Гауссово целое число

В теории чисел гауссово целое число — это комплексное число , действительная и мнимая части которого являются целыми числами . Гауссовы целые числа при обычном сложении и умножении комплексных чисел образуют область целого числа , обычно записываемую как $\mathbf {Z} [i]$ или $\mathbb {Z} [i].$ ^[1]

Гауссовы целые числа имеют много общих свойств с целыми числами: они образуют евклидову область и, таким образом, имеют евклидово деление и евклидов алгоритм ; это подразумевает уникальную факторизацию и множество связанных с ней свойств. Однако гауссовы целые числа не имеют полного порядка , учитывающего арифметику.

Гауссовы целые числа являются алгебраическими целыми числами и образуют простейшее кольцо квадратичных целых чисел .

Гауссовы целые числа названы в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса .

Основные определения

Целые числа Гаусса — это набор ^[1]

\mathbf {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbf {Z} \},\qquad {\text{ where }}i^{2}=-1.

Другими словами, гауссово целое число — это комплексное число которого , действительная и мнимая части являются целыми числами .Поскольку гауссовы целые числа замкнуты относительно сложения и умножения, они образуют коммутативное кольцо , которое является подкольцом поля комплексных чисел. Таким образом, это целостная область .

в комплексной плоскости , гауссовы целые числа образуют $двумерную$ Если рассматривать их целочисленную решетку .

Сопряженным к гауссовскому целому числу $a + bi$ является гауссовское целое число $a - bi$ .

Норма . гауссова целого числа — это его произведение на сопряженное ему число

N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}.

Таким образом, нормой гауссовского целого числа является квадрат его абсолютного значения как комплексного числа. Норма гауссовского целого числа — это неотрицательное целое число, которое представляет собой сумму двух квадратов . Таким образом, норма не может иметь вид $4 k + 3$ с $k$ целым .

Норма мультипликативна , то есть имеет место ^[2]

N(zw)=N(z)N(w),

для каждой пары гауссовских целых чисел $z, w$ . Это можно показать непосредственно или с помощью мультипликативного свойства модуля комплексных чисел.

Единицами , кольца гауссовских целых чисел (то есть гауссовских целых чисел, мультипликативное обратное число которых также является гауссовским целым числом) являются в точности гауссовские целые числа с нормой 1, то есть 1, –1 $i$ и $- i$ . ^[3]

Евклидово деление

Визуализация максимального расстояния до некоторого гауссовского целого числа

Гауссовы целые числа имеют евклидово деление (деление с остатком), подобное делению целых чисел и многочленов . Это делает гауссовы целые числа евклидовой областью и подразумевает, что гауссовы целые числа разделяют с целыми числами и полиномами многие важные свойства, такие как существование евклидова алгоритма для вычисления наибольших общих делителей , тождество Безу , свойство главного идеала , лемма Евклида , уникальная факторизация теорема и китайская теорема об остатках , которые можно доказать, используя только евклидово деление.

Алгоритм евклидова деления берет в кольце гауссовых целых чисел делимое $a$ и делитель $b \neq 0$ и выдает частное $q$ и остаток $r$ такие, что

a=bq+r\quad {\text{and}}\quad N(r)<N(b).

Фактически, можно уменьшить остаток:

a=bq+r\quad {\text{and}}\quad N(r)\leq {\frac {N(b)}{2}}.

Даже при таком лучшем неравенстве частное и остаток не обязательно уникальны, но можно уточнить выбор, чтобы обеспечить уникальность.

Чтобы доказать это, можно рассмотреть комплексного числа частное $x + iy = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ а / б ⁠$ . Существуют уникальные целые числа $m$ и $n$ такие, что $- ⁠ 1 / 2 ⁠ < x - m \leq ⁠ 1/2 ⁠$ и $- ⁠ 1 / 2 ⁠ < y - n \leq ⁠ 1 / 2 ⁠$ и, таким образом, $N (x - m + i (y - n)) \leq ⁠ 1/2 ⁠ $ . Взяв $q = m + in$ , имеем

a=bq+r,

с

r=b{\bigl (}x-m+i(y-n){\bigr )},

и

N(r)\leq {\frac {N(b)}{2}}.

