Конгруэнтность идеала

В алгебре конгруэнтный идеал сюръективного ​ колец f : B → C коммутативных колец это образ под f аннулятора ​ ядра . f гомоморфизма —

Он называется идеалом конгруэнции, потому что, когда B — алгебра Гекке , а f — гомоморфизм, соответствующий модулярной форме , идеал конгруэнции описывает сравнения между модулярной формой f и другими модулярными формами.

Пример

• Предположим, C и D — кольца с гомоморфизмами в кольцо E , и пусть B = C × _E D — обратный образ, заданный подкольцом C × D пар ( c , d ), где c и d имеют одинаковый образ в E . Если f — естественная проекция из B в C , то ядро ​​— это идеал J элементов (0, d где d имеет образ 0 в E. ) , Если J имеет аннулятор 0 в D , то его аннулятор в B это просто ядро ​​I отображения из C в E. — конгруэнтный идеал f является идеалом ( I ,0) B. Таким образом ,
• Предположим, что B — алгебра Гекке , порожденная операторами Гекке T _n, действующими в 2-мерном пространстве модулярных форм уровня 1 и веса 12. Это пространство является 2-мерным и натянуто на собственные формы, заданные рядом Эйзенштейна E ₁₂ и модулярной дискриминант ∆. Отображение, переводящее оператор Гекке Tn _тау в его собственные значения (σ11 ₍ n ) ,τ( n )) дает гомоморфизм из B в кольцо Z × Z (где τ — -функция Рамануджана , а σ11 ₍ n ) — сумма 11-х степеней делителей n ). Образ — это набор пар ( c , d ) с c и d, конгруэнтными по модулю 619 из-за сравнения Рамануджана σ ₁₁ ( n ) ≡ τ( n ) по модулю 691. Если f — гомоморфизм, переводящий ( c , d ) в c в Z , то конгруэнтный идеал равен (691). Таким образом, идеал конгруэнтности описывает конгруэнтности между формами E ₁₂ и Δ.

Ссылки

• Ленстра, Х.В. (1995), «Полные пересечения и кольца Горенштейна», в книге Коутс, Джон (редактор), Эллиптические кривые, модулярные формы и последняя теорема Ферма (Гонконг, 1993) , сер. Теория чисел, I, Int. Пресс, Кембридж, Массачусетс, стр. 99–109, ISBN.  1-57146-026-8 , МР   1363497 , Збл   0860.13012