Расщепление простых идеалов в расширениях Галуа
В математике взаимодействие между группой Галуа G L расширения Галуа числового поля K и тем, как простые идеалы P кольца целых чисел разлагаются OK на множители как произведения простых идеалов поля , OL дает один из самых богатых примеров. части алгебраической теории чисел . Расщепление простых идеалов в расширениях Галуа иногда приписывают Давиду Гильберту , называя это теорией Гильберта . Существует геометрический аналог для разветвленных накрытий римановых поверхностей только один вид подгруппы G , который проще в том смысле, что нужно рассматривать , а не два. Это, конечно, было знакомо и до Гильберта.
Определения
[ редактировать ]Пусть L / K — конечное расширение числовых полей, и пусть O и L — соответствующее кольцо целых чисел K L и Z соответственно, которые определяются как интегральное замыкание целых чисел OK в рассматриваемом поле.
Наконец, пусть p — ненулевой простой идеал в или OK , что то же самое, максимальный идеал , так что вычет O K / p является полем .
Из основной теории одномерных колец следует существование единственного разложения
идеала pOL , порожденного в OL в посредством p, произведение различных максимальных Pj идеалов с ej кратностями .
Поле F = O K / p естественным образом вкладывается в F j = O L / P j для каждого j , степень f j = [ O L / P j : O K / p ] этого расширения поля вычетов называется степенью инерции поля вычетов . Pj над p .
Кратность ej называется ветвления индексом Pj p над . оно больше 1 Если для некоторого j , расширение поля L / K называется разветвленным в точке p (или мы говорим, что p разветвляется в L или что оно разветвлено в L ). В противном случае L / K называется неразветвленным в точке p . Если это так, то по теореме об остатках фактор O L / pOL китайской является произведением полей F j . Расширение L / K разветвлено ровно на те простые числа, которые делят относительный дискриминант , следовательно, расширение неразветвлено во всех простых идеалах, кроме конечного числа.
Мультипликативность идеальной нормы предполагает
Если f j = e j = 1 для каждого j (и, следовательно, g [ L : K ]), мы говорим, что p полностью распадается в L. = Если g = 1 и f 1 = 1 (и, следовательно, e 1 = [ L : K ]), мы говорим, что p полностью разветвляется в L . Наконец, если g и e1 что = 1 (и, следовательно, [ = L : K ] ), мы говорим, p инертен = 1 в L. f1
Ситуация с Галуа
[ редактировать ]В дальнейшем расширение L / K предполагается как расширение Галуа . Тогда лемму о простом избегании можно использовать, чтобы показать группу Галуа. действует на Pj . транзитивно То есть простые идеальные факторы в L образуют одну орбиту при автоморфизмах L над p K . Из этого и из единственной теоремы факторизации следует, что f = f j и e = e j не зависят от j ; то, чего, конечно, не должно быть в случае расширений, не являющихся Галуа. Основные отношения тогда читаются
- .
и
Соотношение выше показывает, что [ L : K ]/ ef равно числу g простых множителей числа p в O L . По формуле стабилизатора орбиты это число также равно | Г |/| Д П Дж | для каждого j , где D P j , разложения группа P j , является подгруппой элементов G, отправляющих данный P j самому себе. Поскольку степень L / K и порядок G равны согласно основной теории Галуа, отсюда следует, что порядок группы разложения D P j равен ef для каждого j .
Эта группа разложения содержит подгруппу I P j , называемую инерции группой P j , состоящую из автоморфизмов L / K , которые индуцируют тождественный автоморфизм на F j . Другими словами, I P j — ядро отображения приведения . Можно показать, что это отображение сюръективно, и отсюда следует, что изоморфен DP j , а / I P j порядок группы инерции I P j равен e .
