то же самое, что измерение Крулла.

кольцо дискретной оценки

Кольцо дискретного нормирования — это целозамкнутое нётерово локальное кольцо размерности 1.

делимый

— Делимый модуль это модуль, умножение которого на любой регулярный элемент кольца сюръективно.

делитель

1. Дивизором области целостности называется класс эквивалентности ненулевых дробных идеалов, где два таких идеала называются эквивалентными, если они содержатся в одних и тех же главных дробных идеалах.

2. Дивизор Вейля кольца — это элемент свободной абелевой группы, порожденный простыми идеалами коразмерности 1.

3. Делитель Картье

разделительный идеал

Дивизориальный идеал области целостности — это ненулевой дробный идеал, который является пересечением главных дробных идеалов.

домен

Область или область целостности — это кольцо без делителей нуля, где 1≠0.

доминировать

локальное кольцо B Говорят, что доминирует над локальным кольцом A, если оно содержит A и максимальный идеал кольца B содержит максимальный идеал кольца A .

двойной

двойственность

двойственный

1. Локальная двойственность Гротендика — это двойственность когомологий модулей над локальным кольцом.

2. Двойственность Матлиса — это двойственность между артиновыми и нётеровыми модулями над полным локальным кольцом.

3. Двойственность Маколея — это двойственность между артиновыми и нётеровыми модулями над полным локальным кольцом, конечно порожденным над полем.

4. Дуализирующим модулем (называемым также каноническим модулем) нётерова кольца R является конечно порождённый модуль M такой, что для любого максимального идеала m векторное R / m пространство Ext ^н
_R ( R / m , M ) исчезает, если n ≠ height( m ), и является 1-мерным, если n =height( m ).

5. Дуализирующий комплекс — комплекс, обобщающий многие свойства дуализирующего модуля на кольца, не имеющие дуализирующего модуля.

Видеорегистратор

Сокращение от «кольцо дискретных оценок» .

И

Икин

Теорема Икина – Нагаты гласит: учитывая конечное расширение кольца $A\subset B$, $A$ является нетеровым кольцом тогда и только тогда, когда $B$ является нётеровым кольцом.

Эйзенштейн

Назван в честь Готхольда Эйзенштейна.

1. Кольцо целых чисел Эйзенштейна — это кольцо, порожденное примитивным кубическим корнем из 1.

2. Полиномом Эйзенштейна называется такой многочлен, главный член которого равен 1, все остальные коэффициенты делятся на простое число, а постоянный член не делится на квадрат простого числа.

3. Критерий Эйзенштейна утверждает, что полином Эйзенштейна неприводим.

4. Расширение Эйзенштейна — это расширение, порожденное корнем полинома Эйзенштейна.

встроенный

Вложенное простое число модуля — это неминимальное ассоциированное простое число.

измерение внедрения

См. размерность .

конверт

Инъективная оболочка (или оболочка) модуля — это минимальный инъективный модуль, содержащий его.

равнохарактерный

Локальное кольцо называется эквихарактеристическим, если оно имеет ту же характеристику, что и его поле вычетов.

существенный

1. Подмодуль M модуля N называется существенным подмодулем, он пересекает каждый ненулевой подмодуль модуля N. если

2. Существенным расширением модуля M является модуль N, содержащий M такой, что каждый ненулевой подмодуль пересекает M .

существенно конечного типа

Говорят, что алгебра имеет по существу конечный тип над другой алгеброй, если она является локализацией конечно порожденной алгебры.

распространяется

1. Морфизм колец называется этальным, если он формально этальный и локально конечно представим.

2. Этальная алгебра над полем есть конечное произведение конечных сепарабельных расширений.

Евклидова область

— Евклидова область это целая область, соответствующая форме алгоритма Евклида .

точный делитель нуля

Делитель нуля $x$ называется точным делителем нуля , если его аннулятор $\operatorname {Ann} _{R}(x)=\{r\in R\mid rx=0\}$, является главным идеалом $yR$ чей аннигилятор $xR$: $\operatorname {Ann} _{R}(x)=\{r\in R\mid rx=0\}=yR$ и $\operatorname {Ann} _{R}(y)=\{r\in R\mid ry=0\}=xR$.

отличный

— Превосходное кольцо это универсально цепное кольцо Гротендика такое, что для любой конечно порожденной алгебры особые точки спектра образуют замкнутое подмножество.

доб.

Функторы Ext — производные функторы функтора Hom.

расширение

1. Расширением идеала называется идеал, порождённый образом при гомоморфизме колец.

2. Под расширением модуля может пониматься либо модуль, содержащий его как подмодуль, либо модуль, отображаемый на него как фактормодуль.

3. Существенным расширением модуля M является модуль, содержащий M такой, что каждый ненулевой подмодуль пересекает M .

Ф

кольцо для лица

Альтернативное название кольца Стэнли-Рейснера .

факториал

Факториальное кольцо — это альтернативное название уникальной области факторизации.

верный

1. Точный модуль — это модуль, аннулятор которого равен 0.

преданно

1. Точно плоский модуль над кольцом R — это плоский модуль, тензорное произведение которого с любым ненулевым модулем ненулевое.

2. Точно плоская алгебра над кольцом R — это алгебра, точно плоская как модуль.

поле

1. Коммутативное кольцо такое, что каждый ненулевой элемент имеет обратный

2. Полем дробей , или полем дробей области целого числа, называется наименьшее поле, содержащее его.

3. Поле вычетов — это фактор кольца по максимальному идеалу.

