Отличное кольцо

В коммутативной алгебре квазиотличное кольцо — это нетерово коммутативное кольцо , которое хорошо ведет себя относительно операции пополнения и называется превосходным кольцом, если оно также универсально цепенарно . Отличные кольца — один из ответов на проблему поиска естественного класса «хороших» колец, содержащего большинство колец, встречающихся в теории чисел и алгебраической геометрии . Одно время казалось, что класс нётеровых колец может быть ответом на эту проблему, но Масаёси Нагата и другие нашли несколько странных контрпримеров, показывающих, что в целом нётеровы кольца не обязательно должны вести себя хорошо: например, нормальное нётерово локальное кольцо должно не быть аналитически нормальным .

Класс отличных колец был определен Александром Гротендиком (1965) как кандидат на такой класс колец с хорошим поведением. что квазиотличные кольца Предполагается, проблема разрешения особенностей — это базовые кольца, для которых может быть решена ; Хиронака (1964) показал это в характеристике 0, но случай положительной характеристики (по состоянию на 2024 год) все еще остается серьезной открытой проблемой. По сути, все нетеровы кольца, которые естественным образом встречаются в алгебраической геометрии или теории чисел, превосходны; на самом деле довольно сложно построить несовершенные примеры нётеровых колец.

Определения

Определение отличного кольца достаточно сложное, поэтому напомним определения технических условий, которым оно удовлетворяет. Хотя список условий кажется длинным, на практике большинство колец превосходны, например, поля , полиномиальные кольца , полные нётеровы кольца, дедекиндовы области над характеристикой 0 (например, $\mathbb {Z}$ ), а также фактор- и локализационные кольца этих колец.

Названные определения

Кольцо $R$ содержащий поле $k$ называется геометрически регулярным над $k$ если для любого конечного расширения $K$ из $k$ кольцо $R\otimes _{k}K$ является регулярным .
Гомоморфизм из колец $R\to S$ называется регулярным, если оно плоское и для любого ${\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(R)$ волокно $S\otimes _{R}\kappa ({\mathfrak {p}})$ геометрически регулярна над полем вычетов $\kappa ({\mathfrak {p}})$ из ${\mathfrak {p}}$ .
Кольцо $R$ называется G-кольцом ^[1] (или кольцо Гротендика ), если оно нётерово и его формальные слои геометрически регулярны; это означает, что для любого ${\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(R)$ , карта местного кольца $R_{\mathfrak {p}}\to {\hat {R_{\mathfrak {p}}}}$ до своего завершения является регулярным в указанном выше смысле.

Наконец, кольцо J-2. ^[2] если любой конечный тип $R$ -алгебра $S$ J -1 , что означает регулярную подсхему ${\text{Reg}}({\text{Spec}}(S))\subset {\text{Spec}}(S)$ открыт.

Определение (квази)совершенства

Кольцо $R$ называется квазиотличным, если оно является G-кольцом и J-2 кольцом. Это называется отлично ^[3]^{стр. 214} если оно квазиотличное и универсально цепное . На практике почти все нётеровы кольца являются универсально цепными, поэтому между отличными и квазиотличными кольцами нет большой разницы.

Схема . называется превосходной или квазиотличной, если она имеет покрытие открытыми аффинными подсхемами с тем же свойством, откуда следует, что этим свойством обладает каждая открытая аффинная подсхема

Характеристики

Потому что отличное кольцо $R$ это G-образное кольцо, ^[1] оно нётерово по определению. Поскольку она универсально цепная, каждая максимальная цепочка простых идеалов имеет одинаковую длину. Это полезно для изучения теории размерности таких колец, поскольку их размерность может быть ограничена фиксированной максимальной цепью. На практике это означает бесконечномерные нётеровы кольца. ^[4] которые имеют индуктивное определение максимальных цепочек простых идеалов, дающих бесконечномерное кольцо, построить невозможно.

Схемы

Учитывая отличную схему $X$ и локально конечный морфизм типа $f:X'\to X$ , затем $X'$ отлично ^[3]^{стр. 217}.

Квази-совершенство

Любое квазиотличное кольцо является кольцом Нагаты .

Любое квазиотличное приведенное локальное кольцо аналитически приведено .

Любое квазиотличное нормальное локальное кольцо аналитически нормально .

Примеры

Отличные кольца

Большинство естественных коммутативных колец в теории чисел или алгебраической геометрии превосходны. В частности:

полные нётеровы локальные кольца, например все поля и кольцо $Zp Все$ целых $p$ -адических чисел , превосходны.
Все дедекиндовы области характеристики $0$ превосходны. В частности, кольцо $Z$ целых чисел превосходно. Дедекиндовы области над полями с характеристикой больше $0$ не обязательно должны быть превосходными.
Кольца сходящихся степенных рядов от конечного числа переменных над $R$ или $C$ превосходны.
Любая локализация отличного кольца превосходна.
Любая конечно порожденная алгебра над отличным кольцом превосходна. Сюда входят все полиномиальные алгебры $R[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{k})$ с $R$ отличный. Это означает, что большинство колец, рассматриваемых в алгебраической геометрии, превосходны.