Выбор $x - m$ и $y - n$ в полуоткрытом интервале необходим для уникальности.Это определение евклидова деления можно интерпретировать геометрически в комплексной плоскости (см. рисунок), заметив, что расстояние от комплексного числа $ξ$ до ближайшего гауссова целого числа не более $⁠ \sqrt 2 / 2 ⁠$ . ^[4]

Основные идеалы

Поскольку кольцо $G$ гауссовских целых чисел является евклидовой областью, $G$ является областью главных идеалов что каждый идеал G $является$ главным , что означает , . Явно, идеал $I$ — это подмножество кольца $R$ такое, что каждая сумма элементов $I$ и каждое произведение элемента $I$ на элемент $R$ принадлежат $I$ . Идеал является главным , если он состоит из всех кратных одному элементу $g$ , то есть имеет вид

\{gx\mid x\in G\}.

В этом случае говорят, что идеал порождается g $является$ или что $g$ генератором идеала .

Каждый идеал $I$ в кольце гауссовых целых чисел является главным, потому что, если в $I$ выбрать ненулевой элемент $g$ минимальной нормы, для каждого элемента $x$ из $I$ остаток евклидова деления $x$ на $g$ также принадлежит $I$ и имеет норма, меньшая, чем у $g$ ; из-за выбора $g$ эта норма равна нулю, и, следовательно, остаток также равен нулю. То есть $x = qg$ , где $q$ — частное.

Для любого $g$ идеал, порожденный $g,$ также порождается любым ассоциированным с $g$ , то есть $g, gi, - g, - gi$ ; никакой другой элемент не порождает тот же идеал. Поскольку все генераторы идеала имеют одну и ту же норму, нормой идеала является норма любого из его генераторов.

В некоторых случаях полезно раз и навсегда выбрать генератор для каждого идеала. Для этого есть два классических способа, оба из которых сначала рассматривают идеалы нечетной нормы. Если $g = a + bi$ имеет нечетную норму $a 2 + б 2$ , то одно из $a$ и $b$ нечетное, а другое четное. Таким образом, $g$ имеет ровно один ассоциат с вещественной частью $a,$ которая является нечетной и положительной. В своей оригинальной статье Гаусс сделал другой выбор, выбрав единственный ассоциат такой, что остаток от его деления на $2 + 2 i$ равен единице. Фактически, поскольку $N (2 + 2 i) = 8$ , норма остатка не превышает 4. Поскольку эта норма нечетна, а 3 не является нормой гауссовского целого числа, норма остатка равна единице, то есть остаток представляет собой единицу. Умножив $g$ на обратную эту единицу, можно найти ассоциированную единицу, у которой в остатке останется единица при делении на $2 + 2 i$ .

Если норма $g$ четная, то либо $g = 2 к ч$ или $г = 2 к h (1 + i)$ , где $k$ — целое положительное число, а $N (h)$ — нечетное число. выбирают ассоциат $g$ Таким образом, для получения $h$ , который соответствует выбору ассоциатов для элементов нечетной нормы.

Гауссовы простые числа

Поскольку гауссовы целые числа образуют область главного идеала, они также образуют уникальную область факторизации . Это означает, что гауссово целое число неприводимо (то есть оно не является произведением двух неединиц ) тогда и только тогда, когда оно простое (то есть порождает простой идеал ).

Простые элементы Z $i [] также$ известны как простые числа Гаусса . Ассоциат простого числа Гаусса также является простым числом Гаусса. Сопряженное гауссово простое число также является гауссовским простым числом (это означает, что гауссовы простые числа симметричны относительно действительной и мнимой осей).

Положительное целое число является гауссовским простым тогда и только тогда, когда это простое число , которое соответствует 3 по модулю 4 (то есть его можно записать $4 n + 3$ , где $n -$ неотрицательное целое число) (последовательность A002145 в OEIS ). Остальные простые числа не являются простыми гауссовскими числами, но каждое из них является произведением двух сопряженных гауссовских простых чисел.

Гауссово целое число $a + bi$ является гауссовским простым тогда и только тогда, когда либо:

одно из $a, b$ равно нулю, а абсолютное значение другого — простое число формы $4 n + 3$ (где $n$ — неотрицательное целое число), или
оба ненулевые $и 2 + б 2$ — простое число (которое не будет иметь вид $4 n + 3$ ).

Другими словами, гауссово целое число является гауссовским простым тогда и только тогда, когда либо его норма является простым числом, либо оно является произведением единицы ( $\pm1, \pm i$ ) и простого числа вида $4 n + 3$ .