4. Поле частных может означать либо поле вычетов, либо поле дробей.

конечный

Конечный модуль (или алгебра) над кольцом обычно означает модуль, который конечно порожден как модуль. Это также может означать поле с конечным числом элементов, особенно в термине «конечное поле» .

конечный тип

Алгебра над кольцом называется конечного типа, если она конечно порождена как алгебра.

конечно сгенерированный

1. Модуль над кольцом называется конечно порожденным , если каждый его элемент представляет собой линейную комбинацию фиксированного конечного числа элементов. Если модуль оказывается алгеброй, это гораздо сильнее, чем утверждение, что он конечно порожден как алгебра.

2. Алгебра над кольцом называется конечно порожденной, если она конечно порождена как алгебра, что гораздо слабее, чем утверждение, что она конечно порождена как модуль.

3. Расширение полей называется конечно порожденным, если все элементы большего поля можно выразить как рациональные функции конечного порождающего множества.

Подходит идеально

Идеал Фиттинга I _n ( M ) модуля M, порожденный g элементами, — это идеал, порожденный определителями миноров размера g – n матрицы отношений, определяющих модуль.

плоский

1. Плоский модуль — это такой модуль, тензоризация которого сохраняет точность.

2. Плоское разрешение – это разрешение плоскими модулями.

3. Плоские размеры см. в разделе «Размеры» .

4. Модуль M над кольцом R называется нормально плоским вдоль идеала I, если R / I -модуль ⊕ I ^н М / Я ^{п +1} М плоский.

5. Плоское накрытие модуля М — это отображение плоского модуля в М с лишним ядром.

формально

1. Гомоморфизм f : A → B колец называется формально гладким , формально неразветвленным или формально этальным , если для любой A -алгебры R с нильпотентным идеалом I естественное отображение из Hom _A ( R / I , B ) в Hom _A ( R , B ) сюръективен, инъективен или биективен. Алгебра B тогда называется формально гладкой, формально неразветвленной или формально этальной A -алгеброй.

2. Нётерово локальное кольцо называется формально равномерным (или квазинесмешанным), если его пополнение равномерно.

3. Формально цепные кольца — это кольца такие, что каждый фактор по простому идеалу формально равномерен. Для нётеровых локальных колец это эквивалентно тому, что кольцо является универсально цепным .

дробный идеал

Если K — кольцо частных области целостности R , то дробный идеал R — это подмодуль R -модуля K, в kR для некоторого k из K. содержащийся

дробный идеал

Альтернативное название дробных идеалов

Г

кольцо

Альтернативное название кольца Гротендика .

Гауссовский

Гауссово кольцо — это кольцо гауссовских целых чисел m + ni .

НОД

1. Сокращенное обозначение наибольшего общего делителя.

2. НОД — это область целостности, любые два элемента которой имеют наибольший общий делитель (НОД).

геометрически

Слово «геометрически» обычно относится к свойствам, которые продолжают сохраняться после принятия конечных расширений поля. Например, кольцо R над полем k называется геометрически нормальным, геометрически регулярным или геометрически приведенным, если R ⊗ _k K нормально, регулярно или приведено для любого конечного поля расширения K поля k .

спускаюсь

1. Расширение R ⊆ S коммутативных колец называется обладающим свойством спуска , если p ₁ ⊆ p ₂ — цепочка простых идеалов в R и q ₂ — простой идеал кольца S такой, что q ₂ ∩ R = p ₂ существует простой идеал q ₁ в S такой, что q ₁ ⊆ q ₂ и q ₁ ∩ R = p ₁ .

2. Теорема о опускании утверждает, что интегральное расширение R ⊆ S такое, что S является областью и R целозамкнуто, обладает свойством спуска.

подниматься вверх

расширение R ⊆ S 1. Говорят, что коммутативных колец обладает свойством подъема вверх если p1 _, ⊆ p2 _q1 цепочка простых идеалов в R и q1 _— простой идеал кольца S такой , _что ∩ R = p1 _— существует простой идеал q ₂ в S такой, что q ₁ ⊆ q ₂ и q ₂ ∩ R = p ₂ .

2. Теорема о подъеме утверждает, что интегральное расширение R ⊆ S обладает свойством подъема.

Горенштейн

1. Дэниел Горенштейн

2. Горенштейновым локальным кольцом называется нётерово локальное кольцо, имеющее конечную инъективную размерность как модуль над собой.

3. Горенштейновым кольцом называется кольцо, все локализации которого в простых идеалах являются горенштейновыми локальными кольцами.

оценка

Различные варианты использования термина «сорт» иногда противоречивы и несовместимы друг с другом.

1. Градус ( I , M ) идеала I порожденном модуле M над нётеровым кольцом — это длина максимальной M -регулярной последовательности в I. на конечно - Это еще называют глубиной I на M.

2. Степень Grade( M ) модуля M над кольцом R равна Grade(Ann M , R ), которая для конечно порожденного модуля над нетеровым кольцом равна наименьшему n такому, что Ext ^н
_R ( M , R ) не равно нулю.

3. Степень модуля M над нётеровым локальным кольцом с максимальным идеалом I есть степень модуля m на I . называют глубиной М. Это еще Это не согласуется с другим определением оценки модуля, данным выше.

4. Классу ( I ) идеала соответствует уровень ( R / I ) модуля R / I . оценка идеального I обычно не совпадает с оценкой модуля I. Таким образом ,

оцененный

или Градуированная алгебра модуль — это алгебра, представляющая собой прямую сумму частей, индексированных абелевой группой, часто группой целых чисел.

