Доказательства квадратичной взаимности

В теории чисел закон квадратичной взаимности , как и теорема Пифагора , поддался необычайно большому числу доказательств . Опубликовано несколько сотен доказательств закона квадратичной взаимности.

Краткое содержание доказательства

Из элементарных комбинаторных доказательств есть два, в которых применяется тип двойного счета . Один Готтольда Эйзенштейна подсчитывает точки решетки . Другой применяет лемму Золотарева к $(\mathbb {Z} /pq\mathbb {Z} )^{\times }$, выраженное китайской теоремой об остатках как $(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }$ и вычисляет подпись перестановки . Самое короткое известное доказательство также использует упрощенную версию двойного счета, а именно двойной счет по модулю фиксированного простого числа.

Доказательство Эйзенштейна

Доказательство Эйзенштейна квадратичной взаимности является упрощением третьего доказательства Гаусса. Это более интуитивно понятно с геометрической точки зрения и требует меньше технических манипуляций.

Отправной точкой является «лемма Эйзенштейна», которая гласит, что для нечетного простого числа p и натурального числа a, не делящегося на p ,

$\left({\frac {a}{p}}\right)=(-1)^{\sum _{u}\left\lfloor au/p\right\rfloor },$

где $\left\lfloor x\right\rfloor$ обозначает функцию пола (наибольшее целое число, меньшее или равное x ), и где сумма берется по четным целым числам u = 2, 4, 6, ..., p −1. Например,

$\left({\frac {7}{11}}\right)=(-1)^{\left\lfloor 14/11\right\rfloor +\left\lfloor 28/11\right\rfloor +\left\lfloor 42/11\right\rfloor +\left\lfloor 56/11\right\rfloor +\left\lfloor 70/11\right\rfloor }=(-1)^{1+2+3+5+6}=(-1)^{17}=-1.$

Этот результат очень похож на лемму Гаусса и может быть доказан аналогичным образом (доказательство приведено ниже ).

Используя такое представление ( q / p ), основной аргумент весьма элегантен. Сумма ${\textstyle \sum _{u}\left\lfloor qu/p\right\rfloor }$ подсчитывает количество точек решетки с четной координатой x внутри треугольника ABC на следующей диаграмме:

Диаграмма точек решетки

Пример, показывающий точки решетки внутри ABC с четными координатами x для p = 11 и q = 7.

Поскольку каждый столбец имеет четное количество точек (а именно q -1 точек), количество таких точек решетки в области BCYX такое же по модулю 2, как и количество таких точек в области CZY:

Количество точек с четной координатой x внутри BCYX (отмечено знаком O) равно по модулю 2 количеству таких точек в CZY (отмечено знаком X).

Затем, перевернув диаграмму по обеим осям, мы видим, что количество точек с четной x -координатой внутри CZY такое же, как количество точек внутри AXY, имеющих нечетные x -координаты. Это можно обосновать математически, заметив, что $\textstyle q-1-\left\lfloor {\frac {2kq}{p}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {(p-2k)q}{p}}\right\rfloor$.

Количество точек с четной координатой x внутри CZY равно количеству точек с нечетной x внутри AXY. координатой

Вывод заключается в том, что

$\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\mu },$

где µ — общее количество точек решетки внутри AXY.

Меняя местами p и q , тот же аргумент показывает, что

$\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{\nu },$

где ν — количество точек решетки внутри WYA. Поскольку на самой прямой AY нет точек решетки (поскольку p и q ) взаимно просты , и поскольку общее количество точек в прямоугольнике WYXA равно

$\left({\frac {p-1}{2}}\right)\left({\frac {q-1}{2}}\right),$

мы получаем

$\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{\mu +\nu }=(-1)^{(p-1)(q-1)/4}.$

Доказательство леммы Эйзенштейна.