Отсюда следует, что существует три случая факторизации простого числа $p$ в гауссовых целых числах:

Если $p$ конгруэнтно 3 по модулю 4, то это гауссово простое число; на языке чисел теории алгебраических $p$ называется инертным по отношению к целым гауссовым числам.
Если $p$ конгруэнтно 1 по модулю 4, то это произведение гауссовского простого числа на его сопряженное число, оба из которых являются несвязанными гауссовскими простыми числами (ни одно из них не является произведением другого на единицу); $p$ Говорят, что — разложенное простое число на гауссовы целые числа. Например, $5 = (2 + я)(2 - я)$ и $13 = (3 + 2 я)(3 - 2 я)$ .
Если $p = 2$ , мы имеем $2 = (1 + я)(1 - я) = я (1 - я) 2$ ; то есть 2 — произведение квадрата гауссова простого числа на единицу; это единственное разветвленное простое число в гауссовских целых числах.

Уникальная факторизация

Что касается каждой уникальной области факторизации , каждое гауссово целое число может быть факторизовано как произведение единицы и гауссовских простых чисел, и эта факторизация уникальна с точностью до порядка множителей и замены любого простого числа любым из его ассоциатов (вместе с соответствующее изменение единичного коэффициента).

Если раз и навсегда выбрать фиксированное гауссово простое число для каждого класса эквивалентности ассоциированных простых чисел и взять в факторизацию только эти выбранные простые числа, то получится факторизация простых чисел, уникальная с точностью до порядка множителей. При выборе, описанном выше , результирующая уникальная факторизация имеет вид

u(1+i)^{e_{0}}{p_{1}}^{e_{1}}\cdots {p_{k}}^{e_{k}},

где $u$ — единица измерения (т. е. $u \in {1, -1, i, - i}$ ), $e 0$ и $k$ — целые неотрицательные числа, $e 1, \dots, e k$ — положительные целые числа, а $p 1, \dots, p k$ — различные простые гауссовы числа такие, что в зависимости от выбора выбранных ассоциатов

либо $p k = a k + ib k$ с $нечетным$ и положительным, и $b$ четным,
или остаток евклидова деления $p k$ на $2 + 2 i$ равен 1 (это первоначальный выбор Гаусса ^[5]).

Преимущество второго выбора состоит в том, что выбранные ассоциаты хорошо ведут себя при произведении гауссовских целых чисел нечетной нормы. С другой стороны, выбранный ассоциат для действительных простых чисел Гаусса представляет собой отрицательные целые числа. Например, факторизация 231 в целых числах при первом выборе ассоциатов равна 3 × 7 × 11 она равна (–1) × (–3) × (–7) × (–11). , тогда как при втором выборе выбор.

Гауссово рациональное мышление

Поле — гауссовских рациональных чисел это поле частных кольца гауссовских целых чисел. Оно состоит из комплексных чисел, действительная и мнимая части которых рациональны .

Кольцо гауссовских целых чисел является целым замыканием целых чисел в гауссовских рациональных числах.

Это означает, что гауссовские целые числа являются квадратичными целыми числами и что гауссово рациональное число является гауссовским целым числом тогда и только тогда, когда оно является решением уравнения

x^{2}+cx+d=0,

с $целыми числами c$ и $d$ . Фактически $a + bi$ является решением уравнения

x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2},

и это уравнение имеет целые коэффициенты тогда и только тогда, когда $a$ и $b$ оба целые числа.

Наибольший общий делитель

Что касается любой уникальной области факторизации , наибольший общий делитель (НОД) двух гауссовских целых чисел $a, b$ — это гауссово целое число $d$ , которое является общим делителем $a$ и $b$ , которое имеет все общие делители $a$ и $b$ в качестве делителя. То есть (где $|$ обозначает отношение делимости ),

$д | а$ и $д | группа$
$с | а$ и $с | б$ подразумевает $с | д$ .

Таким образом, под наибольшей подразумевается отношение делимости, а не упорядочивание кольца (для целых чисел оба значения наибольшего совпадают).

С технической точки зрения, наибольший общий делитель $a$ и $b$ является генератором идеала, порожденного a $и$ b $($ эта характеристика справедлива для областей главных идеалов , но не для уникальных областей факторизации).