Теория элемента Фробениуса идет дальше и идентифицирует элемент DP j который соответствует автоморфизму Фробениуса в / IP j j для данного , группе Галуа конечного расширения поля F j / F . В неразветвленном случае порядок DP j тривиален, поэтому равен f , а I P j элемент Фробениуса в этом случае является элементом DP и, следовательно, также j элементом G . При изменении j группы D P j являются сопряженными подгруппами внутри G : Вспоминая, что G действует транзитивно на P j , проверяют, что если отображает Pj в Pj ' , . Следовательно, если G — абелева группа, элемент Фробениуса неразветвленного простого числа P не зависит от того, какой P j мы возьмем. Более того, в абелевом случае сопоставление неразветвленного простого числа K с его Фробениусом и мультипликативное расширение определяет гомоморфизм из группы неразветвленных идеалов K в G . Это отображение, известное как отображение Артина , является важнейшим компонентом теории полей классов , которая изучает конечные абелевы расширения заданного числового K. поля [1]
В геометрическом аналоге для комплексных многообразий или алгебраической геометрии над алгебраически замкнутым полем понятия группы разложения и группы инерции совпадают. Там, учитывая разветвленное накрытие Галуа, все точки, кроме конечного числа, имеют одинаковое количество прообразов .
Расщепление простых чисел в расширениях, не являющихся Галуа, можно изучать, первоначально используя поле расщепления , то есть расширение Галуа, которое несколько больше. Например, кубические поля обычно «регулируются» содержащим их полем шестой степени.
Пример — целые числа Гаусса
[ редактировать ]В этом разделе описывается расщепление простых идеалов в расширении поля Q (i)/ Q . То есть мы берем K = Q и L = Q (i), поэтому OK — это просто Z , а O L = Z [i] — кольцо гауссовских целых чисел . Хотя этот случай далеко не репрезентативен — в конце концов, Z [i] имеет уникальную факторизацию , а квадратичных полей с уникальной факторизацией не так много — он демонстрирует многие особенности теории.
Записывая G для группы Галуа Q (i)/ Q и σ для автоморфизма комплексного сопряжения в G , необходимо рассмотреть три случая.
Простое число p = 2
[ редактировать ]Простое число 2 числа Z разветвляется в Z [i]:
Поэтому индекс ветвления здесь e = 2. Поле вычетов имеет вид
которое представляет собой конечное поле с двумя элементами. Группа разложения должна быть равна всему G , поскольку существует только одно простое число Z [i] выше 2. Группа инерции также представляет собой все G , поскольку
для любых целых чисел a и b , как .
Фактически, 2 — единственное простое число, которое разветвляется в Z i], поскольку каждое разветвляющееся простое число должно делить дискриминант Z [ [i], который равен −4.
Простые числа p ≡ 1 по модулю 4
[ редактировать ]Любое простое число p ≡ 1 mod 4 распадается на два различных простых идеала в Z [i]; это проявление теоремы Ферма о суммах двух квадратов . Например:
Группами разложения в этом случае являются тривиальная группа {1}; действительно, автоморфизм σ меняет местами два простых числа (2 + 3i) и (2 - 3i), поэтому он не может находиться в группе разложения ни одного простого числа. Группа инерции, являющаяся подгруппой группы разложения, также является тривиальной группой. Имеется два поля вычетов, по одному для каждого простого числа.
оба изоморфны конечному полю из 13 элементов. Элемент Фробениуса — это тривиальный автоморфизм; это означает, что
для любых целых чисел a и b .
Простые числа p ≡ 3 по модулю 4
[ редактировать ]Любое простое число p ≡ 3 mod 4 остаётся инертным в Z [ ]; то есть он не расщепляется. Например, (7) остается простым в Z [ ]. В этой ситуации группа разложения вся состоит из G , опять же потому, что существует только один простой множитель. Однако эта ситуация отличается от случая p = 2, поскольку теперь σ не действует тривиально на поле вычетов
которое представляет собой конечное поле с 7 2 = 49 элементов. Например, разница между и является , которое заведомо не делится на 7. Следовательно, группа инерции — это тривиальная группа {1}. Группа Галуа этого поля вычетов над подполем Z /7 Z имеет порядок 2 и порождается образом элемента Фробениуса. Элемент Фробениуса — это не что иное, как σ; это означает, что
для любых целых чисел a и b .
