Гауссов ров
В теории чисел рва проблема гауссова спрашивает, можно ли найти бесконечную последовательность различных гауссовых простых чисел, такую, что разница между последовательными числами в этой последовательности ограничена. Более красочно, если представить себе, что простые числа Гаусса являются ступеньками в море комплексных чисел , возникает вопрос, можно ли пройти от начала координат до бесконечности шагами ограниченного размера, не намокнув. Проблема была впервые поставлена в 1962 году Бэзилом Гордоном (хотя иногда ее ошибочно приписывали Полу Эрдешу ) и остается нерешенной. [1]
С обычными простыми числами такая последовательность невозможна: из теоремы о простых числах имеются сколь угодно большие пробелы следует, что в последовательности простых чисел , а также существует элементарное прямое доказательство: для любого n чисел n − 1 последовательных n ! + 2, н ! + 3, ..., н ! + n все составные. [1]
Проблема поиска пути между двумя гауссовскими простыми числами, который минимизирует максимальный размер прыжка, является примером проблемы минимаксного пути , а размер прыжка оптимального пути равен ширине самого широкого рва между двумя простыми числами, где ров может быть определен путем разделения простых чисел на два подмножества, а его ширина — это расстояние между ближайшей парой, содержащей по одному элементу в каждом подмножестве. Таким образом, проблему гауссовского рва можно сформулировать в другой, но эквивалентной форме: существует ли конечная граница ширины рвов, имеющих конечное число простых чисел на стороне начала координат? [1]
Компьютерные поиски показали, что начало координат отделено от бесконечности рвом шириной 6. [2] Известно, что для любого положительного числа k существуют гауссовы простые числа, ближайший сосед которых находится на расстоянии k или больше. Фактически, эти числа могут быть ограничены тем, чтобы они находились на действительной оси. Например, число 20785207 окружено рвом шириной 17. Таким образом, определенно существуют рвы сколь угодно большой ширины, но эти рвы не обязательно отделяют начало координат от бесконечности. [1]
Ссылки
[ редактировать ]- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д Гетнер, Эллен; Вагон, Стэн ; Уик, Брайан (1998), «Прогулка по простым числам Гаусса», The American Mathematical Monthly , 105 (4): 327–337, doi : 10.2307/2589708 , JSTOR 2589708 , MR 1614871 , Zbl 0946.11002
- ^ Цучимура, Нобуюки (2005), «Результаты вычислений для задачи гауссова рва», IEICE Transactions on Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Sciences , 88 (5): 1267–1273, Bibcode : 2005IEITF..88.1267T , doi : 10.1093/ietfec /e88-a.5.1267 .
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Гай, Ричард К. (2004), Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer-Verlag , стр. 55–57, ISBN 978-0-387-20860-2 , Збл 1058.11001