Интегральный элемент
В коммутативной алгебре элемент b коммутативного кольца B называется целым над подкольцом , A кольца B если b является корнем некоторого многочлена над A. монического [1]
Если A , B — поля , то понятия «интеграл по» и «целое расширение» — это в точности « алгебра по» и « алгебраические расширения » в теории поля (поскольку корень любого многочлена является корнем монического многочлена). ).
Наибольший интерес в теории чисел представляет случай комплексных чисел, интегрированных по Z (например, или ); в этом контексте целые элементы обычно называются алгебраическими целыми числами . Алгебраические целые числа в конечном поле расширения k рациональных чисел Q образуют подкольцо k , называемое кольцом целых чисел k теории , центральный объект исследования в алгебраических чисел .
В этой статье под термином « кольцо» будем понимать коммутативное кольцо с мультипликативным тождеством.
Определение
[ редактировать ]Позволять будь кольцом и пусть быть подкольцом Элемент из называется целым по если для некоторых существует в такой, что
Набор элементов которые являются целыми по называется интегральным замыканием в Целочисленное замыкание любого подкольца в само по себе является подкольцом и содержит Если каждый элемент является целым по тогда мы говорим это является целым по или эквивалентно является неотъемлемым продолжением
Примеры
[ редактировать ]Интегральное замыкание в теории алгебраических чисел
[ редактировать ]Есть много примеров интегрального замыкания, которые можно найти в теории алгебраических чисел, поскольку они имеют фундаментальное значение для определения кольца целых чисел для расширения алгебраического поля. (или ).
Интегральное замыкание целых чисел в рациональных числах
[ редактировать ]Целые числа — единственные элементы Q которые являются целыми по Z. , Другими словами, Z целое замыкание Z в Q. —
Квадратичные расширения
[ редактировать ]Целые числа Гаусса — это комплексные числа вида , и являются целыми по Z . тогда является интегральным замыканием Z в . Обычно это кольцо обозначается .
Интегральное замыкание Z в это кольцо
Этот и предыдущий примеры являются примерами квадратичных целых чисел . Интегральное замыкание квадратичного расширения можно найти, построив минимальный полином произвольного элемента и найти теоретико-числовой критерий того, что полином имеет целые коэффициенты. Этот анализ можно найти в статье о квадратичных расширениях .
Корни единства
[ редактировать ]Пусть ζ — корень из единицы . Тогда интегральное замыкание Z в круговом поле Q (ζ) есть Z [ζ]. [2] Это можно найти, используя минимальный полином и критерий Эйзенштейна .
Кольцо целых алгебраических чисел
[ редактировать ]Целое замыкание Z в поле комплексных чисел C или алгебраическое замыкание называется кольцом целых алгебраических чисел .
Другой
[ редактировать ]Корни из единицы , нильпотентные элементы и идемпотентные элементы целы над Z. в любом кольце
Интегральное замыкание в алгебраической геометрии
[ редактировать ]В геометрии интегральное замыкание тесно связано с нормализацией и нормальными схемами . Это первый шаг в разрешении особенностей, поскольку он дает процесс разрешения особенностей коразмерности 1.
- Например, интегральное замыкание это кольцо поскольку геометрически первое кольцо соответствует -плоскость, соединенная с -самолет. Они имеют особенность коразмерности 1 вдоль -ось, где они пересекаются.
- Пусть конечная группа G. действует кольце A на Тогда A цело над A Г , набор элементов, фиксированных G ; см. Кольцо инвариантов .
- Пусть R — , а u — в единица кольце, содержащем R. кольцо Затем [3]
- в −1 является целым по R тогда и только тогда, когда u −1 ∈ р [ ты ].