Кольцо J-2, не являющееся G-кольцом.

Вот пример кольца дискретного нормирования $A$ размерности $1$ и характеристики $p > 0,$ которое является $J-2$ , но не $G$ -кольцом и поэтому не является квазиотличным. Если $k$ — любое поле характеристики $p$ с $[k : k п] = \infty$ и $A$ — кольцо степенного ряда $Σ a i x я$ такой, что $[к п (а 0, а 1, ...) : k п]$ конечно, то $формальные слои кольца A$ не все $геометрически регулярны, поэтому A$ не является $G$ -кольцом. Это $кольцо J-2$ , поскольку все нётеровы локальные кольца размерности не выше $1$ являются $кольцами J-2$ . Это также универсально цепная связь, поскольку это домен Дедекинда. Здесь $к п$ обозначает образ $k$ при морфизме Фробениуса $a \to a п$ .

G-кольцо, не являющееся кольцом J-2.

Вот пример кольца, которое является G-кольцом, но не кольцом J-2 и поэтому не является квазиотличным. Если $R$ — подкольцо кольца полиномов $k [x 1, x 2,...]$ в бесконечном числе образующих, порожденных квадратами и кубами всех образующих, и $S$ получается из $R$ присоединением обратных ко всем элементам, не входящим ни в один идеалов, порожденных некоторым $x n$ , то $S$ является 1-мерной нетеровой областью, которая не является $кольцом J-1$ , поскольку $S$ имеет особенность возврата в каждой замкнутой точке, поэтому множество особых точек не замкнуто, хотя и G-образное кольцо.Это кольцо также универсально цепенарно, поскольку его локализация в каждом простом идеале является фактором регулярного кольца.

Квазиотличное кольцо, которое не является превосходным

Пример Нагаты двумерного нетерова локального кольца, которое является цепным, но не универсально цепным, является G-кольцом, а также кольцом J-2, поскольку любое локальное G-кольцо является кольцом J-2 ( Мацумура 1980 , стр.88). , 260). Таким образом, это квазиотличное локальное кольцо цепной связи, но не превосходное.

Разрешение особенностей

Квазиотличные кольца тесно связаны с проблемой разрешения особенностей , и это, по-видимому, было мотивацией Гротендика. ^[3]^{стр. 218} для их определения. Гротендик (1965) заметил, что если возможно разрешить особенности всех полных целых локальных нётеровых колец, то возможно разрешить особенности всех приведенных квазиотличных колец. Хиронака (1964) доказал это для всех полных целых нётеровых локальных колец над полем характеристики 0, из чего следует его теорема о том, что все особенности превосходных схем над полем характеристики 0 могут быть разрешены. можно разрешить все особенности спектров всех целочисленных конечных алгебр, Обратно, если над нётеровым кольцом R то кольцо R квазипревосходно.

См. также

Разрешение особенностей

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б «Раздел 15.49 (07GG): G-образные кольца — проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 24 июля 2020 г.
^ «Раздел 15.46 (07P6): Единственное место — проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 24 июля 2020 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Гротендик, Александр (1965). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Вторая часть» . Публикации IHÉS по математике . 24 :5–231.
^ «Раздел 108.14 (02JC): Нётерово кольцо бесконечного измерения — проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 24 июля 2020 г.

Александр Гротендик , Жан Дьедонне , Элементы алгебраической геометрии IV Publications Mathématiques de l'IHÉS 24 (1965), раздел 7
В.И. Данилов (2001) [1994], «Отличное кольцо» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Хиронака, Хейсуке (1964). «Разрешение особенностей алгебраического многообразия над полем нулевой характеристики: I». Анналы математики . 79 (1): 109–203. дои : 10.2307/1970486 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1970486 .
Хиронака, Хейсуке (1964). «Разрешение особенностей алгебраического многообразия над полем нулевой характеристики: II». Анналы математики . 79 (2): 205–326. дои : 10.2307/1970547 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1970547 .
Мацумура, Хидеюки (1980). «Глава 13». Коммутативная алгебра . Ридинг, Массачусетс: Паб Benjamin/Cummings. компании ISBN 0-8053-7026-9 .

[stacks.math.columbia.edu-1] Перейти обратно: ^а ^б «Раздел 15.49 (07GG): G-образные кольца — проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 24 июля 2020 г.

[2] «Раздел 15.46 (07P6): Единственное место — проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 24 июля 2020 г.

[:0-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с Гротендик, Александр (1965). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Вторая часть» . Публикации IHÉS по математике . 24 :5–231.

[4] «Раздел 108.14 (02JC): Нётерово кольцо бесконечного измерения — проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 24 июля 2020 г.

[1]

[2]

[3]

[4]