Наибольший общий делитель двух целых гауссовых чисел не уникален, а определяется с точностью до умножения на единицу . есть, учитывая наибольший общий делитель $d$ a $делители$ и $b$ , наибольшие общие $a$ и $b$ равны $d, -d, id$ и $-id То$ .

Существует несколько способов вычисления наибольшего общего делителя двух гауссовских целых чисел $a$ и $b$ . Когда кто-то знает простые факторизации $a$ и $b$ ,

a=i^{k}\prod _{m}{p_{m}}^{\nu _{m}},\quad b=i^{n}\prod _{m}{p_{m}}^{\mu _{m}},

где простые числа $попарно pm$ несвязаны, а показатели $степени m$ не связаны, наибольший общий делитель равен

\prod _{m}{p_{m}}^{\lambda _{m}},

с

\lambda _{m}=\min(\nu _{m},\mu _{m}).

К сожалению, за исключением простых случаев, факторизацию простых чисел трудно вычислить, а алгоритм Евклида позволяет значительно упростить (и ускорить) вычисления. Этот алгоритм состоит из замены входных данных $(a, b)$ на $(b, r)$ , где $r$ — остаток евклидова деления $a$ на $b$ , и повторения этой операции до тех пор, пока не будет получен нулевой остаток, то есть пара $(d, 0)$ . Этот процесс завершается, поскольку на каждом шаге норма второго целого числа Гаусса уменьшается. Полученный $d$ является наибольшим общим делителем, потому что (на каждом шаге) $b$ и $r = a - bq$ имеют те же делители, что и $a$ и $b$ , и, следовательно, один и тот же наибольший общий делитель.

Этот метод вычислений работает всегда, но он не так прост, как для целых чисел, поскольку евклидово деление более сложное. Поэтому для рукописных вычислений часто предпочитают третий метод. Он состоит в том, что норма $N (d)$ наибольшего общего делителя чисел $a$ и $b$ является общим делителем чисел $N (a)$ , $N (b)$ и $N (a + b)$ . Когда наибольший общий делитель $D$ этих трех целых чисел имеет мало делителей, то на предмет общего делителя легко проверить все гауссовы целые числа с нормой, делящей $D$ .

Например, если $a = 5 + 3 i$ и $b = 2 - 8 i$ , то $N (a) = 34$ , $N (b) = 68$ и $N (a + b) = 74$ . Поскольку наибольший общий делитель трех норм равен 2, наибольший общий делитель $a$ и $b$ имеет норму 1 или 2. Поскольку гауссово целое число нормы 2 необходимо ассоциировать с $1 + i$ , а поскольку $1 + i$ делит $a$ и $b$ , то наибольший общий делитель равен $1 + i$ .

Если $b$ заменить сопряженным с ним $b = 2 + 8 i$ , то наибольший общий делитель трех норм равен 34, норме $a$ , таким образом, можно догадаться, что наибольший общий делитель - это $a$ , то есть что $a | б$ . Фактически, у человека есть $2 + 8 i = (5 + 3 i)(1 + i)$ .

Сравнения и классы вычетов

данного гауссовского целого числа $z0 z1$ , называемого модулем , два гауссовых целых числа $, Для z2 конгруэнтны такое$ по , $если модулю z0$ их разность кратна $z0,$ то есть если существует гауссово целое число $q$ что $z1, - z 2 = qz 0$ . Другими словами, два гауссовых целых числа конгруэнтны по модулю $z 0$ , если их разность принадлежит идеалу , порожденному $z 0$ . Это обозначается как $z 1 \equiv z 2 (mod z 0)$ .

Сравнение по модулю $z 0$ — это отношение эквивалентности (также называемое отношением сравнения ), которое определяет разбиение гауссовских целых чисел на классы эквивалентности , называемые здесь классами сравнения или классами вычетов . Множество классов вычетов обычно обозначается $[i] / z0 или Z [i]$ / $Z [i / ⟨ z0⟩ Z Z$ или $] [i] z0 просто$ .

Класс вычетов гауссовского целого числа $a$ — это множество

{\bar {a}}:=\left\{z\in \mathbf {Z} [i]\mid z\equiv a{\pmod {z_{0}}}\right\}

всех гауссовских целых чисел, которые конгруэнтны $a$ . Отсюда следует, что $= b тогда$ и только тогда, когда $a \equiv b (mod z0 a)$ .