Краткое содержание
[ редактировать ]Премьер в Z | Как оно распадается на Z [i] | Инерционная группа | Группа разложения |
---|---|---|---|
2 | Разветвляется с индексом 2 | Г | Г |
р ≡ 1 против 4 | Разделяется на два отдельных фактора | 1 | 1 |
р ≡ 3 против 4 | Остается инертным | 1 | Г |
Вычисление факторизации
[ редактировать ]Предположим, что мы хотим определить факторизацию простого идеала из OK в P простые числа OL из . Следующая процедура (Нойкирх, стр. 47) во многих случаях решает эту проблему. Стратегия состоит в том, чтобы выбрать целое число θ в O L так, чтобы L генерировалось над K с помощью θ (существование такого θ гарантировано согласно теореме о примитивном элементе ), а затем изучить минимальный полином H ( X ) от θ над K. ; это монический многочлен с коэффициентами OK из . Уменьшая коэффициенты H ( X ) по модулю P получаем унитарный полином h ( X ) с коэффициентами из F , (конечного) поля вычетов OK P / , мы . Предположим, что h ( X ) факторизуется в кольце полиномов F [ X ] как
где h j — различные монические неприводимые многочлены в F [ X ]. Тогда, пока P не является одним из конечного числа исключительных простых чисел (точное условие описано ниже), факторизация P имеет следующий вид:
где Q j — различные простые OL идеалы . Более того, степень инерции каждого Q j равна степени соответствующего многочлена h j существует явная формула , и для Q j :
где h j обозначает здесь подъем многочлена h j до K [ X ].
В случае Галуа все степени инерции равны, и все индексы ветвления e 1 = ... = en равны .
Исключительные простые числа, для которых не обязательно справедлив приведенный выше результат, — это те, которые не являются взаимно простыми с проводником кольца O K [θ]. Проводник определяется как идеальный
насколько порядок OK он измеряет , [θ] далек от всего кольца целых чисел (максимальный порядок) O L .
Существенное предостережение заключается в том, что существуют примеры L / K и P, при которых не существует доступного θ, удовлетворяющего вышеуказанным гипотезам (см., например, [2] ). Следовательно, приведенный выше алгоритм не может быть использован для факторизации таких P , и необходимо использовать более сложные подходы, такие как описанный в . [3]
Пример
[ редактировать ]Рассмотрим еще раз случай гауссовских целых чисел. Мы принимаем θ за мнимую единицу , с минимальным полиномом H ( X ) = X 2 + 1. Так как Z [ ] — все кольцо целых чисел Q ( ), проводник является единичным идеалом, поэтому исключительных простых чисел нет.
Для P = (2) нам нужно работать в поле Z /(2) Z , что сводится к факторизации многочлена X 2 + 1 модуль 2:
Следовательно, существует только один простой множитель со степенью инерции 1 и индексом ветвления 2, и он определяется выражением
Следующий случай — P = ( p ) для простого числа p ≡ 3 mod 4. Для конкретности возьмем P = (7). Полином X 2 + 1 неприводим по модулю 7. Следовательно, существует только один простой множитель со степенью инерции 2 и индексом ветвления 1, и он определяется выражением
Последний случай — P = ( p ) для простого числа p ≡ 1 mod 4; мы снова возьмем P = (13). На этот раз у нас есть факторизация
Следовательно, существует два простых фактора, оба со степенью инерции и индексом ветвления 1. Они имеют вид
и
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Милн, Дж. С. (2020). Теория поля классов.
- ^ Штейн, Уильям А. (2002). «Основные дискриминантные делители» . Факторизация простых чисел в кольцах целых чисел .
- ^ Штейн 2002 , Метод, который всегда работает.
Внешние ссылки
[ редактировать ]- «Разделение и ветвление в числовых полях и расширениях Галуа» . ПланетаМатематика .
- Стейн, Уильям (2004), Краткое введение в классическую и адельную алгебраическую теорию чисел.
- Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Основные принципы математических наук . Том 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8 . МР 1697859 . Збл 0956.11021 .