Домен Голдмана
В математике область Гольдмана или G-домен — это область целостности A, которой частных является конечно порожденной алгеброй над A. поле [1] Они названы в честь Оскара Гольдмана .
Надкольцо (т. е. промежуточное кольцо , лежащее между кольцом и его полем частных) области Гольдмана снова является областью Гольдмана. Существует область Гольдмана, в которой все ненулевые простые идеалы максимальны , хотя простых идеалов бесконечно много. [2]
Идеал если I в коммутативном кольце A называется идеалом Гольдмана, фактор A / I является областью Гольдмана. Таким образом, идеал Гольдмана является простым, но не обязательно максимальным. Фактически, коммутативное кольцо является кольцом Джекобсона тогда и только тогда, когда каждый идеал Гольдмана в нем максимален.
Понятие идеала Гольдмана можно использовать для несколько уточненной характеристики радикала идеала : радикал идеала I есть пересечение всех идеалов Гольдмана, I. содержащих
Альтернативное определение
[ редактировать ]Целый домен является G-доменом тогда и только тогда, когда:
- Его поле дробей представляет собой простое расширение
- Пересечение его ненулевых простых идеалов (не путать с нильрадикалом ) не равно нулю.
- Есть ненулевой элемент такая, что для любого ненулевого идеала , для некоторых . [3]
G -идеал определяется как идеал такой, что является G-доменом. Поскольку факторкольцо является областью целостности тогда и только тогда, когда кольцо факторизовано простым идеалом, каждый G-идеал также является простым идеалом. G-идеалы можно использовать как уточненную совокупность простых идеалов в следующем смысле: радикал идеала можно охарактеризовать как пересечение всех простых идеалов, содержащих этот идеал, и фактически мы все равно получим радикал, даже если возьмем пересечение над G-идеалами. [4]
Каждый максимальный идеал является G-идеалом, поскольку фактор по максимальному идеалу является полем и поле тривиально является G-областью. Следовательно, максимальные идеалы являются G-идеалами, а G-идеалы являются простыми идеалами. G-идеалы — единственные максимальные идеалы в кольце Джекобсона , и фактически это эквивалентная характеристика колец Джекобсона: кольцо является кольцом Джекобсона, когда все G-идеалы являются максимальными идеалами. упрощенному доказательству Nullstellensatz . Это приводит к [5]
Известно, что данное , кольцевое расширение G-домена, является алгебраическим над тогда и только тогда, когда каждое расширение кольца между и является G-доменом. [6]
является Нётерова область G-областью тогда и только тогда, когда ее размерность Крулля не превышает единицы и имеет лишь конечное число максимальных идеалов (или, что то же самое, простых идеалов). [7]
Примечания
[ редактировать ]- ^ Домены/идеалы Гольдмана называются G-доменами/идеалами в (Kaplansky 1974).
- ^ Капланский, с. 13
- ^ Каплански, Ирвинг. Коммутативная алгебра . Издательство Чикагского университета, 1974, стр. 12, 13.
- ^ Каплански, Ирвинг. Коммутативная алгебра . Издательство Чикагского университета, 1974, стр. 16, 17.
- ^ Каплански, Ирвинг. Коммутативная алгебра . Издательство Чикагского университета, 1974, с. 19.
- ^ Доббс, Дэвид. «Пары G-доменов». Тенденции в исследованиях коммутативной алгебры, Nova Science Publishers, 2003, стр. 71–75.
- ^ Каплански, Ирвинг. Коммутативная алгебра .Издательство Чикагского университета, 1974, с. 107.
Ссылки
[ редактировать ]- Каплански, Ирвинг (1974), Коммутативные кольца (пересмотренная редакция), University of Chicago Press , ISBN 0-226-42454-5 , МР 0345945
- Пикавет, Габриэль (1999), «О доменах НОД», Доббс, Дэвид Э. (ред.), Достижения в теории коммутативных колец. Материалы 3-й международной конференции, Фес, Марокко , Лектор. Примечания Pure Appl. Матем., вып. 205, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Марсель Деккер, стр. 501–519, ISBN. 0824771478 , Збл 0982.13012