Гладкий морфизм

В алгебраической геометрии морфизм $f:X\to S$ между схемами называется гладким, если

• (i) оно локально конечного представления
• (ii) оно плоское и
• (iii) для каждой геометрической точки ${\overline {s}}\to S$ волокно $X_{\overline {s}}=X\times _{S}{\overline {s}}$ является регулярным.

(iii) означает, что каждый геометрический слой f является неособым многообразием (если оно отделимо). Таким образом, интуитивно говоря, гладкий морфизм дает плоское семейство неособых многообразий.

Если S — спектр алгебраически замкнутого поля и f имеет конечный тип, то восстанавливается определение неособого многообразия.

Особое многообразие называется сглаживаемым, если его можно поместить в плоское семейство так, что все близлежащие слои будут гладкими. Такое семейство называется сглаживанием сорта.

Эквивалентные определения

Существует множество эквивалентных определений гладкого морфизма. Позволять $f:X\to S$ иметь локально конечное представление. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

1. f гладкая.
2. f формально гладкая (см. ниже).
3. f — плоский, а пучок относительных дифференциалов $\Omega _{X/S}$ локально свободен от ранга, равного относительной размерности $X/S$.
4. Для любого $x\in X$, существует окрестность $\operatorname {Spec} B$ x и окрестности $\operatorname {Spec} A$ из $f(x)$ такой, что $B=A[t_{1},\dots ,t_{n}]/(P_{1},\dots ,P_{m})$ и идеал, порожденный m - m минорами $(\partial P_{i}/\partial t_{j})$ есть Б. ​
5. На местном уровне f влияет на $X{\overset {g}{\to }}\mathbb {A} _{S}^{n}\to S$ где g — эталь.

Морфизм конечного типа этален тогда и только тогда, когда он гладкий и квазиконечный .

Гладкий морфизм устойчив относительно замены оснований и композиции.

Гладкий морфизм универсально локально ацикличен .

Примеры

Предполагается, что гладкие морфизмы геометрически соответствуют гладким погружениям в дифференциальной геометрии; то есть они являются гладкими локально тривиальными расслоениями над некоторым базовым пространством (по теореме Эресмана ).

Сглаживание морфизма до точки

Позволять $f$ — морфизм схем

${\text{Spec}}_{\mathbb {C} }\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f=y^{2}-x^{3}-x-1)}}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} )$

Он гладкий из-за условия Якобиана: матрица Якобиана

$[3x^{2}-1,y]$

исчезает в точках $(1/{\sqrt {3}},0),(-1/{\sqrt {3}},0)$ который имеет пустое пересечение с многочленом, поскольку

${\begin{aligned}f(1/{\sqrt {3}},0)&=1-{\frac {1}{\sqrt {3}}}-{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}\\f(-1/{\sqrt {3}},0)&={\frac {1}{\sqrt {3}}}+{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}-1\end{aligned}}$

которые оба ненулевые.

Тривиальные расслоения

Учитывая плавную схему $Y$ морфизм проекции

$Y\times X\to X$

гладкий.

Векторные пакеты

Каждое векторное расслоение $E\to X$ над схемой является гладким морфизмом. Например, можно показать, что ассоциированное векторное расслоение ${\mathcal {O}}(k)$ над $\mathbb {P} ^{n}$ — взвешенное проективное пространство минус точка

$O(k)=\mathbb {P} (1,\ldots ,1,k)-\{[0:\cdots :0:1]\}\to \mathbb {P} ^{n}$

отправка

$[x_{0}:\cdots :x_{n}:x_{n+1}]\to [x_{0}:\cdots :x_{n}]$

Обратите внимание, что расслоения прямой суммы $O(k)\oplus O(l)$ может быть построен с использованием волокнистого продукта

$O(k)\oplus O(l)=O(k)\times _{X}O(l)$

Разделимые расширения полей

Напомним, что расширение поля $K\to L$ называется сепарабельным тогда и только тогда, когда задано представление

$L={\frac {K[x]}{(f(x))}}$

у нас есть это $gcd(f(x),f'(x))=1$. Мы можем интерпретировать это определение в терминах келеровых дифференциалов следующим образом: расширение поля сепарабельно тогда и только тогда, когда

$\Omega _{L/K}=0$

Обратите внимание, что сюда входят все совершенные поля: конечные поля и поля характеристики 0.

