Кольцо Якобсона

В алгебре гильбертово кольцо или кольцо Джекобсона — это кольцо, в котором каждый простой идеал является пересечением примитивных идеалов . Для коммутативных колец примитивные идеалы совпадают с максимальными идеалами , поэтому в этом случае кольцо Джекобсона — это кольцо, в котором каждый простой идеал является пересечением максимальных идеалов.

Кольца Якобсона были независимо представлены Вольфгангом Круллем ( 1951 , 1952 ), который назвал их в честь Натана Якобсона из-за их связи с радикалами Якобсона , и Оскаром Гольдманом ( 1951 ), который назвал их кольцами Гильберта в честь Дэвида Гильберта из-за их связи с кольцами Гильберта. Нульстелензац .

Кольца Джекобсона и теорема о нулевом месте

Nullstellensatz Гильберта алгебраической геометрии является частным случаем утверждения о том, что кольцо многочленов от конечного числа переменных над полем является гильбертовым кольцом. Общая форма Nullstellensatz утверждает, что если R — кольцо Джекобсона, то таковой является и любая конечно порожденная R -алгебра S . Более того, образ любого максимального идеала J поля S является максимальным идеалом I кольца R , а S/J является конечным расширением поля R/I .

В частности, морфизм колец Джекобсона конечного типа индуцирует морфизм максимальных спектров колец. Это объясняет, почему для алгебраических многообразий над полями часто достаточно работать с максимальными идеалами, а не со всеми простыми идеалами, как это делалось до введения схем . Для более общих колец, таких как локальные кольца , уже неверно, что морфизмы колец индуцируют морфизмы максимальных спектров, а использование простых идеалов, а не максимальных идеалов, дает более чистую теорию.

Примеры

Любое поле является кольцом Джекобсона.
Любая область главных идеалов или область Дедекинда с нулевым радикалом Джекобсона является кольцом Джекобсона. В областях главных идеалов и областях Дедекинда ненулевые простые идеалы уже максимальны, поэтому единственное, что нужно проверить, — это то, является ли нулевой идеал пересечением максимальных идеалов. Это гарантирует, что радикал Джекобсона будет равен нулю. В областях главных идеалов и областях Дедекинда радикал Джекобсона обращается в нуль тогда и только тогда, когда существует бесконечное число простых идеалов.
Любая конечно порожденная алгебра над кольцом Джекобсона является кольцом Джекобсона. В частности, любая конечно порожденная алгебра над полем или целыми числами, такая как координатное кольцо любого аффинного алгебраического множества, является кольцом Джекобсона.
Локальное кольцо имеет ровно один максимальный идеал, поэтому оно является кольцом Джекобсона ровно тогда, когда этот максимальный идеал является единственным простым идеалом. Таким образом, любое коммутативное локальное кольцо с нулевой размерностью Крулля является Якобсоновым, но если размерность Крулля равна 1 или более, кольцо не может быть Якобсоновым.
( Амицур, 1956 ) показал, что любая счетно порожденная алгебра над несчетным полем является кольцом Джекобсона.
Алгебры Тейта над неархимедовыми полями являются кольцами Джекобсона.
Коммутативное кольцо R является кольцом Джекобсона тогда и только тогда, когда R [ x ], кольцо многочленов над R , является кольцом Джекобсона. ^[1]

Характеристики

Следующие условия на коммутативном кольце R эквивалентны:

R — кольцо Джекобсона.
Каждый простой идеал кольца R является пересечением максимальных идеалов.
Каждый радикальный идеал является пересечением максимальных идеалов.
Любой идеал Гольдмана максимален.
Каждое факторкольцо R по простому идеалу имеет нулевой радикал Джекобсона .
В каждом факторкольце нильрадикал равен радикалу Джекобсона.
Любая конечно порожденная алгебра над R , являющаяся полем, конечно порождена как R -модуль. ( лемма Зарисского )
Каждый простой идеал P кольца R такой, что R / P имеет элемент x с ( R / P )[x ⁻¹] поле является максимальным простым идеалом.
Спектр R представляет собой пространство Джекобсона , а это означает, что каждое замкнутое подмножество является замыканием множества замкнутых точек в нем.
(Для нётеровых колец R ): R не имеет простых идеалов P таких, что R / P — одномерное полулокальное кольцо .

Примечания

^ Капланский, Теорема 31

Ссылки

Амицур, Шимшон А. (1956), «Алгебры над бесконечными полями», Труды Американского математического общества , 7 : 35–48, doi : 10.2307/2033240 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2033240 , MR 0075933
Эйзенбуд, Дэвид . Коммутативная алгебра . ISBN 0-387-94269-6 .
Гольдман, Оскар (1951), «Кольца Гильберта и теорема Гильберта о нулевой точке», Mathematical Journal , 54 : 136–140, doi : 10.1007/BF01179855 , ISSN 0025-5874 , MR 0044510
Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1966). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Часть третья» . Публикации IHÉS по математике . 28 : раздел 10. doi : 10.1007/bf02684343 . МР 0217086 .
«Jacobson_ring» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Каплански, Ирвинг (1974), Коммутативные кольца (пересмотренная редакция), University of Chicago Press , ISBN 0-226-42454-5 , МР 0345945
Крулл, Вольфганг (1951), «Кольца Якобсона, теорема Гильберта о нулевой точке, теория размерностей», Mathematical Journal , 54 : 354–387, doi : 10.1007/BF01238035 , ISSN 0025-5874 , MR 0047622
Крулл, Вольфганг (1952), «Jacobsonsches Radikal und Hilbertscher Nullstellensatz», Труды Международного конгресса математиков, Кембридж, Массачусетс, 1950 , том. 2, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 56–64, MR 0045097 , заархивировано из оригинала 29 ноября 2014 г. , получено 3 января 2013 г.

[1] Капланский, Теорема 31

[1]