Для четного целого числа u в диапазоне 1 ≤ u ≤ p −1 обозначим через r ( u ) наименьший положительный остаток au по модулю p . (Например, для p = 11, a = 7 мы допускаем u = 2, 4, 6, 8, 10, а соответствующие значения r ( u ) равны 3, 6, 9, 1, 4.)

Числа (−1) ^{р ( ты )} r ( u ), которые снова рассматриваются как наименьшие положительные остатки по модулю p , все четные (в нашем текущем примере это 8, 6, 2, 10, 4). Более того, все они различны, потому что если (−1) ^{р ( ты )} р ( ты ) ≡ (−1) ^{р ( т )} r ( t ) (mod p ), то мы можем разделить на a, чтобы получить u ≡ ± t (mod p ). Это заставляет u ≡ t (mod p ), потому что и u, и t четные , тогда как p нечетный. Поскольку их ровно ( p −1)/2 и они различны, они должны быть просто перестановкой четных целых чисел 2, 4, ..., p −1. Перемножив их, получим

$(-1)^{r(2)}2a\cdot (-1)^{r(4)}4a\cdot \cdots \cdot (-1)^{r(p-1)}(p-1)a\equiv 2\cdot 4\cdot \cdots \cdot (p-1){\pmod {p}}.$

Разделив последовательно на 2, 4, ..., p −1 с обеих сторон (что допустимо, поскольку ни одна из них не делится на p ) и переставив, получим

$a^{(p-1)/2}\equiv (-1)^{r(2)+r(4)+\cdots +r(p-1)}{\pmod {p}}.$

С другой стороны, по определению r ( u ) и функции пола,

${\frac {au}{p}}=\left\lfloor {\frac {au}{p}}\right\rfloor +{\frac {r(u)}{p}},$

и поскольку p нечетно, а u четно,

$au=p\left\lfloor {\frac {au}{p}}\right\rfloor +r(u)$

подразумевает, что $\left\lfloor au/p\right\rfloor$ и r ( u ) конгруэнтны по модулю 2.

Наконец, это показывает, что

$a^{(p-1)/2}\equiv (-1)^{\sum _{u}\left\lfloor au/p\right\rfloor }{\pmod {p}}.$

Мы закончили, потому что левая часть — это просто альтернативное выражение для ( a / p ) согласно критерию Эйлера .

Дополнение к лемме

По сути, эта лемма утверждает, что количество наименьших нечетных остатков после удвоения дает значение ( q / p ). Это легко следует из леммы Гаусса.

Также, $qu=p\left\lfloor {\frac {qu}{p}}\right\rfloor +r(u)$ подразумевает, что $\left\lfloor qu/p\right\rfloor$ и r ( u ) либо конгруэнтны по модулю 2, либо неконгруэнтны, в зависимости исключительно от четности u .

Это означает, что остатки $1,2,\dots ,{\frac {p-1}{2}}$ (не)конгруэнтны $\left\lfloor qu/p\right\rfloor$, и так

$(-1)^{\frac {p-1}{2}}\equiv (-1)^{\sum _{u}\left\lfloor qu/p\right\rfloor }\equiv (-1)^{\sum _{u}r(u)+u}$

где $\textstyle 1\leq u\leq {\frac {p-1}{2}}$.

Например, используя предыдущий пример $p=7,q=11$, остатки $7,3,10,6,2$ и функция пола дает $0,1,1,2,3$. Образец соответствия – это $1,0,1,0,1$.

Доказательство с использованием квадратичных сумм Гаусса.

Доказательство квадратичной взаимности с использованием сумм Гаусса является одним из наиболее распространенных и классических доказательств. Эти доказательства основаны на сравнении вычислений отдельных значений двумя разными способами: один с использованием критерия Эйлера , а другой с использованием биномиальной теоремы . В качестве примера использования критерия Эйлера мы можем использовать его для быстрого доказательства первого дополнительного случая определения ${\textstyle \left({\frac {-1}{p}}\right)}$ для нечетного простого числа p : по критерию Эйлера ${\textstyle \left({\frac {-1}{p}}\right)\equiv (-1)^{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}}$ , но поскольку обе части эквивалентности равны ±1, а p нечетно, мы можем сделать вывод, что ${\textstyle \left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}}$.