База Грёбнер

Базис Грёбнера — это набор образующих идеала кольца многочленов, удовлетворяющего определённым условиям.

Гротендик

Назван в честь Александра Гротендика.

1. Кольцо Гротендика — нётерово кольцо, формальные слои которого геометрически регулярны.

2. Локальная двойственность Гротендика — теорема двойственности модулей над локальными кольцами.

ЧАС

ХКФ

Аббревиатура для наивысшего общего фактора

высота

1. Высота простого идеала, называемая также его коразмерностью, рангом или высотой, есть верхняя грань длин цепочек исходящих от него простых идеалов.

2. Высота оценки или места есть высота ее группы оценок, которая есть число собственных выпуклых подгрупп ее группы оценок.

Хензель

Гензельский

генселизация

Назван в честь Курта Хенселя.

1. Лемма Гензеля утверждает, что если R — полное локальное кольцо с максимальным идеалом m и P — унитарный многочлен в R [ x ], то любая факторизация его образа P в ( R / m )[ x ] в произведение взаимно простых монические полиномы могут быть подняты до факторизации в R [ x ].

2. Гензелевым кольцом называется локальное кольцо, в котором справедлива лемма Гензеля.

3. Гензелизацией локального кольца называется построенное из него гензелево кольцо.

Гильберт

Назван в честь Дэвида Гилберта

1. Гильбертово кольцо — альтернативный термин для кольца Джекобсона.

2. Полином Гильберта измеряет скорость роста модуля над градуированным или локальным кольцом.

3. Nullstellensatz Гильберта отождествляет неприводимые подмножества аффинного пространства с радикальными идеалами координатного кольца.

4. Теорема о сизигиях Гильберта дает конечное свободное разрешение модулей над кольцом полиномов.

5. Базисная теорема Гильберта утверждает, что кольцо многочленов над полем нётерово или, в более общем смысле, что любая конечно порожденная алгебра над нётеровым кольцом является нётеровой.

6. Теорема Гильберта–Берча описывает свободное разрешение фактора локального кольца проективной размерности 2.

7. Функция Гильберта–Кунца измеряет серьезность особенностей положительной характеристики.

Будет дождь

1. Назван в честь Хейсуке Хиронака.

2. Разложение Хиронаки — это представление кольца в виде конечного свободного модуля над кольцом полиномов или регулярным локальным кольцом.

3. Критерий Хиронаки утверждает, что кольцо, являющееся конечным модулем над регулярным локальным кольцом или алгеброй полиномов, является Коэном–Маколеем тогда и только тогда, когда оно является свободным модулем.

.

Ходж

1. Назван в честь WVD Ходжа.

2. Алгебра Ходжа — алгебра со специальным базисом, подобным базису стандартных мономов.

корпус

Инъективная оболочка (или оболочка) модуля — это минимальный инъективный модуль, содержащий его.

я

идеальный

Подмодуль кольца. К особым случаям относятся:

1. Идеалом определения модуля M над локальным кольцом R с максимальным идеалом m называется собственный идеал I такой, что m ^н M содержится в IM для некоторого n .

идеально разделены

Модуль $M$ идеально отделен для идеала I , если для каждого идеала ${\mathfrak {a}}$, $\bigcap _{n\geq 1}I^{n}({\mathfrak {a}}\otimes M)=0$ (например, это тот случай, когда A — нетерово локальное кольцо , I — его максимальный идеал и M конечно порождено).

идемпотент

Элемент x с x ² = х .

свойство несравнимости

расширение A ⊆ B Говорят, что удовлетворяет свойству несравнимости если всякий раз, когда Q и Q' — различные простые числа B, лежащие над простым числом P в A , то Q ⊈ Q' и Q' ⊈ Q. ,

неразложимый

Модуль называется неразложимым , если он не является прямой суммой двух собственных подмодулей.

инерционная группа

Группа инерции — это группа автоморфизмов кольца, элементы которой фиксируют заданный простой идеал и тривиально действуют на соответствующем кольце классов вычетов.

бесконечно генерируется

Не конечно сгенерированный .

первоначальный идеал

1. В градуированном кольце идеала исходным идеалом I является множество всех однородных компонент минимальной степени элементов из I (это идеал мультипликативного моноида однородных элементов).

2. В контексте базисов Грёбнера идеала исходным идеалом I для данного мономиального порядка является множество всех ведущих мономов элементов из I (это идеал мультипликативного моноида мономов).

инъективный

1. Инъективный модуль — это модуль, обладающий свойством, что переход из подмодулей в него может быть расширен до более крупных модулей.

2. Инъективная оболочка или инъективная оболочка модуля — это наименьший содержащий его инъективный модуль.

3. Инъективная резольвента — это резольвента инъективными модулями.

4. Инъективная размерность модуля — это наименьшая длина инъективной резольвенты.

интеграл

Два разных значения интеграла (отсутствие делителей нуля или каждый элемент, являющийся корнем монического многочлена) иногда путают.

1. Область целостности или целое кольцо — нетривиальное кольцо без делителей нуля.

2. Элемент называется целым над подкольцом, если он является корнем однократного многочлена с коэффициентами из подкольца.

3. Элемент x кольца называется почти целым над подкольцом, если существует такой регулярный элемент a подкольца, что ax ^н находится в подкольце для всех натуральных чисел n .

4. Целочисленным замыканием подкольца кольца называется кольцо всех целых над ним элементов.

