Jump to content

Гауссов ров

Нерешенная задача по математике :
Можно ли в комплексной плоскости «идти до бесконечности» в гауссовских целых числах, используя гауссовы простые числа в качестве ступенек и делая шаги ограниченной длины?
Гауссовы простые числа с действительной и мнимой частью не более семи, показывающие части гауссовского рва шириной два, отделяющего начало координат от бесконечности.

В теории чисел рва проблема гауссова спрашивает, можно ли найти бесконечную последовательность различных гауссовых простых чисел, такую, что разница между последовательными числами в этой последовательности ограничена. Более красочно, если представить себе, что простые числа Гаусса являются ступеньками в море комплексных чисел , возникает вопрос, можно ли пройти от начала координат до бесконечности шагами ограниченного размера, не намокнув. Проблема была впервые поставлена ​​в 1962 году Бэзилом Гордоном (хотя иногда ее ошибочно приписывали Полу Эрдешу ) и остается нерешенной. [1]

С обычными простыми числами такая последовательность невозможна: из теоремы о простых числах имеются сколь угодно большие пробелы следует, что в последовательности простых чисел , а также существует элементарное прямое доказательство: для любого n чисел n − 1 последовательных n ! + 2, н ! + 3, ..., н ! + n все составные. [1]

Проблема поиска пути между двумя гауссовскими простыми числами, который минимизирует максимальный размер прыжка, является примером проблемы минимаксного пути , а размер прыжка оптимального пути равен ширине самого широкого рва между двумя простыми числами, где ров может быть определен путем разделения простых чисел на два подмножества, а его ширина — это расстояние между ближайшей парой, содержащей по одному элементу в каждом подмножестве. Таким образом, проблему гауссовского рва можно сформулировать в другой, но эквивалентной форме: существует ли конечная граница ширины рвов, имеющих конечное число простых чисел на стороне начала координат? [1]

Компьютерные поиски показали, что начало координат отделено от бесконечности рвом шириной 6. [2] Известно, что для любого положительного числа k существуют гауссовы простые числа, ближайший сосед которых находится на расстоянии k или больше. Фактически, эти числа могут быть ограничены тем, чтобы они находились на действительной оси. Например, число 20785207 окружено рвом шириной 17. Таким образом, определенно существуют рвы сколь угодно большой ширины, но эти рвы не обязательно отделяют начало координат от бесконечности. [1]

  1. Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д Гетнер, Эллен; Вагон, Стэн ; Уик, Брайан (1998), «Прогулка по простым числам Гаусса», The American Mathematical Monthly , 105 (4): 327–337, doi : 10.2307/2589708 , JSTOR   2589708 , MR   1614871 , Zbl   0946.11002
  2. ^ Цучимура, Нобуюки (2005), «Результаты вычислений для задачи гауссова рва», IEICE Transactions on Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Sciences , 88 (5): 1267–1273, Bibcode : 2005IEITF..88.1267T , doi : 10.1093/ietfec /e88-a.5.1267 .

Дальнейшее чтение

[ редактировать ]
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: b1e0d4f0e89f92e4c76279fcc4972b14__1710735840
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/b1/14/b1e0d4f0e89f92e4c76279fcc4972b14.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Gaussian moat - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)