Второй дополнительный случай

Позволять ${\textstyle \zeta _{8}=e^{2\pi i/8}}$, примитивный корень восьмой степени из единицы и множества ${\textstyle \tau =\zeta _{8}+\zeta _{8}^{-1}}$. С ${\textstyle \zeta _{8}^{2}=i}$ и ${\textstyle \zeta _{8}^{-2}=-i}$ мы видим это ${\textstyle \tau ^{2}=2}$. Потому что $\tau$ — целое алгебраическое число, если p — нечетное простое число, имеет смысл говорить о нем по модулю p . (Формально мы рассматриваем коммутативное кольцо, образованное факторизацией целых алгебраических чисел $\mathbf {A}$ с идеалом, порожденным p . Потому что $p^{-1}$ не является целым алгебраическим числом, 1, 2, ..., p — различные элементы ${\mathbf {A} }/p{\mathbf {A} }$.) Используя критерий Эйлера, следует, что $$\tau ^{p-1}=(\tau ^{2})^{\frac {p-1}{2}}=2^{\frac {p-1}{2}}\equiv \left({\frac {2}{p}}\right){\pmod {p}}$$Тогда мы можем сказать, что $$\tau ^{p}\equiv \left({\frac {2}{p}}\right)\tau {\pmod {p}}$$Но мы также можем вычислить ${\textstyle \tau ^{p}{\pmod {p}}}$ используя биномиальную теорему. Поскольку все перекрестные члены биномиального разложения содержат множители p , мы находим, что ${\textstyle \tau ^{p}\equiv \zeta _{8}^{p}+\zeta _{8}^{-p}{\pmod {p}}}$. Мы можем оценить это более точно, разбив это на два случая.

• ${\textstyle p\equiv \pm 1{\pmod {8}}\Rightarrow \zeta _{8}^{p}+\zeta _{8}^{-p}=\zeta _{8}+\zeta _{8}^{-1}}$.
• ${\textstyle p\equiv \pm 3{\pmod {8}}\Rightarrow \zeta _{8}^{p}+\zeta _{8}^{-p}=-\zeta _{8}-\zeta _{8}^{-1}}$.

Это единственные варианты простого числа по модулю 8, и оба этих случая можно вычислить, используя экспоненциальную форму. ${\textstyle \zeta _{8}=e^{\frac {2\pi i}{8}}}$. Мы можем кратко записать это для всех нечетных простых чисел p как $$\tau ^{p}\equiv (-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}\tau {\pmod {p}}$$Объединив эти два выражения для ${\textstyle \tau ^{p}{\pmod {p}}}$ и умножив на $\tau$ мы находим это ${\textstyle 2\cdot \left({\frac {2}{p}}\right)\equiv 2\cdot (-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}{\pmod {p}}}$. Поскольку оба ${\textstyle \left({\frac {2}{p}}\right)}$ и $(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}$ равны ±1, а 2 обратимо по модулю p , мы можем заключить, что $$\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}$$

Общий случай

Идея общего доказательства следует приведенному выше дополнительному случаю: найти целое алгебраическое число, которое каким-то образом кодирует символы Лежандра для p , затем найти связь между символами Лежандра, вычислив q -ю степень этого целого алгебраического модуля по модулю q двумя разными способами: один используя критерий Эйлера, другой - используя биномиальную теорему.

