Кольцо Нагата

В коммутативной алгебре кольцо N-1 представляет собой область целостности. $A$ которого интегральное замыкание в своем поле частных является конечно порожденным $A$- модуль . Оно называется японским кольцом (или кольцом N-2 ), если для любого конечного расширения $L$ своего поля частных $K$, интегральное замыкание $A$ в $L$ является конечно порожденным $A$-модуль (или, что то же самое, конечный $A$- алгебра ). Кольцо , называется универсально японским , если каждая конечно порожденная область целостности над ним японская, и называется кольцом Нагаты , названным в честь Масаеси Нагаты или псевдогеометрическим кольцом, если оно нётерово и универсально японское (или, что оказывается то же самое, если оно нётерово и все его факторы по простому идеалу являются N-2 кольцами). Кольцо называется геометрическим, если оно является локальным кольцом алгебраического многообразия или пополнением такого локального кольца. но эта концепция мало используется.

Примеры

Поля и кольца полиномов или степенных рядов от конечного числа неопределенных над полями являются примерами японских колец. Другим важным примером является нетерова целозамкнутая область (например, область Дедекинда ), имеющая совершенное поле частных . С другой стороны, область главных идеалов или даже кольцо дискретного нормирования не обязательно являются японскими.

Любое квазиотличное кольцо является кольцом Нагаты, поэтому, в частности, почти все нётеровы кольца, встречающиеся в алгебраической геометрии, являются кольцами Нагаты.Первый пример нетерова области, не являющейся кольцом Нагаты, был приведен Акизуки (1935) .

Вот пример кольца дискретной оценки, которое не является японским кольцом. Выберите простое $p$ бесконечной степени и расширение поля $K$ характеристики ​ $p$ поле $k$, такой, что $K^{p}\subseteq k$. Пусть кольцо дискретного нормирования $R$ быть кольцом формального степенного ряда над $K$ коэффициенты которого порождают конечное расширение $k$. Если $y$ какой-либо формальный степенной ряд не входит в $R$ затем кольцо $R[y]$ не является кольцом N-1 (его целое замыкание не является конечно порожденным модулем), поэтому $R$ это не японское кольцо.

Если $R$ является подкольцом кольца полиномов $k[x_{1},x_{2},...]$ в бесконечном числе генераторов, порожденных квадратами и кубами всех генераторов, и $S$ получается из $R$ путем присоединения обратных ко всем элементам, не входящим ни в один из идеалов, порожденных некоторыми $x_{n}$, затем $S$ - это одномерная нётерова область, которая не является кольцом N-1, другими словами, ее целое замыкание в своем поле частных не является конечно порожденным $S$-модуль. Также $S$ имеет особенность возврата в каждой замкнутой точке, поэтому множество особых точек не замкнуто.

Цитаты

Ссылки

• Акизуки, Ю. (1935), «Некоторые замечания о первичных областях целостности с теоремой о делителях цепи» , Труды Физико-математического общества Японии , 3-я серия, 17 : 327–336
• Босх, Гюнцер, Реммерт, Неархимедов анализ , Springer 1984, ISBN   0-387-12546-9
• Данилов, В.И. (2001) [1994], «геометрическое кольцо» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• А. Гротендик, Ж. Дьедонне, Элементы алгебраической геометрии , Гл. 0 _IV § 23, Опубл. Математика. IHÉS 20 (1964).
• Х. Мацумура, Коммутативная алгебра ISBN   0-8053-7026-9 , глава 12.
• Нагата, Масаёси Местные кольца. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, № 13 Interscience Publishers, подразделение John Wiley & Sons, Нью-Йорк-Лондон, 1962 г., переиздано RE Krieger Pub. Ко (1975) ISBN   0-88275-228-6

Внешние ссылки

• http://stacks.math.columbia.edu/tag/032E