Сложение и умножение совместимы со сравнениями. Это означает, что $a 1 \equiv b 1 (mod z 0)$ и $a 2 \equiv b 2 (mod z 0)$ влекут $a 1 + a 2 \equiv b 1 + b 2 (mod z 0)$ и $a 1 a 2 \equiv b 1 b 2 (мод z 0)$ .Это определяет четко определенные операции (которые не зависят от выбора представителей) над классами вычетов:

{\bar {a}}+{\bar {b}}:={\overline {a+b}}\quad {\text{and}}\quad {\bar {a}}\cdot {\bar {b}}:={\overline {ab}}.

С помощью этих операций классы вычетов образуют коммутативное кольцо , фактор-кольцо гауссовских целых чисел по идеалу, порожденному $z 0$ , которое также традиционно называют кольцом классов вычетов по модулю $z 0$ (подробнее см. Фактор-кольцо ).

Примеры

существует ровно два класса вычетов $Для модуля 1 + i$ , а именно $0 = {0, \pm2, \pm4,\dots,\pm1 \pm i, \pm3 \pm i,\dots}$ (все кратные $1 + i$ ) и $1 = {\pm1, \pm3, \pm5,\dots, \pm i, \pm2 \pm i,\dots}$ , которые образуют шахматный узор на комплексной плоскости. Таким образом, эти два класса образуют кольцо с двумя элементами, которое фактически является полем , единственным (с точностью до изоморфизма) полем с двумя элементами и, таким образом, может быть отождествлено с целыми числами по модулю 2 . Эти два класса можно рассматривать как обобщение разделения целых чисел на четные и нечетные. Таким образом, можно говорить о четных и нечетных гауссовских целых числах (дальше Гаусс разделил четные гауссовские целые числа на четные , которые делятся на 2, и получетные ).
Для модуля 2 существует четыре класса вычетов, а именно $0, 1, i, 1 + i$ . Они образуют кольцо из четырех элементов, в котором $x = - x$ для каждого $x$ . Таким образом, это кольцо не изоморфно кольцу целых чисел по модулю 4, другому кольцу с четырьмя элементами. У одного есть $1 + я 2 = 0$ , и, следовательно, это кольцо не является ни конечным полем с четырьмя элементами, ни прямым произведением двух копий кольца целых чисел по модулю 2.
Для модуля $2 + 2i = (i - 1) 3$ существует восемь классов вычетов, а именно $0, \pm1, \pm i, 1 \pm i, 2$ , из которых четыре содержат только четные гауссовские целые числа, а четыре содержат только нечетные гауссовские целые числа.

Описание классов остатков

Все 13 классов остатков с их минимальными остатками (синие точки) в квадрате $Q 00$ (светло-зеленый фон) для модуля $z 0 = 3 + 2 i$ . Один класс остатков с $z = 2 - 4 i \equiv - i (mod z 0)$ выделен желто-оранжевыми точками.

Учитывая модуль $z 0$ , все элементы класса вычетов имеют одинаковый остаток от евклидова деления на $z 0$ при условии, что используется деление с уникальным коэффициентом и остатком, которое описано выше . Таким образом, перечисление классов остатков эквивалентно перечислению возможных остатков. Геометрически это можно сделать следующим образом.

На комплексной плоскости можно рассматривать квадратную сетку , квадраты которой ограничены двумя линиями.

{\begin{aligned}V_{s}&=\left\{\left.z_{0}\left(s-{\tfrac {1}{2}}+ix\right)\right\vert x\in \mathbf {R} \right\}\quad {\text{and}}\\H_{t}&=\left\{\left.z_{0}\left(x+i\left(t-{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\right\vert x\in \mathbf {R} \right\},\end{aligned}}

с $целыми числами s$ и $t$ (синие линии на рисунке). Они делят плоскость на полуоткрытые квадраты (где $m$ и $n$ — целые числа).

Q_{mn}=\left\{(s+it)z_{0}\left\vert s\in \left[m-{\tfrac {1}{2}},m+{\tfrac {1}{2}}\right),t\in \left[n-{\tfrac {1}{2}},n+{\tfrac {1}{2}}\right)\right.\right\}.

