Гладкая алгебра

В алгебре коммутативная , квадрат k -алгебра A называется 0-гладкой, если она удовлетворяет следующему свойству подъема: дана k - алгебра C , идеал N из C которого равен нулю , и отображение k -алгебры. $u:A\to C/N$, существует отображение k -алгебры $v:A\to C$ такой, что u — это v, за которым следует каноническое отображение. Если существует не более одного такого подъема v , то A называется 0-неразветвленным (или 0-аккуратным ). A Говорят, что 0-этальна, если она 0-гладкая и 0-неразветвленная . Понятие 0-гладкости еще называют формальной гладкостью .

Конечно порожденная k -алгебра A является 0-гладкой над k тогда и только тогда, когда Spec A является гладкой схемой над k .

Сепарабельное k расширение алгебраического поля L поля k этально над . 0 - Кольцо формального степенного ряда $k[\![t_{1},\ldots ,t_{n}]\!]$ является 0-гладким только тогда, когда $\operatorname {char} k=p>0$ и $[k:k^{p}]<\infty$ (т. е. k имеет конечный p -базис .)

я -гладкий

Пусть B — A -алгебра, и пусть B задана I -адическая топология, I — идеал B . Мы говорим, что B является I -гладкой над A, если она удовлетворяет свойству подъема: даны A -алгебра C , идеал N из C , квадрат которого равен нулю, и отображение A -алгебры. $u:B\to C/N$ это непрерывно , когда $C/N$ задана дискретная топология , существует отображение A -алгебры $v:B\to C$ такой, что u — это v, за которым следует каноническое отображение. Как и раньше, если существует не более одного такого подъема v , то B называется I- неразветвленным над A (или I -аккуратным ). B Говорят, что является I -этальной, если она I -гладкая и I- неразветвленная . Если I — нулевой идеал, а A — поле , эти понятия совпадают с 0-гладкими и т. д., определенными выше.

Стандартный пример таков: пусть A — кольцо , $B=A[\![t_{1},\ldots ,t_{n}]\!]$ и $I=(t_{1},\ldots ,t_{n}).$ Тогда B является I гладким над A. -

Пусть A — нётерова локальная k -алгебра с максимальным идеалом ${\mathfrak {m}}$. Тогда А ​ ${\mathfrak {m}}$- сгладить $k$ тогда и только тогда, когда $A\otimes _{k}k'$ является регулярным кольцом для любого конечного поля расширения $k'$ из $k$.

См. также

• морфизм
• формально гладкий морфизм
• Теорема Попеску

Ссылки

• Мацумура, Х. (1989). Коммутативная теория колец . Кембриджские исследования по высшей математике. Перевод Рида, М. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-36764-6 .