Jump to content

Домен Голдмана

В математике область Гольдмана или G-домен — это область целостности A, которой частных является конечно порожденной алгеброй над A. поле [1] Они названы в честь Оскара Гольдмана .

Надкольцо (т. е. промежуточное кольцо , лежащее между кольцом и его полем частных) области Гольдмана снова является областью Гольдмана. Существует область Гольдмана, в которой все ненулевые простые идеалы максимальны , хотя простых идеалов бесконечно много. [2]

Идеал если I в коммутативном кольце A называется идеалом Гольдмана, фактор A / I является областью Гольдмана. Таким образом, идеал Гольдмана является простым, но не обязательно максимальным. Фактически, коммутативное кольцо является кольцом Джекобсона тогда и только тогда, когда каждый идеал Гольдмана в нем максимален.

Понятие идеала Гольдмана можно использовать для несколько уточненной характеристики радикала идеала : радикал идеала I есть пересечение всех идеалов Гольдмана, I. содержащих

Альтернативное определение

[ редактировать ]

Целый домен является G-доменом тогда и только тогда, когда:

  1. Его поле дробей представляет собой простое расширение
  2. Пересечение его ненулевых простых идеалов (не путать с нильрадикалом ) не равно нулю.
  3. Есть ненулевой элемент такая, что для любого ненулевого идеала , для некоторых . [3]

G -идеал определяется как идеал такой, что является G-доменом. Поскольку факторкольцо является областью целостности тогда и только тогда, когда кольцо факторизовано простым идеалом, каждый G-идеал также является простым идеалом. G-идеалы можно использовать как уточненную совокупность простых идеалов в следующем смысле: радикал идеала можно охарактеризовать как пересечение всех простых идеалов, содержащих этот идеал, и фактически мы все равно получим радикал, даже если возьмем пересечение над G-идеалами. [4]

Каждый максимальный идеал является G-идеалом, поскольку фактор по максимальному идеалу является полем и поле тривиально является G-областью. Следовательно, максимальные идеалы являются G-идеалами, а G-идеалы являются простыми идеалами. G-идеалы — единственные максимальные идеалы в кольце Джекобсона , и фактически это эквивалентная характеристика колец Джекобсона: кольцо является кольцом Джекобсона, когда все G-идеалы являются максимальными идеалами. упрощенному доказательству Nullstellensatz . Это приводит к [5]

Известно, что данное , кольцевое расширение G-домена, является алгебраическим над тогда и только тогда, когда каждое расширение кольца между и является G-доменом. [6]

является Нётерова область G-областью тогда и только тогда, когда ее размерность Крулля не превышает единицы и имеет лишь конечное число максимальных идеалов (или, что то же самое, простых идеалов). [7]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Домены/идеалы Гольдмана называются G-доменами/идеалами в (Kaplansky 1974).
  2. ^ Капланский, с. 13
  3. ^ Каплански, Ирвинг. Коммутативная алгебра . Издательство Чикагского университета, 1974, стр. 12, 13.
  4. ^ Каплански, Ирвинг. Коммутативная алгебра . Издательство Чикагского университета, 1974, стр. 16, 17.
  5. ^ Каплански, Ирвинг. Коммутативная алгебра . Издательство Чикагского университета, 1974, с. 19.
  6. ^ Доббс, Дэвид. «Пары G-доменов». Тенденции в исследованиях коммутативной алгебры, Nova Science Publishers, 2003, стр. 71–75.
  7. ^ Каплански, Ирвинг. Коммутативная алгебра .Издательство Чикагского университета, 1974, с. 107.
  • Каплански, Ирвинг (1974), Коммутативные кольца (пересмотренная редакция), University of Chicago Press , ISBN  0-226-42454-5 , МР   0345945
  • Пикавет, Габриэль (1999), «О доменах НОД», Доббс, Дэвид Э. (ред.), Достижения в теории коммутативных колец. Материалы 3-й международной конференции, Фес, Марокко , Лектор. Примечания Pure Appl. Матем., вып. 205, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Марсель Деккер, стр. 501–519, ISBN.  0824771478 , Збл   0982.13012
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 19ae1251efd5fc23c0cb30816ea9d34a__1655220960
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/19/4a/19ae1251efd5fc23c0cb30816ea9d34a.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Goldman domain - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)