Полупримитивное кольцо

В алгебре , полупримитивное кольцо , полупростое кольцо Джекобсона или J-полупростое кольцо — это кольцо которого радикал Джекобсона равен нулю . Это тип кольца, более общий, чем полупростое кольцо , но простые модули все же предоставляют достаточно информации о кольце. Кольца, такие как кольцо целых чисел, являются полупримитивными, а артиново полупримитивное кольцо — это просто полупростое кольцо . Полупримитивные кольца можно понимать как подпрямые произведения примитивных колец , которые описываются теоремой плотности Джекобсона .

Определение

Кольцо называется полупримитивным или полупростым по Джекобсону, если его радикал Джекобсона является нулевым идеалом .

Кольцо полупримитивно тогда и только тогда, когда оно имеет точный полупростой левый модуль . Свойство полупримитивности симметрично слева направо, поэтому кольцо полупримитивно тогда и только тогда, когда оно имеет точный полупростой правый модуль.

Кольцо полупримитивно тогда и только тогда, когда оно является подпрямым произведением левых примитивных колец.

Коммутативное кольцо является полупримитивным тогда и только тогда, когда оно является подпрямым произведением полей ( Lam 1995 , стр. 137).

Лево- артиново кольцо полупримитивно тогда и только тогда, когда оно полупросто ( Lam 2001 , стр. 54). Такие кольца иногда называют полупростыми артиновыми ( Келарев 2002 , с. 13).

Примеры

• Кольцо целых чисел полупримитивно, но не полупросто.
• Каждое примитивное кольцо полупримитивно.
• Произведение двух полей полупримитивно, но не примитивно.
• Каждое регулярное кольцо фон Неймана полупримитивно.

Сам Джейкобсон определил кольцо как «полупростое» тогда и только тогда, когда оно является подпрямым произведением простых колец ( Jacobson 1989 , стр. 203). Однако это более строгое понятие, поскольку кольцо эндоморфизмов счетномерного , векторного пространства полупримитивно, но не является подпрямым произведением простых колец ( Lam 1995 стр. 42).

Ссылки

• Джейкобсон, Натан (1989), Основная алгебра II (2-е изд.), WH Freeman, ISBN  978-0-7167-1933-5
• Лам, Цит-Юэн (1995), Упражнения по классической теории колец , Сборники задач по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-94317-6 , МР   1323431
• Лам, Цит-Юэн (2001), Первый курс некоммутативных колец , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-95325-0
• Келарев, Андрей В. (2002), Кольцевые конструкции и приложения , World Scientific, ISBN  978-981-02-4745-4