Позволять $$g_{p}=\sum _{k=1}^{p-1}\left({\frac {k}{p}}\right)\zeta _{p}^{k}$$где $\zeta _{p}=e^{2\pi i/p}$ является примитивным корнем p-й степени из единицы. Это квадратичная сумма Гаусса . Фундаментальное свойство этих сумм Гаусса состоит в том, что $$g_{p}^{2}=p^{*}$$где ${\textstyle p^{*}=\left({\frac {-1}{p}}\right)p}$. Если рассматривать это в контексте следующего доказательства, отдельные элементы суммы Гаусса находятся в круговом поле. $L=\mathbb {Q} (\zeta _{p})$ но приведенная выше формула показывает, что сама сумма является генератором единственного квадратичного поля, содержащегося в L . Опять же, поскольку квадратичная сумма Гаусса является целым алгебраическим числом, мы можем использовать с ней модульную арифметику. Используя эту фундаментальную формулу и критерий Эйлера, мы находим, что $$g_{p}^{q-1}=(g_{p}^{2})^{\frac {q-1}{2}}=(p^{*})^{\frac {q-1}{2}}\equiv \left({\frac {p^{*}}{q}}\right){\pmod {q}}$$Поэтому $$g_{p}^{q}\equiv \left({\frac {p^{*}}{q}}\right)g_{p}{\pmod {q}}$$Используя биномиальную теорему, мы также находим, что ${\textstyle g_{p}^{q}\equiv \sum _{k=1}^{p-1}\left({\frac {k}{p}}\right)\zeta _{p}^{qk}{\pmod {q}}}$, Если мы позволим a быть мультипликативным обратным числом $q{\pmod {p}}$, то мы можем переписать эту сумму как ${\textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)\sum _{t=1}^{p-1}\left({\frac {t}{p}}\right)\zeta _{p}^{t}}$ используя замену $t=qk$, что не влияет на диапазон суммы. С ${\textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {q}{p}}\right)}$, мы можем тогда написать $$g_{p}^{q}\equiv \left({\frac {q}{p}}\right)g_{p}{\pmod {q}}$$Используя эти два выражения для ${\textstyle g_{p}^{q}{\pmod {q}}}$, и умножив на $g_{p}$ дает $$\left({\frac {q}{p}}\right)p^{*}\equiv \left({\frac {p^{*}}{q}}\right)p^{*}{\pmod {q}}$$С $p^{*}$ обратима по модулю q , а символы Лежандра равны ±1, тогда мы можем заключить, что $$\left({\frac {q}{p}}\right)=\left({\frac {p^{*}}{q}}\right)$$

Доказательство с использованием теории алгебраических чисел.

Представленное здесь доказательство ни в коем случае не является самым простым из известных; однако оно довольно глубокое в том смысле, что оно мотивирует некоторые идеи взаимности Артина .

Установка циклотомного поля

Предположим, что p — нечетное простое число. Действие происходит внутри кругового поля. $L=\mathbb {Q} (\zeta _{p}),$где ζ _p — примитивный p ^й корень единства . Основная теория круговых полей сообщает нам, что существует канонический изоморфизм

$G=\operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )\cong (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }$

автоморфизм σ _{удовлетворяет} что приводит к тому, что $\sigma _{a}(\zeta _{p})=\zeta _{p}^{a}$ к элементу $a\in (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }.$ В частности, этот изоморфизм инъективен, поскольку мультипликативная группа поля является циклической группой: $F^{\times }\cong C_{p-1}$.

рассмотрим подгруппу H квадратов Теперь элементов G . Поскольку G циклическая, H имеет индекс 2 в G , поэтому подполе, соответствующее H при соответствии Галуа, должно квадратичным расширением Q. быть (На самом деле это единственное квадратичное расширение Q , содержащееся в L .) Теория гауссовского периода определяет, какое из них; оказывается, это $\mathbb {Q} ({\sqrt {p^{*}}})$, где

$p^{*}=\left\{{\begin{array}{rl}p&{\text{if }}p\equiv 1{\pmod {4}},\\-p&{\text{if }}p\equiv 3{\pmod {4}}.\end{array}}\right.$

