Домен Голдмана

В математике область Гольдмана или G-домен — это область целостности A, которой частных является конечно порожденной алгеброй над A. поле ^{[ 1 ]} Они названы в честь Оскара Гольдмана .

Надкольцо (т. е. промежуточное кольцо , лежащее между кольцом и его полем частных) области Гольдмана снова является областью Гольдмана. Существует область Гольдмана, в которой все ненулевые простые идеалы максимальны , хотя простых идеалов бесконечно много. ^{[ 2 ]}

Идеал если I в коммутативном кольце A называется идеалом Гольдмана, фактор A / I является областью Гольдмана. Таким образом, идеал Гольдмана является простым, но не обязательно максимальным. Фактически, коммутативное кольцо является кольцом Джекобсона тогда и только тогда, когда каждый идеал Гольдмана в нем максимален.

Понятие идеала Гольдмана можно использовать для несколько уточненной характеристики радикала идеала : радикал идеала I есть пересечение всех идеалов Гольдмана, I. содержащих

Альтернативное определение

Целый домен $D$ является G-доменом тогда и только тогда, когда:

Его поле дробей представляет собой простое расширение $D$
Пересечение его ненулевых простых идеалов (не путать с нильрадикалом ) не равно нулю.
Есть ненулевой элемент $u$ такая, что для любого ненулевого идеала $I$ , $u^{n}\in I$ для некоторых $n$ . ^{[ 3 ]}

G -идеал определяется как идеал $I\subset R$ такой, что $R/I$ является G-доменом. Поскольку факторкольцо является областью целостности тогда и только тогда, когда кольцо факторизовано простым идеалом, каждый G-идеал также является простым идеалом. G-идеалы можно использовать как уточненную совокупность простых идеалов в следующем смысле: радикал идеала можно охарактеризовать как пересечение всех простых идеалов, содержащих этот идеал, и фактически мы все равно получим радикал, даже если возьмем пересечение над G-идеалами. ^{[ 4 ]}

Каждый максимальный идеал является G-идеалом, поскольку фактор по максимальному идеалу является полем и поле тривиально является G-областью. Следовательно, максимальные идеалы являются G-идеалами, а G-идеалы являются простыми идеалами. G-идеалы — единственные максимальные идеалы в кольце Джекобсона , и фактически это эквивалентная характеристика колец Джекобсона: кольцо является кольцом Джекобсона, когда все G-идеалы являются максимальными идеалами. упрощенному доказательству Nullstellensatz . Это приводит к ^{[ 5 ]}

Известно, что данное $T\supset R$ , кольцевое расширение G-домена, $T$ является алгебраическим над $R$ тогда и только тогда, когда каждое расширение кольца между $T$ и $R$ является G-доменом. ^{[ 6 ]}

является Нётерова область G-областью тогда и только тогда, когда ее размерность Крулля не превышает единицы и имеет лишь конечное число максимальных идеалов (или, что то же самое, простых идеалов). ^{[ 7 ]}

Примечания

^ Домены/идеалы Гольдмана называются G-доменами/идеалами в (Kaplansky 1974).
^ Капланский, с. 13
^ Каплански, Ирвинг. Коммутативная алгебра . Издательство Чикагского университета, 1974, стр. 12, 13.
^ Каплански, Ирвинг. Коммутативная алгебра . Издательство Чикагского университета, 1974, стр. 16, 17.
^ Каплански, Ирвинг. Коммутативная алгебра . Издательство Чикагского университета, 1974, с. 19.
^ Доббс, Дэвид. «Пары G-доменов». Тенденции в исследованиях коммутативной алгебры, Nova Science Publishers, 2003, стр. 71–75.
^ Каплански, Ирвинг. Коммутативная алгебра . Издательство Чикагского университета, 1974, с. 107.

Ссылки

Каплански, Ирвинг (1974), Коммутативные кольца (пересмотренная редакция), University of Chicago Press , ISBN 0-226-42454-5 , МР 0345945
Пикавет, Габриэль (1999), «О доменах НОД», Доббс, Дэвид Э. (ред.), Достижения в теории коммутативных колец. Материалы 3-й международной конференции, Фес, Марокко , Лектор. Примечания Pure Appl. Матем., вып. 205, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Марсель Деккер, стр. 501–519, ISBN. 0824771478 , Збл 0982.13012

[Ref_-1] Домены/идеалы Гольдмана называются G-доменами/идеалами в (Kaplansky 1974).

[Ref_a-2] Капланский, с. 13

[3] Каплански, Ирвинг. Коммутативная алгебра . Издательство Чикагского университета, 1974, стр. 12, 13.

[4] Каплански, Ирвинг. Коммутативная алгебра . Издательство Чикагского университета, 1974, стр. 16, 17.

[5] Каплански, Ирвинг. Коммутативная алгебра . Издательство Чикагского университета, 1974, с. 19.

[6] Доббс, Дэвид. «Пары G-доменов». Тенденции в исследованиях коммутативной алгебры, Nova Science Publishers, 2003, стр. 71–75.

[7] Каплански, Ирвинг. Коммутативная алгебра . Издательство Чикагского университета, 1974, с. 107.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]