5. Алгебра над кольцом называется целой алгеброй, если все ее элементы целы над кольцом.

6. Кольцо называется локально целым, если оно приведено и локализация в каждом простом идеале целая.

7. Область называется целозамкнутой, если она является собственным целочисленным замыканием в области частных.

обратимый

Обратимый дробный идеал — это дробный идеал, который имеет обратный в моноиде дробных идеалов при умножении.

нередуцируемый

1. Элемент кольца называется неприводимым, если его нельзя записать в виде произведения двух неединиц.

2. Неприводимое кольцо — это кольцо, в котором нулевой идеал не является пересечением двух ненулевых идеалов, и, в более общем смысле, неприводимым модулем является модуль, в котором нулевой модуль не может быть записан как пересечение ненулевых подмодулей.

3. Идеал или подмодуль называется неприводимым, если его нельзя записать в виде пересечения двух более крупных идеалов или подмодулей. Если идеалом или подмодулем является целое кольцо или модуль, это несовместимо с определением неприводимого кольца или модуля.

не имеющий отношения

Иррелевантный идеал градуированной алгебры порождается всеми элементами положительной степени.

изолированный

Изолированное простое число модуля — это минимальное ассоциированное простое число.

Дж

Кольцо J-0

Кольцом J-0 называется такое кольцо, что множество регулярных точек спектра содержит непустое открытое подмножество.

Кольцо J-1

Кольцо J-1 — это кольцо такое, что множество регулярных точек спектра является открытым подмножеством.

Кольцо J-2

Кольцо J-2 — это кольцо такое, что любая конечно порожденная алгебра является кольцом J-1.

якобиан

1. Матрица Якобиана — это матрица, элементы которой являются частными производными некоторых многочленов.

2. Идеалом Якоби фактора кольца полиномов по идеалу чистой коразмерности n называется идеал, порожденный минорами размера n матрицы Якоби.

3. Критерий Якобиана – это критерий, утверждающий, что локальное кольцо геометрически регулярно тогда и только тогда, когда ранг соответствующей матрицы Якобиана максимально возможный.

Джейкобсон

Назван в честь Натана Джейкобсона.

1. Радикал Джекобсона кольца есть пересечение его максимальных идеалов.

2. Кольцом Джекобсона называется кольцо такое, что каждый простой идеал является пересечением максимальных идеалов.

Японское кольцо

( Японское кольцо также называемое кольцом N-2)область целостности R такая, что для любого конечном расширении L своего фактор-поля K , интегральное замыкание R в L является конечно порожденным R- модулем.

К

Дифференциал Кэлера

Модуль кэлеровых дифференциалов кольца — это универсальный модуль с дифференцированием из кольца в него.

Клейнианское целое число

Клейновы целые числа — это целые числа мнимого квадратичного поля дискриминанта −7.

Рубашка комплексная

Комплекс Кошуля — это свободная резольвента, построенная из регулярной последовательности.

Кольцо Крулла

Кольцо Крулля (или область Крулла ) — это кольцо с хорошо организованной теорией простой факторизации.

Размер Крулля

См. размерность .

л

Ласкерианское кольцо

Ласкерово кольцо — это кольцо, в котором любой идеал имеет примарное разложение.

длина

Длина модуля равна длине любой композиционной серии .

линейно непересекающийся

Два подполя расширения поля K над полем k называются линейно непересекающимися , если естественное отображение их тензорного произведения по k в подполе поля K , которое они порождают, является изоморфизмом.

связанный

связь

Связь между идеалами в горенштейновом кольце.

местный

локализация

локально

1. Локальное кольцо — это кольцо, имеющее только один максимальный идеал. В старых книгах его иногда также считают нётеровским.

2. Локальные когомологии модуля M задаются производными функторами прямого lim _k Hom _R ( R / I ^к , М ).

3. Локализация кольца в (мультипликативном) подмножестве — это кольцо, образованное путем принуждения всех элементов мультипликативного подмножества к обратимости.

4. Локализация кольца в простом идеале — это локализация мультипликативного подмножества, заданного дополнением к простому идеалу.

5. Кольцо называется локально целым, если оно приведено и локализация в каждом простом идеале целая.

6. Кольцо локально обладает некоторым свойством, если его спектр покрыт спектрами локализаций R [1/ a ], обладающих этим свойством.

лежать над имуществом

Расширение колец обладает свойством лежания, если соответствующее отображение между их простыми спектрами сюръективно.

М

Маколей

Назван в честь Фрэнсиса Сауэрби Маколея.

1. Кольцо Маколея — альтернативное название кольца Коэна–Маколея.

2. Система компьютерной алгебры Маколея .

3. Двойственность Маколея является частным случаем двойственности Матлиса для локальных колец, являющихся конечно порожденными алгебрами над полем.

Матлис

Назван в честь Эбена Матлиса.

1. Двойственность Матлиса — это двойственность между артиновыми и нётеровыми модулями над полным нётеровым локальным кольцом.

2. Модуль Матлиса – это инъективная оболочка поля вычетов локального кольца.

максимальный

1. Максимальный идеал — максимальный элемент множества собственных идеалов кольца.

2. Максимальным модулем Коэна–Маколея над нетеровым локальным кольцом R называется модуль Коэна–Маколея, размерность которого равна размерности R .

минимальный

1. Минимальное простое число идеала — это минимальный элемент содержащего его множества простых идеалов.

2. Минимальным разрешением модуля является разрешение, содержащееся в любом другом разрешении.