Полуоткрытые интервалы, встречающиеся в определении $Q mn,$ были выбраны для того, чтобы каждое комплексное число принадлежало ровно одному квадрату; то есть квадраты $Q mn$ образуют разбиение комплексной плоскости. У одного есть

Q_{mn}=(m+in)z_{0}+Q_{00}=\left\{(m+in)z_{0}+z\mid z\in Q_{00}\right\}.

Это означает, что каждое гауссово целое число конгруэнтно по модулю $z 0$ уникальному гауссовскому целому числу $Q 00$ (зеленый квадрат на рисунке), которое является его остатком от деления на $z 0$ . Другими словами, каждый класс вычетов содержит ровно один элемент из $Q 00$ .

Целые гауссовы числа в $Q 00$ (или на его границе ) иногда называют минимальными вычетами , поскольку их норма не превышает нормы любого другого целого гауссовского числа в том же классе вычетов (Гаусс называл их абсолютно наименьшими вычетами ).

Из этого можно вывести с помощью геометрических соображений, что количество классов вычетов по модулю гауссова целого числа $z 0 = a + bi$ равно его норме $N (z 0) = a 2 + б 2$ (доказательство см. ниже; аналогично для целых чисел количество классов вычетов по модулю $n$ является его абсолютным значением $| n |$ ).

Доказательство

Отношение $Q mn = (m + in) z 0 + Q 00$ означает, что все $Q mn$ получены из $Q 00$ путем перевода его на целое число Гаусса. Это означает, что все $Q mn$ имеют одинаковую площадь $N = N (z 0)$ и содержат одинаковое количество $n g$ целых гауссовых чисел.

Как правило, количество точек сетки (здесь целые числа Гаусса) в произвольном квадрате площадью $A$ равно $A + Θ (\sqrt A)$ ( обозначения см. в разделе «Большая тета» ). Если рассмотреть большой квадрат, состоящий из $k \times k$ квадратов $Q mn$ , то он содержит $k 2 N + O (k \sqrt N)$ точек сетки. Отсюда следует, $что к 2 п г = к 2 N + Θ (k \sqrt N)$ и, таким образом, $n g знак равно N + Θ (⁠ \sqrt N / k ⁠)$ , после деления на $k 2$ . Переход к пределу, когда $k$ стремится к бесконечности, дает $n g знак равно N знак равно N (z 0)$ .

Поля класса остатка

Кольцо классов вычетов по модулю гауссова целого числа $z 0$ является полем тогда и только тогда, когда $z_{0}$ является гауссовским простым числом.

Если $z 0$ — разложенное простое число или разветвленное простое число $1 + i$ (то есть, если его норма $N (z 0)$ — простое число, равное либо 2, либо простому числу, конгруэнтному 1 по модулю 4), то поле класса вычетов имеет простое число элементов (то есть $N (z 0)$ ). оно изоморфно полю целых чисел по модулю $N (z0 Таким образом ,)$ .

Если, с другой стороны, $z 0$ — инертное простое число (т. е. $N (z 0) = p 2$ является квадратом простого числа, которое конгруэнтно 3 по модулю 4), то поле класса вычетов имеет $p 2$ элементов и является расширением степени 2 (единственным с точностью до изоморфизма) простого поля с $p$ элементами (целыми числами по модулю $p$ ).

Группа классов примитивных вычетов и тотент-функция Эйлера

Многие теоремы (и их доказательства) для целых модулей можно напрямую перенести на модули гауссовских целых чисел, если заменить абсолютное значение модуля нормой. Это особенно справедливо для группы классов примитивных вычетов (также называемой мультипликативной группой целых чисел по модулю $n$ ) и функции тотента Эйлера . Примитивная группа классов вычетов модуля $z$ определяется как подмножество его классов вычетов, которое содержит все классы вычетов $a,$ которые взаимно просты с $z$ , т.е. $(a, z) = 1$ . Очевидно, что эта система образует мультипликативную группу . Число его элементов обозначим через $φ (z)$ (аналогично функции тотента Эйлера $φ (n)$ для целых чисел $n$ ).