На этом этапе мы начинаем видеть намек на квадратичную взаимность, возникающую в нашей схеме. С одной стороны, образ H в $(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }$ состоит именно из (ненулевых) квадратичных вычетов по модулю p . С другой стороны, H связано с попыткой извлечь квадратный корень из p (или, возможно, из − p ). Другими словами, если теперь q — простое число (отличное от p ), мы показали, что

$\left({\frac {q}{p}}\right)=1\quad \iff \quad \sigma _{q}\in H\quad \iff \quad \sigma _{q}{\mbox{ fixes }}\mathbb {Q} ({\sqrt {p^{*}}}).$

Автоморфизм Фробениуса

В кольце целых чисел ${\mathcal {O}}_{L}=\mathbb {Z} [\zeta _{p}]$, выберем любой неразветвленный простой идеал β, лежащий над q , и пусть $\phi \in \operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )$ — автоморфизм Фробениуса, ассоциированный с β; характерное свойство $\phi$ это что

$\phi (x)\equiv x^{q}\!\!\!{\pmod {\beta }}\ {\text{ for any }}x\in {\mathcal {O}}_{L}.$

(Существование такого элемента Фробениуса во многом зависит от аппарата алгебраической теории чисел.)

Ключевой факт о $\phi$ нам нужно, чтобы для любого подполя K поля L ,

$\phi \,{\mbox{ fixes }}K\quad \iff \quad q\,{\mbox{ splits completely in }}K.$

Действительно, пусть δ — любой идеал ОК _ниже β (а значит, и выше q ). Тогда, поскольку $\phi (x)\equiv x^{q}\!\!\!{\pmod {\delta }}$ для любого $x\in {\mathcal {O}}_{K}$, мы видим это $\phi \vert _{K}\in \operatorname {Gal} (K/\mathbb {Q} )$ является фробениусом для δ. Стандартный результат относительно $\phi$ заключается в том, что его порядок равен соответствующей степени инерции; то есть,

$\operatorname {ord} (\phi \vert _{K})=[O_{K}/\delta O_{K}:\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} ].$

Левая часть равна 1 тогда и только тогда, когда φ фиксирует K , а правая часть равна единице тогда и только тогда, когда q полностью распадается в K , так что мы закончили.

Теперь, поскольку п ^й корни из единицы различны по модулю β (т.е. многочлен X ^п − 1 сепарабельна в характеристике q ), необходимо иметь

$\phi (\zeta _{p})=\zeta _{p}^{q};$

то есть, $\phi$ совпадает с автоморфизмом σ _q, определенным ранее. Взяв K в качестве квадратичного поля, которое нас интересует, мы получаем эквивалентность

$\left({\frac {q}{p}}\right)=1\quad \iff \quad q\,{\mbox{ splits completely in }}\mathbb {Q} ({\sqrt {p^{*}}}).$

Завершение доказательства

Наконец, мы должны показать, что

$q\,{\mbox{ splits completely in }}\mathbb {Q} ({\sqrt {p^{*}}})\quad \iff \quad \left({\frac {p^{*}}{q}}\right)=1.$

Как только мы это сделаем, закон квадратичной взаимности сразу же перестанет действовать, поскольку

$\left({\frac {p^{*}}{q}}\right)=\left({\frac {p}{q}}\right)\ {\text{ for }}p\equiv 1\!\!\!{\pmod {4}},$

и

$\left({\frac {p^{*}}{q}}\right)=\left({\frac {-p}{q}}\right)=\left({\frac {-1}{q}}\right)\left({\frac {p}{q}}\right)={\begin{cases}+\left({\frac {p}{q}}\right)&{\mbox{if }}q\equiv 1{\pmod {4}},\\-\left({\frac {p}{q}}\right)&{\mbox{if }}q\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}$

для $p\equiv 3\!\!\!{\pmod {4}}$.