3. Минимальное первичное разложение — это первичное разложение с наименьшим возможным числом членов.

4. Минимальное простое число области — минимальный элемент множества ненулевых простых идеалов.

чудо

1. Чудо-плоскость — другое название критерия Хиронаки , который гласит, что локальное кольцо, конечное над регулярным локальным кольцом, является Коэном-Маколеем тогда и только тогда, когда оно является плоским модулем.

Условие Миттаг-Леффлера

Условие Миттаг-Леффлера — это условие на обратную систему модулей, обеспечивающее обращение в нуль первого производного функтора обратного предела.

модульная система

Архаичный термин для обозначения идеала

моном

Произведение степеней образующих алгебры

Домен Мори

Область Мори — это область целостности, удовлетворяющая условиям восходящей цепи на целочисленных дивизориальных идеалах.

мультипликативное подмножество

Подмножество кольца, замкнутого относительно умножения

множественность

Кратность модуля M в простом идеале p или кольце R — это количество раз, когда R / p встречается в M , или, точнее, длина локализации M _p как модуля над R _p .

Н

Н-1

Кольцо N-1 — это область целостности, целочисленное замыкание которой в поле частных является конечно порожденным модулем.

Н-2

Кольцо N-2 — это то же самое, что и японское кольцо, другими словами, это область целостности, целостное замыкание которой в любом конечном расширении поля частных является конечно порожденным модулем.

Кольцо Нагата

Кольцо Нагата — это нетеровское универсальное японское кольцо. Их еще называют псевдогеометрическими кольцами.

Лемма Накаямы

Лемма Накаямы утверждает, что если конечно порожденный модуль M равен IM , где I — радикал Джекобсона, то M равен нулю.

аккуратный

Иногда используется для обозначения «неразветвленный».

нильпотентный

Некоторая мощность равна нулю. Может применяться к элементам кольца или идеалам кольца. См . нильпотент .

нильрадикал

Нильрадикал . кольца — идеал нильпотентных элементов

Нётер

нетеровский

Назван в честь Эмми Нётер.

1. Нётеровым модулем называется модуль, каждый подмодуль которого конечно порождён.

2. Нётерово кольцо — это кольцо, которое является нетеровым модулем над самим собой, другими словами, каждый идеал конечно порождён.

3. Нётеровская нормализация представляет конечно порожденную алгебру над полем как конечный модуль над кольцом полиномов.

нормальный

— Нормальная область это область целостности, целозамкнутая в своем поле частных.

Нормальное кольцо — это кольцо, локализациями которого в простых идеалах являются нормальные области.

обычно плоский

Модуль M над кольцом R называется нормально плоским вдоль идеала I, если R / I -модуль ⊕ I ^н М / Я ^{п +1} М плоский.

Теорема о нулевой точке

По-немецки «теорема о нулевом пространстве».

Над алгебраически замкнутым полем слабый Nullstellensatz утверждает, что точки аффинного пространства соответствуют максимальным идеалам его координатного кольца, а сильный Nullstellensatz утверждает, что замкнутые подмножества многообразия соответствуют радикальным идеалам его координатного кольца.

ТО

ориентация

Ориентация модуля над кольцом R — это изоморфизм старшей ненулевой внешней степени модуля к R .

П

парафакториальный

Нётерово локальное кольцо R называется парафакториальным, если оно имеет глубину не менее 2 и группа Пикара Pic(Spec( R ) − m ) его спектра с удаленной замкнутой точкой m тривиальна.

параметр

См. #система параметров .

идеальный

В некоммутативной теории колец идеальное кольцо имеет несвязанное значение.

1. Модуль называется совершенным, если его проективная размерность равна его степени.

2. Идеал I кольца R называется совершенным, если R / I — совершенный модуль.

3. Поле называется совершенным, если все конечные поля расширения сепарабельны.

фото

Группа Пикарда

Группа Пикара Pic( R ) кольца R — это группа классов изоморфизма конечных проективных модулей ранга 1.

ПИД

Аббревиатура для области главного идеала .

место

Место поля K со значениями в поле L — это отображение K ∪∞ в L ∪∞, сохраняющее сложение, умножение и 1.

презентабельный

Представленным кольцом называется кольцо, являющееся фактором регулярного кольца.

основной

1. Простой идеал — это собственный идеал, дополнение которого замкнуто относительно умножения.

2. Простой элемент кольца — это элемент, порождающий простой идеал.

3. Первичное локальное кольцо — это локализация целых чисел в простом идеале.

4. «Простая последовательность» — альтернативное название регулярной последовательности.

начальный

1. Первичный идеал — это собственный идеал p кольца R такой, что если rm находится в p, то либо m находится в p , либо некоторая степень r находится в p . модуля M — это подмодуль N модуля M такой, что если rm находится в N, то либо m находится в N , либо некоторая степень r аннулирует N. В более общем смысле первичный подмодуль

2. Примарное разложение идеала или подмодуля есть его выражение в виде конечного пересечения первичных идеалов или подмодулей.

главный

1. Главный идеал — это идеал, порожденный одним элементом.

2. Кольцо главных идеалов — это кольцо, каждый идеал которого является главным.

3. Областью главных идеалов называется область целостности, в которой каждый идеал является главным.

проективный

1. Проективный модуль — это модуль, любой эпиморфизм которого расщепляется.

2. Проективная резолюция – это резолюция проективными модулями.

3. Проективная размерность модуля — наименьшая длина проективного разрешения.

