Аналитически неразветвленное кольцо

В алгебре аналитически неразветвленное кольцо — это локальное кольцо которого пополнение приведено , (не имеет ненулевого нильпотента ).

Следующие кольца аналитически неразветвлены:

псевдогеометрическое приведенное кольцо.
отличное уменьшенное кольцо.

Шевалле (1945) показал, что каждое локальное кольцо алгебраического многообразия аналитически неразветвлено. Шмидт (1936) привел пример аналитически разветвленного приведенного локального кольца. Крулл показал, что каждое одномерное нормальное нётерово локальное кольцо аналитически неразветвлено; точнее, он показал, что одномерная нормальная нётерова локальная область аналитически неразветвлена тогда и только тогда, когда ее целостное замыкание является конечным модулем. ^{[ нужна ссылка ]} Это побудило Зариского (1948) задаться вопросом, всегда ли локальная нётерова область, целое замыкание которой является конечным модулем, аналитически неразветвлена. Однако Нагата (1955) привел пример двумерного нормального аналитически разветвленного нётерового локального кольца. Нагата также показал, что верна несколько более сильная версия вопроса Зарисского: если нормализация каждого конечного расширения данного нетерова локального кольца R является конечным модулем, то R аналитически неразветвлено.

Есть две классические теоремы Дэвида Риса ( 1961 ), которые характеризуют аналитически неразветвленные кольца. Первый гласит, что нётерово локальное кольцо ( R , m ) аналитически неразветвлено тогда и только тогда, когда существуют m -примарный идеал J и последовательность $n_{j}\to \infty$ такой, что ${\overline {J^{j}}}\subset J^{n_{j}}$ , где черта означает интегральное замыкание идеала . Второй говорит, что нетерова локальная область аналитически неразветвлена тогда и только тогда, когда для каждой конечно порожденной R -алгебры S, лежащей между R и полем частных K поля R , интегральное замыкание S в является K конечно порожденным модулем над С. Второе вытекает из первого.

Пример Нагаты

Пусть K ₀ — совершенное поле характеристики 2, такое как F ₂ .Пусть K равно K ₀ ({ un _, n v _n : ≥ 0 } ), где и _{неопределенны} v n _un .Пусть T — подкольцо кольца формальных степенных рядов K [[ x , y ]], порожденное K и K ² [[ x , y элемент Σ( un _x ]] и ^н+ в _н г ^н). Нагата доказывает, что T — нормальная локальная нётерова область, пополнение которой имеет ненулевые нильпотентные элементы, поэтому T аналитически разветвлена.

Ссылки

Шевалле, Клод (1945), «Пересечения алгебраических и алгеброидных многообразий», Trans. амер. Математика. Соц. , 57 : 1–85, doi : 10.1090/s0002-9947-1945-0012458-1 , JSTOR 1990167 , MR 0012458
Хунеке, Крейг; Суонсон, Ирена (2006), Интегральное замыкание идеалов, колец и модулей , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 336, Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-68860-4 , MR 2266432 , заархивировано из оригинала 15 ноября 2019 г. , получено 13 июля 2013 г.
Нагата, Масаеши (1955), «Пример нормального локального кольца, аналитически разветвленного» , Nagoya Math. Ж. , 9 : 111–113, МР 0073572
Рис, Д. (1961), «Заметки об аналитически неразветвленных локальных кольцах», J. London Math. Соц. , 36 : 24–28, МР 0126465
Шмидт, Фридрих Карл (1936), «О сохранении цепных теорем идеальной теории для произвольных конечных расширений полей», Mathematical Journal , 41 (1): 443–450, doi : 10.1007/BF01180433
Зариски, Оскар (1948), «Аналитическая неприводимость нормальных многообразий», Ann. математики. , 2, 49 : 352–361, doi : 10.2307/1969284 , MR 0024158
Зариски, Оскар ; Сэмюэл, Пьер (1975) [1960], Коммутативная алгебра. Том. II , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90171-8 , МР 0389876