Непримеры

Особые разновидности

Если мы рассмотрим ${\text{Spec}}$ базовой алгебры $R$ для проективного разнообразия $X$, называемый аффинным конусом $X$, то точка в начале координат всегда особая. Например, рассмотрим аффинный конус квинтики. $3$-складка, заданная

$x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}$

Тогда матрица Якобиана имеет вид

${\begin{bmatrix}5x_{0}^{4}&5x_{1}^{4}&5x_{2}^{4}&5x_{3}^{4}&5x_{4}^{4}\end{bmatrix}}$

которая обращается в нуль в начале координат, следовательно, конус особенный. Подобные аффинные гиперповерхности популярны в теории особенностей из-за их относительно простой алгебры, но богатых базовых структур.

Другим примером особого многообразия является проективный конус гладкого многообразия: для гладкого проективного многообразия $X\subset \mathbb {P} ^{n}$ его проективный конус представляет собой объединение всех прямых в $\mathbb {P} ^{n+1}$ пересекающийся $X$. Например, проективный конус точек

${\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{4}+y^{4})}}\right)$

это схема

${\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(x^{4}+y^{4})}}\right)$

Если мы посмотрим в $z\neq 0$ диаграмма это схема

${\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [X,Y]}{(X^{4}+Y^{4})}}\right)$

и спроецируем его на аффинную линию $\mathbb {A} _{Y}^{1}$, это семейство из четырех точек, вырождающееся в начале координат. Невырожденность этой схемы можно проверить также с помощью условия Якобиана.

Вырождающиеся семьи

Рассмотрим плоскую семью

${\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [t,x,y]}{(xy-t)}}\right)\to \mathbb {A} _{t}^{1}$

Тогда все волокна будут гладкими, за исключением точки в начале координат. Поскольку гладкость стабильна при изменении основания, это семейство не является гладким.

Неразделимые расширения полей

Например, поле $\mathbb {F} _{p}(t^{p})\to \mathbb {F} _{p}(t)$ несепарабельна, следовательно, ассоциированный с ней морфизм схем не является гладким. Если мы посмотрим на минимальный полином расширения поля,

$f(x)=x^{p}-t^{p}$

затем $df=0$, следовательно, дифференциалы Кэлера будут ненулевыми.

Формально гладкий морфизм

См. Также: Формально гладкое отображение и Геометрически регулярное кольцо.

Можно определить гладкость, не обращаясь к геометрии. Будем говорить, что S -схема X , формально гладкая если для любых аффинной S -схемы T и подсхемы $T_{0}$ T, заданный нильпотентным идеалом, $X(T)\to X(T_{0})$ сюръективно там, где мы написали $X(T)=\operatorname {Hom} _{S}(T,X)$. Тогда морфизм локально конечного представления является гладким тогда и только тогда, когда он формально гладок.

Если в определении «формально гладкого» заменить сюръективное на «биективное» (соответственно «инъективное»), то мы получим определение формально этального (соответственно формально неразветвленного ).

Плавное изменение базы

Пусть S — схема и $\operatorname {char} (S)$ обозначаем изображение карты структуры $S\to \operatorname {Spec} \mathbb {Z}$. Теорема о плавной замене базы утверждает следующее: пусть $f:X\to S$ — квазикомпактный морфизм , $g:S'\to S$ гладкий морфизм и ${\mathcal {F}}$ торсионная связка на $X_{\text{et}}$. Если для каждого $0\neq p$ в $\operatorname {char} (S)$, $p:{\mathcal {F}}\to {\mathcal {F}}$ инъективен, то морфизм замены базы $g^{*}(R^{i}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{i}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})$ является изоморфизмом.

См. также

• гладкая алгебра
• регулярное встраивание
• Формально гладкая карта

Ссылки

• Дж. С. Милн (2012). « Лекции по масштабирующим когомологиям »
• Дж. С. Милн. Этальные когомологии , том 33 Принстонской математической серии. Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси, 1980.