Домен экзаменатора

Домен Examiner представляет собой полунаследственную целую область.

псевдо

1. Конечно порожденный модуль M называется псевдонулевым, если $M_{\mathfrak {p}}=0$ для всех основных идеалов ${\mathfrak {p}}$ высоты $\leq 1$.

2. Морфизм модулей псевдоинъективен, если ядро ​​псевдонулевое.

3. Морфизм модулей псевдосюръективен, если коядро псевдонулевое.

«Псевдогеометрическое кольцо» — альтернативное название кольца Нагата .

чистый

1. Чистым подмодулем M модуля N называется такой подмодуль, что M ⊗ A является подмодулем модуля N ⊗ A для всех модулей A .

Чистым подкольцом R кольца R называется такое подкольцо, что M = M ⊗ S является подмодулем в M ⊗ _SR 2. для всех S -модулей M .

3. Чистый модуль M над кольцом R — это такой модуль, что dim( M ) = dim( R / p ) для каждого ассоциированного простого числа p из M .

чисто

1. Элемент x над чисто неразделим полем, если либо поле имеет нулевую характеристику и x находится в поле, либо поле имеет характеристику p и $x^{p^{r}}$ находится в поле в течение некоторого r .

2. Расширение поля является чисто неразделимым, если оно состоит из чисто неразделимых элементов.

вопрос

Почти

1. Квазиотличным кольцом называется кольцо Гротендика такое, что для любой конечно порожденной алгебры особые точки спектра образуют замкнутое подмножество.

2. Квазиизоморфизм — это морфизм комплексов, индуцирующий изоморфизм гомологии.

3. Квазилокальное кольцо — старый термин для (возможно, ненетерового) локального кольца в книгах, в которых предполагалось, что локальные кольца нётеровы.

4. квазинесмешанный ; см. формально равномерный.

частное

1. Фактор кольца по идеалу или модуля по подмодулю.

2. Поле частных (или поле частных) области целостности – это локализация в нулевом простом идеале. Иногда это путают с первым значением.

Р

Р _н

Условие Rn _n на кольце (для целого неотрицательного n ), «регулярное по коразмерности » , говорит о том, что локализация в любом простом идеале высоты не выше n является регулярной. (ср. критерий нормальности Серра )

радикальный

1. Радикал Джекобсона кольца.

2. Нильрадикал кольца.

3. Радикал элемента x кольца — это элемент такой, что некоторая положительная степень равна x .

4. Радикал идеала есть идеал радикалов его элементов.

5. Радикал подмодуля M модуля N — это идеал элементов x такой, что некоторая степень x отображает N в M .

6. Радикальным расширением кольца называется расширение, порождённое радикалами элементов.

группа ветвления

Группа ветвления — это группа автоморфизмов кольца R, фиксирующих некоторый заданный простой идеал p и действующих тривиально на R / p. ^н для некоторого целого числа n >1. (Когда n = 1, она называется группой инерции.)

классифицировать

1. Другое старое название высоты простого идеала.

2. Ранг или высота нормирования — это размерность Крулля соответствующего нормирования.

3. Рациональный или действительный ранг оценки или места — это рациональный или действительный ранг ее группы оценок, который представляет собой размерность соответствующего рационального или действительного векторного пространства, построенного путем тензоризации группы оценок рациональными или действительными числами.

3. Минимальное количество генераторов свободного модуля.

4. Ранг модуля M над областью целостности R — это размерность векторного пространства M ⊗ K над полем факторов K модуля R .

уменьшенный

1. Приведенным кольцом называется кольцо, в котором нет ненулевых нильпотентных элементов.

2. Над кольцом характеристики p >0 многочлен от нескольких переменных называется приведенным, если он имеет степень меньше p по каждой переменной.

сокращаемый

См. неприводимый .

снижение

Идеалом редукции идеала I относительно модуля M является идеал J с JI ^н М = Я ^{п +1} M для некоторого положительного целого числа n .

Рис

1. Назван в честь Дэвида Риса.

2. Алгебра Риса идеала I есть $\oplus _{n=0}^{\infty }t^{n}I^{n}=R[It]\subset R[t].$

3. Разложение Рисса алгебры — это способ записи в ней в терминах полиномиальных подалгебр.

рефлексивный

Модуль M рефлексивен , если каноническое отображение $M\to M^{**},m\mapsto \langle \cdot ,m\rangle$ является изоморфизмом.

обычный

1. Регулярным локальным кольцом называется нётерово локальное кольцо, размерность которого равна размерности его касательного пространства.

2. Регулярным кольцом называется кольцо, локализация которого во всех простых идеалах регулярна.

3. Правильный элемент кольца — это элемент, не являющийся делителем нуля.

4. M -регулярным элементом кольца для некоторого модуля M называется элемент из R , не аннулирующий ни один ненулевой элемент M. из

5. Регулярной последовательностью относительно некоторого модуля M называется последовательность элементов a ₁ , a ₂ ,..., R _такая an из , что каждый a _{m +1} регулярен для модуля M /( a ₁ , a ₂ ,..., а _м ) М .

6. В некоммутативной теории колец регулярным кольцом фон Неймана называется такое кольцо, что для каждого элемента x существует элемент y такой, что xyx = x . Это не связано с понятием регулярного кольца в коммутативной теории колец. В коммутативной алгебре коммутативные кольца, обладающие этим свойством, называются абсолютно плоскими .

регулярность

Регулярность Кастельнуово–Мамфорда — это инвариант градуированного модуля над градуированным кольцом, связанный с исчезновением различных групп когомологий.