Для гауссовых простых чисел сразу следует, что $φ (p) = | р | 2 - 1$ и для произвольных составных гауссовских целых чисел

z=i^{k}\prod _{m}{p_{m}}^{\nu _{m}}

Формулу произведения Эйлера можно вывести как

\phi (z)=\prod _{m\,(\nu _{m}>0)}{\bigl |}{p_{m}}^{\nu _{m}}{\bigr |}^{2}\left(1-{\frac {1}{|p_{m}|{}^{2}}}\right)=|z|^{2}\prod _{p_{m}|z}\left(1-{\frac {1}{|p_{m}|{}^{2}}}\right)

произведение должно строиться по всем простым делителям $pm числа$ z $m$ (при $ν где > 0$ ). важную теорему Эйлера Также можно напрямую перенести :

Для всех

a

с

(a, z) = 1

справедливо, что

a φ (z) \equiv 1 (по модулю z)

.

Историческая справка

Кольцо гауссовских целых чисел было введено Карлом Фридрихом Гауссом в его второй монографии о взаимности четвертой степени (1832 г.). ^[6] Теорема квадратичной взаимности (которую ему впервые удалось доказать в 1796 году) связывает разрешимость сравнения $x 2 \equiv q (mod p)$ к значению $x 2 \equiv п (мод q)$ . Точно так же кубическая взаимность связывает разрешимость задачи $x 3 \equiv q (mod p)$ к значению $x 3 \equiv p (mod q)$ , а биквадратичная (или четвертичная) взаимность — это отношение между $x 4 \equiv q (mod p)$ и $x 4 \equiv п (мод q)$ . Гаусс обнаружил, что закон биквадратичной взаимности и его дополнения легче сформулировать и доказать как утверждения о «целых комплексных числах» (т. е. гауссовских целых числах), чем как утверждения об обычных целых числах (т. е. целых числах).

В сноске он отмечает, что целые числа Эйзенштейна являются естественной областью для формулирования и доказательства результатов о кубической взаимности , и указывает, что подобные расширения целых чисел являются подходящими областями для изучения более высоких законов взаимности.

В этой статье не только были представлены гауссовы целые числа и доказано, что они являются уникальной областью факторизации, но также были введены термины «норма», «единица», «первичный» и «ассоциированный», которые теперь являются стандартными в теории алгебраических чисел.

Нерешенные проблемы

Распределение малых гауссовых простых чисел в комплексной плоскости

Большинство нерешенных проблем связано с распределением простых чисел Гаусса на плоскости.

Задача Гаусса о круге не имеет дело с целыми числами Гаусса как таковыми, а вместо этого требует количества точек решетки внутри круга заданного радиуса с центром в начале координат. Это эквивалентно определению количества целых гауссовских чисел с нормой меньше заданного значения.

Существуют также гипотезы и нерешенные проблемы относительно простых гауссовых чисел. Два из них:

Действительные и мнимые оси имеют бесконечное множество простых чисел Гаусса 3, 7, 11, 19,... и их ассоциированных чисел. Существуют ли еще прямые, на которых имеется бесконечное количество простых гауссовских чисел? В частности, существует ли бесконечно много гауссовских простых чисел вида $1 + ki$ ? ^[7]
Можно ли дойти до бесконечности, используя простые числа Гаусса в качестве трамплинов и совершая шаги равномерно ограниченной длины? Это известно как проблема Гауссова рва ; она была поставлена в 1962 году Бэзилом Гордоном и остается нерешенной. ^[8]^[9]

См. также

Алгебраическое целое число
Циклотомное поле
целое число Эйзенштейна
Айронстоун прайм
Кватернион Гурвица
Доказательства теоремы Ферма о суммах двух квадратов
Доказательства квадратичной взаимности
Квадратичное целое число
Расщепление простых идеалов в расширениях Галуа описывает структуру простых идеалов в гауссовских целых числах.
Таблица гауссовских целочисленных факторизаций

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б Фрели (1976 , стр. 286)
^ Фрэли (1976 , стр. 289)
^ Фрэли (1976 , стр. 288)
^ Фрэли (1976 , стр. 287)
^ Гаусс (1831 , стр. 546)
^ Меньший (1998)
^ Рибенбойм, Ch.III.4.D Ch. 6.II, гл. 6.IV (гипотеза Харди и Литтлвуда E и F)
^ Гетнер, Эллен; Вагон, Стэн ; Вик, Брайан (1998). «Прогулка по простым числам Гаусса». Американский математический ежемесячник . 105 (4): 327–337. дои : 10.2307/2589708 . JSTOR 2589708 . МР 1614871 . Збл 0946.11002 .
^ Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Спрингер-Верлаг . стр. 55–57. ISBN 978-0-387-20860-2 . Збл 1058.11001 .