Чтобы доказать последнюю эквивалентность, предположим сначала, что $\left({\frac {p^{*}}{q}}\right)=1.$ В этом случае существует некоторое целое число x (не делящееся на q ) такое, что $x^{2}\equiv p^{*}{\pmod {q}},$ сказать $x^{2}-p^{*}=cq$ для некоторого целого числа c . Позволять $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {p^{*}}}),$ и рассмотреть идеал $(x-{\sqrt {p^{*}}},q)$ К. ​ ​Он, конечно, разделяет главный идеал ( q ). Оно не может быть равно ( q ), так как $x-{\sqrt {p^{*}}}$ не делится на q . Это не может быть единичный идеал, потому что тогда

$(x+{\sqrt {p^{*}}})=(x+{\sqrt {p^{*}}})(x-{\sqrt {p^{*}}},q)=(cq,q(x+{\sqrt {p^{*}}}))$

делится на q , что опять же невозможно. ( q ) должно распадаться в K. Следовательно ,

Обратно, предположим, что ( q ) распадается, и пусть β — простое число K выше q . Затем $(q)\subsetneq \beta ,$ поэтому мы можем выбрать некоторые

$a+b{\sqrt {p^{*}}}\in \beta \setminus (q),{\text{ where }}a,b\in \mathbb {Q} .$

Фактически, поскольку $p^{*}\equiv 1\!\!\!{\pmod {4}},$ элементарная теория квадратичных полей предполагает, что кольцо целых чисел K в точности $\mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {p^{*}}}}{2}}\right],$ поэтому знаменатели a и b в худшем случае равны 2. Поскольку q ≠ 2, мы можем безопасно умножить a и b на 2 и предположить, что $a+b{\sqrt {p^{*}}}\in \beta \setminus (q),$ где теперь a и b находятся в Z . В этом случае мы имеем

$(a+b{\sqrt {p^{*}}})(a-b{\sqrt {p^{*}}})=a^{2}-b^{2}p^{*}\in \beta \cap \mathbb {Z} =(q),$

так $q\mid a^{2}-b^{2}p^{*}.$ Однако q не может делить b , поскольку тогда q также делит a , что противоречит нашему выбору $a+b{\sqrt {p^{*}}}.$ Следовательно, мы можем разделить на b по модулю q , чтобы получить $p^{*}\equiv (ab^{-1})^{2}\!\!\!{\pmod {q}}$ по желанию.

Ссылки

В каждом учебнике по элементарной теории чисел (и немало по теории алгебраических чисел ) есть доказательство квадратичной взаимности. Особенно примечательны два:

Леммермейер (2000) имеет множество доказательств (некоторые в упражнениях) как квадратичных, так и высших законов взаимности, а также обсуждение их истории. Его огромная библиография включает литературные цитаты для 196 различных опубликованных доказательств.

Айрленд и Розен (1990) также имеют множество доказательств квадратичной взаимности (и множество упражнений), а также охватывают кубические и биквадратичные случаи. Упражнение 13.26 (стр. 202) говорит само за себя.

Подсчитайте количество доказательств квадратичного закона взаимности, приведенных до сих пор в этой книге, и придумайте еще одно.

• Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел , Тексты для аспирантов по математике, Vol. 84 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer , ISBN.  0-387-97329-Х
• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна , Монографии Springer по математике , Берлин: Springer , ISBN  3-540-66957-4
• Руссо, Г. (1991), «О квадратичном законе взаимности» , Журнал Австралийского математического общества, серия A , 51 , Cambridge University Press: 423–425, ISSN   1446-7887
• Вашингтон, Лоуренс К. (2012), Введение в циклотомные поля , Тексты для аспирантов по математике, том. 83 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer , ISBN.  978-1-4612-7346-2

Внешние ссылки

• Хронология и библиография доказательств квадратичного закона взаимности Ф. Леммермейера (332 доказательства)