поле остатков

Факторирование кольца, особенно локального, по максимальному идеалу.

разрешение

Резольвента модуля — это цепной комплекс, единственной ненулевой группой гомологий которого является модуль.

С

С _н

Условие Sn _n на кольце (для неотрицательного целого числа n что глубина локализации в любом простом идеале равна высоте простого идеала, если глубина меньше ) говорит , . (ср. критерий нормальности Серра )

насыщенный

Подмножество X кольца или модуля называется насыщенным относительно мультипликативного подмножества S, если xs в X и s в S предполагают, что x находится в X .

насыщенность

Насыщенность подмножества кольца или модуля — это наименьшее насыщенное подмножество, содержащее его.

полулокальный

полулокальный

1. Полулокальное кольцо — это кольцо, имеющее лишь конечное число максимальных идеалов.

2. «Полулокальное кольцо» — архаичный термин для кольца Зариского .

полунормальный

Полунормальное кольцо — это коммутативное приведенное кольцо , в котором всякий раз, когда x , y удовлетворяют условиям $x^{3}=y^{2}$, есть s с $s^{2}=x$ и $s^{3}=y$.

отделимый

Алгебра над полем называется сепарабельной, если ее расширение любым конечным чисто несепарабельным расширением приведено.

разделенный

Альтернативный термин для Хаусдорфа , обычно применяемый к топологии на кольце или модуле.

простой

Простое поле — это архаичный термин, обозначающий поле алгебраических чисел, кольцо целых чисел которого является уникальной областью факторизации.

единственное число

1. Не регулярно

2. В чем-то особенный

3. Сингулярная система компьютерной алгебры для коммутативной алгебры

гладкий

Гладкий морфизм колец — это гомоморфизм, формально гладкий и конечно определенный.Они аналогичны погружениям в дифференциальной топологии. Алгебра над кольцом называется гладкой, если соответствующий морфизм гладкий.

база

Цоколь модуля — это сумма его простых подмодулей.

спектр

1. Простой спектр кольца, часто называемый просто спектром, представляет собой локально окольцованное пространство, базовым топологическим пространством которого является множество простых идеалов с топологией Зарисского.

2. Максимальный спектр кольца — это множество максимальных идеалов с топологией Зарисского.

стабильный

Убывающая фильтрация модуля называется устойчивой (относительно идеала I ), если M _{n +1} = IM _n для всех достаточно больших n .

стабильно бесплатно

Модуль M над кольцом R называется стабильно свободным, если M ⊕ R ^н свободен для некоторого натурального числа n .

Стэнли

1. Назван в честь Ричарда П. Стэнли.

2. Кольцо Стэнли–Рейснера является фактором алгебры полиномов по бесквадратному мономиальному идеалу.

3. Разложение Стэнли — это способ записи кольца в терминах полиномиальных подколец.

строго местный

Кольцо называется строго локальным, если оно является локальным гензелевым кольцом, поле вычетов которого сепарабельно замкнуто.

излишний

Подмодуль M модуля N называется лишним , если из M + X = N следует X = N (для подмодулей X ).

сверхвысота

Сверхвысота идеала — это верхняя грань ненулевых коразмерностей собственных расширений идеала при кольцевых гомоморфизмах.

поддерживать

Носителем модуля M является множество простых идеалов p таких, что локализация M в точке p отлична от нуля.

символическая власть

Символическая сила p ^{( н )} простого идеала p — это набор элементов x таких, что xy находится в p ^н для некоторых y нет в p . Это наименьший p -первичный идеал, содержащий p ^н .

система параметров

Набор dim R (если конечный) элементов локального кольца R с максимальным идеалом m, порождающий m -примарный идеал. Это обычная система параметров, если она действительно генерирует m .

сизигий

Элемент ядра одной из карт в свободном разрешении модуля.

Т

касательная

к Касательное пространство Зарисского локальному кольцу является двойственным к его кокасательному пространству.

плотное закрытие

Плотное замыкание I * идеала I кольца с положительной характеристикой p > 0 состоит из элементов z таких, что существует такой c, которого нет ни в одном минимальном простом идеале, такой, что cz ^д находится во мне ^{[ q ]} для всех достаточно больших степеней q числа p , где I ^{[ q ]} является идеалом, порожденным всеми q- ми степенями элементов I .

Тор

Торсионные функторы — производные функторы тензорного произведения.

кручение

1. Элементом кручения модуля над кольцом называется элемент, аннулируемый некоторым регулярным элементом кольца.

2. Подмодулем кручения модуля является подмодуль элементов кручения.

3. Модуль без кручения — модуль, в котором нет элементов кручения, отличных от нуля.

4. Торсионный модуль – модуль, все элементы которого являются торсионными.

5. Торсионные функторы Tor являются производными функторами тензорного произведения.

6. Модуль без кручения — это модуль, изоморфный подмодулю свободного модуля.

общий

Полное кольцо дробей или полное кольцо частных кольца формируется путем придания всем делителям, отличным от нуля, обратных значений.

тривиальный

Тривиальное кольцо — это кольцо, состоящее только из одного элемента.

тип

Типом конечно порожденного модуля M глубины d над нётеровым локальным кольцом R с полем вычетов k является размерность (над k ) Ext ^д
_Р ( к , М ).

В

УФО

Аббревиатура уникальной области факторизации .