Ссылки

Гаусс, CF (1831), «Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda». , Комм. Соц. Рег. Геттинген , 7 : 89–148 ; перепечатано в Works, Georg Olms Verlag, Хильдесхайм, 1973, стр. 93–148. Немецкий перевод этой статьи доступен в Интернете по адресу ″H. Мазер (ред.): Арифметические исследования Карла Фридриха Гаусса в области высшей арифметики. Шпрингер, Берлин, 1889 г., стр. 534».
Фрэли, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN 0-201-01984-1
Кляйнер, Израиль (1998). «От чисел к кольцам: ранняя история теории колец» . Элем. Математика . 53 (1): 18–35. дои : 10.1007/s000170050029 . Збл 0908.16001 .
Рибенбойм, Пауло (1996). Новая книга рекордов простых чисел (3-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-94457-5 . Збл 0856.11001 .
Генри Дж. Бейкер (1993). «Комплексные гауссовы целые числа для «гауссовой графики» ». Уведомления ACM SIGPLAN . 28 (11): 22–27. дои : 10.1145/165564.165571 . S2CID 8083226 .

Внешние ссылки

Текст сборника IMO по квадратичным расширениям и гауссовым целым числам в решении задач
Кейт Конрад, Гауссовы целые числа .

[Fraleigh_1976_286-1] Jump up to: ^а ^б Фрели (1976 , стр. 286)

[2] Фрэли (1976 , стр. 289)

[3] Фрэли (1976 , стр. 288)

[4] Фрэли (1976 , стр. 287)

[5] Гаусс (1831 , стр. 546)

[6] Меньший (1998)

[7] Рибенбойм, Ch.III.4.D Ch. 6.II, гл. 6.IV (гипотеза Харди и Литтлвуда E и F)

[8] Гетнер, Эллен; Вагон, Стэн ; Вик, Брайан (1998). «Прогулка по простым числам Гаусса». Американский математический ежемесячник . 105 (4): 327–337. дои : 10.2307/2589708 . JSTOR 2589708 . МР 1614871 . Збл 0946.11002 .

[9] Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Спрингер-Верлаг . стр. 55–57. ISBN 978-0-387-20860-2 . Збл 1058.11001 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

v т и Классы простых чисел
By formula	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Double Mersenne ( $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Factorial ( $n! \pm 1$ ) Primorial ( $p n # \pm 1$ ) Euclid ( $p n # + 1$ ) Pythagorean ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 m \cdot3 n + 1$ ) Quartan ( $x 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 m \pm 2 n \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $x 3 - y 3)/(x - y$ ) Leyland ( $x y + y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) Williams ( $(b -1)\cdot b n - 1$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
By integer sequence	Fibonacci Lucas Pell Newman–Shanks–Williams Perrin
By property	Wieferich (pair) Wall–Sun–Sun Wolstenholme Wilson Lucky Fortunate Ramanujan Pillai Regular Strong Stern Supersingular (elliptic curve) Supersingular (moonshine theory) Good Super Higgs Highly cototient Unique
Base-dependent	Palindromic Emirp Repunit $(10 n - 1)/9$ Permutable Circular Truncatable Minimal Delicate Primeval Full reptend Unique Happy Self Smarandache–Wellin Strobogrammatic Dihedral Tetradic
Patterns	Twin ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ) Triplet ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ) Quadruplet ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k-tuple Cousin ( $p, p + 4$ ) Sexy ( $p, p + 6$ ) Chen Sophie Germain/Safe ( $p, 2 p + 1$ ) Cunningham ( $p, 2 p \pm 1, 4 p \pm 3, 8 p \pm 7, ...$ ) Arithmetic progression ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Balanced ( $consecutive p - n, p, p + n$ )
By size	Mega (1,000,000+ digits) Largest known list
Complex numbers	Eisenstein prime Gaussian prime
Composite numbers	Pseudoprime Catalan Elliptic Euler Euler–Jacobi Fermat Frobenius Lucas Perrin Somer–Lucas Strong Carmichael number Almost prime Semiprime Sphenic number Interprime Pernicious
Related topics	Probable prime Industrial-grade prime Illegal prime Formula for primes Prime gap
First 60 primes	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
List of prime numbers