Геометрически правильное кольцо

В алгебраической геометрии — геометрически регулярное кольцо это нётерово кольцо над полем , которое остаётся регулярным после любого конечного расширения основного поля. геометрически регулярные схемы Аналогично определяются . В старой терминологии точки с правильными локальными кольцами назывались простыми точками , а точки с геометрически правильными локальными кольцами — абсолютно простыми точками . Над полями, имеющими характеристику 0, или алгебраически замкнутыми, или, в более общем плане, совершенными , геометрически регулярные кольца аналогичны регулярным кольцам. Геометрическая регулярность возникла, когда Клод Шевалле и Андре Вейль указали Оскару Зарискому ( 1947 ), что над несовершенными полями критерий Якобиана для простой точки алгебраического многообразия не эквивалентен условию регулярности локального кольца.

Нётерово локальное кольцо, содержащее поле k, геометрически регулярно над k тогда и только тогда, когда оно формально гладко над k .

Примеры

Зариский (1947) привел следующие два примера локальных колец, которые являются регулярными, но не геометрически регулярными.

Предположим, что k — поле характеристики p > 0, а a — элемент поля k, не являющийся p -й степенью. Тогда каждая точка кривой x ^п + и ^п = a является регулярным. Однако над полем k [ a ^{1/ п}], каждая точка кривой особая. Итак, точки этой кривой регулярны, но не геометрически правильны.
В предыдущем примере уравнение, определяющее кривую, становится приводимым по конечному расширению базового поля. Это не истинная причина явления: Шевалле указал Зарискому, что кривая x ^п + и ² = a (в обозначениях предыдущего примера) абсолютно неприводима, но все же имеет точку, правильную, но не геометрически правильную.

См. также

Обычная схема

Ссылки

Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1965). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Вторая часть» . Публикации IHÉS по математике . 24 . дои : 10.1007/bf02684322 . МР 0199181 .
Зариски, Оскар (1947), «Понятие простой точки абстрактного алгебраического многообразия», Труды Американского математического общества , 62 (1): 1–52, doi : 10.1090/s0002-9947-1947-0021694- 1 , JSTOR 1990628 , MR 0021694