одноветвистый

Приведенное локальное кольцо называется одноветвевым, если оно целое и его целое замыкание является локальным кольцом. Локальное кольцо называется одноветвевым, если соответствующее приведенное локальное кольцо является одноветвевым.

унимодулярный ряд

Последовательность элементов $v_{1},\dots ,v_{n}$ в кольце, порождающем единичный идеал.

уникальная область факторизации

Также называется факториальной областью. Уникальная область факторизации — это целая область, в которой каждый элемент может быть записан как произведение простых чисел уникальным образом с точностью до порядка и умножения на единицы.

повсеместно

Говорят, что свойство сохраняется универсально, если оно справедливо для различных базовых изменений. Например, кольцо является универсально цепным , если все конечно порожденные алгебры над ним являются цепными.

универсальный

Универсальное поле — это алгебраически замкнутое поле, имеющее несчетную степень трансцендентности над своим простым полем.

несмешанный

Идеал I кольца R называется несмешанным, если все ассоциированные с ним простые числа R / I имеют одинаковую высоту.

неразветвленный

1. Неразветвленный морфизм колец — это гомоморфизм, формально неразветвленный и конечно определенный.Они аналогичны погружениям в дифференциальную топологию. Алгебра над кольцом называется неразветвленной, если соответствующий морфизм неразветвлен.

2. Идеал в кольце многочленов над полем называется неразветвленным для некоторого расширения поля, если соответствующее расширение идеала является пересечением простых идеалов.

V

оценка

1. Нормирование — это гомоморфизм ненулевых элементов поля в полностью упорядоченную абелеву группу со свойствами, аналогичными p -адическому нормированию рациональных чисел.

2. Кольцо нормирования — это область целостности R такая, что если x находится в своем поле частных и если оно не равно нулю, то либо x , либо его обратный элемент находится в R .

3. Группа нормирования — это вполне упорядоченная абелева группа. Группа нормирования кольца нормирования — это группа ненулевых элементов поля частных по модулю группы единиц кольца нормирования.

В

слабый

1. Слабая размерность — альтернативное название плоской размерности модуля.

2. Последовательность $(a_{1},\cdots ,a_{r})$ элементов максимального идеала $m$ называется слабой последовательностью, если $m\cdot ((a_{1},\cdots ,a_{i-1})\colon a_{i})\subset (a_{1},\cdots ,a_{i-1})$ для всех $i$.

Кольцо Вейерштрасса

Кольцо Вейерштрасса — это локальное кольцо, которое является гензелевым, псевдогеометрическим и такое, что любое факторкольцо по простому идеалу является конечным расширением регулярного локального кольца.

XYZ

Зариски

1. Назван в честь Оскара Зарисского.

2. Кольцо Зарисского — полное нётерово топологическое кольцо с базой окрестностей нуля, заданной степенями идеала в радикале Джекобсона (ранее называемое полулокальным кольцом).

3. Топология Зарисского — это топология спектра кольца , замкнутые множества которого являются множествами простых идеалов, содержащими данный идеал.

4. Лемма Зарисского гласит, что если поле является конечно порожденной алгеброй над другим полем, то оно является конечномерным векторным пространством над этим полем.

5. Основная лемма Зариского о голоморфных функциях гласит, что n -я символическая степень простого идеала в кольце полиномов есть пересечение n -ых степеней максимальных идеалов, содержащих простой идеал.

6. Касательное пространство Зарисского локального кольца с максимальным идеалом m является двойственным векторному пространству m / m. ² .

делитель нуля

Делитель нуля в кольце — это элемент, произведение которого на некоторый ненулевой элемент равно 0.

См. также

• Глоссарий теории колец

Общие ссылки

• Бурбаки, Николя (1998), Коммутативная алгебра. Главы 1–7 , Элементы математики (Берлин), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-64239-8
• Брунс, Винфрид; Херцог, Юрген (1993), Кольца Коэна-Маколея , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 39, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-41068-7 , МР   1251956
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра , Тексты для выпускников по математике, том. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-5350-1 , ISBN.  978-0-387-94268-1 , МР   1322960
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык диаграмм» . Публикации IHÉS по математике . 4 . дои : 10.1007/bf02684778 . МР   0217083 .
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы алгебраической геометрии: II. Элементарное глобальное изучение некоторых классов морфизмов» . Публикации IHÉS по математике . 8 . дои : 10.1007/bf02699291 . МР   0217084 .
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы алгебраической геометрии: III. Когомологическое исследование когерентных пучков, Часть первая» . Публикации IHÉS по математике . 11 . дои : 10.1007/bf02684274 . МР   0217085 .
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1963). «Элементы алгебраической геометрии: III. Когомологическое исследование когерентных пучков. Вторая часть» . Публикации IHÉS по математике . 17 . дои : 10.1007/bf02684890 . МР   0163911 .
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1964). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Часть первая» . Публикации IHÉS по математике . 20 . дои : 10.1007/bf02684747 . МР   0173675 .
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1965). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Вторая часть» . Публикации IHÉS по математике . 24 . дои : 10.1007/bf02684322 . МР   0199181 .
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1966). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Часть третья» . Публикации IHÉS по математике . 28 . дои : 10.1007/bf02684343 . МР   0217086 .
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1967). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Часть четвертая» . Публикации IHÉS по математике . 32 . дои : 10.1007/bf02732123 . МР   0238860 .
• Нагата, Масаеши (1962), Локальные кольца , Межнаучные трактаты по чистой и прикладной математике, том. 13, Нью-Йорк-Лондон: Interscience Publishers, ISBN.  978-0470628652