Полулокальное кольцо

О старом значении нетерового кольца с топологией, определяемой идеалом в радикале Джекобсона, см. Кольцо Зарисского .

В математике полулокальное кольцо — это кольцо для которого R /J( R ) — полупростое кольцо , где J( R ) — радикал Джекобсона кольца R. , ( Лам 2001 , стр. §20) ( Михалев и Пильц 2002 , стр. C.7)

Приведенное выше определение выполняется, если R имеет конечное число максимальных правых идеалов (и конечное число максимальных левых идеалов). Когда R — коммутативное кольцо , обратное импликация также верно, и поэтому определение полулокального для коммутативных колец часто считается «имеющим конечное число максимальных идеалов ».

В некоторой литературе коммутативное полулокальное кольцо вообще называется квазиполулокальное кольцо , используя полулокальное кольцо для обозначения нётерова кольца с конечным числом максимальных идеалов.

Таким образом, полулокальное кольцо является более общим, чем локальное кольцо , которое имеет только один максимальный (правый/левый/двусторонний) идеал.

Примеры

• Любое правое или левое артиново кольцо , любое сериальное кольцо и любое полусовершенное кольцо полулокально.
• Частное $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ является полулокальным кольцом. В частности, если $m$ является первичной степенью, то $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ это местное кольцо.
• Конечная прямая сумма полей $\bigoplus _{i=1}^{n}{F_{i}}$ является полулокальным кольцом.
• В случае коммутативных колец с единицей этот пример является прототипическим в следующем смысле: китайская теорема об остатках показывает, что для полулокального коммутативного кольца R с единицей и максимальными идеалами m ₁ , ..., m _n

$R/\bigcap _{i=1}^{n}m_{i}\cong \bigoplus _{i=1}^{n}R/m_{i}\,$.

(Карта является естественной проекцией). Правая часть представляет собой прямую сумму полей. Здесь мы замечаем, что ∩ _i m _i =J( R ), и видим, что R /J( R ) действительно является полупростым кольцом.

• Классическое кольцо частных любого коммутативного нётерова кольца является полулокальным кольцом.
• артинова Кольцо эндоморфизмов модуля является полулокальным кольцом.
• Полулокальные кольца возникают, например, в геометрии , когда (коммутативное) кольцо R локализовано алгебраической относительно мультипликативно замкнутого подмножества S = ∩ (R \ p _i ) , где pi _— конечное число простых идеалов .

Учебники

• Лам, TY (2001), «7», Первый курс по некоммутативным кольцам , Тексты для выпускников по математике, том. 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xx+385, ISBN.  0-387-95183-0 , МР   1838439
• Михалев Александр Владимирович; Пильц, Гюнтер Ф., ред. (2002), Краткий справочник по алгебре , Дордрехт: Kluwer Academic Publishers, стр. xvi+618, ISBN  0-7923-7072-4 , г-н   1966155