- целым над R. является
- Целое замыкание однородного координатного кольца нормального проективного многообразия X есть кольцо сечений [4]
Целостность в алгебре
[ редактировать ]- Если является алгебраическим замыканием поля k , то является целым по
- Целое замыкание C [[ x ]] в конечном расширении C (( x )) имеет вид (см. серию Пюизо ) [ нужна ссылка ]
Эквивалентные определения
[ редактировать ]Пусть B — кольцо, и пусть A — подкольцо в B . Учитывая элемент b в B , следующие условия эквивалентны:
- (i) b целочислен над A ;
- (ii) подкольцо A [ b ] кольца B, порожденное A и b, является конечно порожденным A -модулем ;
- (iii) существует подкольцо C кольца B, содержащее A [ b ] и являющееся конечно порожденным A -модулем;
- (iv) существует точный A [ b ]-модуль M такой, что M конечно порожден как A -модуль.
Обычное доказательство этого использует следующий вариант теоремы Кэли-Гамильтона об определителях :
- Теорема. Пусть u — эндоморфизм A n -модуля M, порожденный — элементами, а I идеал , такой A что . Тогда существует соотношение:
Эта теорема (с I = A и u умножением на b ) дает (iv) ⇒ (i), а остальное легко. По совпадению, лемма Накаямы также является непосредственным следствием этой теоремы.
Элементарные свойства
[ редактировать ]Интегральная застежка образует кольцо
[ редактировать ]Из четырех приведенных выше эквивалентных утверждений следует, что множество элементов которые являются целыми по образует подкольцо содержащий . (Доказательство: если x , y являются элементами которые являются целыми по , затем являются целыми по поскольку они стабилизируют , который является конечно порожденным модулем над и уничтожается только нулем.) [5] Это кольцо называется целым замыканием в .
Транзитивность целостности
[ редактировать ]Другим следствием приведенной выше эквивалентности является то, что «целостность» транзитивна в следующем смысле. Позволять быть кольцом, содержащим и . Если является целым по и интеграл по , затем является целым по . В частности, если сам является целым по и является целым по , затем также является целым по .
Интеграл, замкнутый в дробном поле
[ редактировать ]Если происходит интегральное замыкание в , то A называется целозамкнутым в . Если полное кольцо дробей , (например, поле дробей при является целостной областью ), то иногда отбрасывают уточнение «в и просто говорит: « интегральное закрытие " и " » полностью закрыта . [6] Например, кольцо целых чисел является целозамкнутым в поле .
Транзитивность интегрального замыкания с целозамкнутыми областями
[ редактировать ]Пусть А — область целостности с полем частных К , а А' целое замыкание А в расширении алгебраического поля L поля К. — Тогда поле дробей A' равно L . В частности, А' — целозамкнутая область .
Транзитивность в теории алгебраических чисел
[ редактировать ]Эта ситуация применима в теории алгебраических чисел при связи кольца целых чисел и расширения поля. В частности, учитывая расширение поля интегральное закрытие в кольцо целых чисел .
Примечания
[ редактировать ]Обратите внимание, что из приведенной выше транзитивности целостности следует, что если является целым по , затем является объединением (эквивалентно индуктивным пределом ) подколец, которые конечно порождены -модули.
Если нётерова , то транзитивность целостности можно ослабить до утверждения:
- Существует конечно порожденный -субмодуль который содержит .
Связь с условиями конечности
[ редактировать ]Наконец, предположение о том, что быть подкольцом можно немного изменить. Если является кольцевым гомоморфизмом , то говорят является целым, если является целым по . Точно так же говорят конечно ( конечно сгенерированный -модуль) или конечного типа ( конечно сгенерированный - алгебра ). С этой точки зрения, есть то, что
- конечно тогда и только тогда, когда является целым и имеет конечный тип.
Или более явно,
- является конечно порожденным -модуль тогда и только тогда, когда генерируется как -алгебра конечным числом элементов, целых по .
Интегральные расширения
[ редактировать ]Теоремы Коэна-Зейденберга
[ редактировать ]Целочисленное расширение A ⊆ B обладает свойством подъема вверх , свойством лежания над и свойством несравнимости ( теоремы Коэна–Зейденберга ). Явно, если дана цепочка простых идеалов в A существует в B с (подъём и лежание) и два различных простых идеала с отношением включения не могут сузиться до одного и того же простого идеала (несравнимость). , размеры Крулла A B и В частности одинаковы. При этом, если A — целозамкнутая область, то имеет место движение вниз (см. ниже).
В общем, подъем подразумевает лежание. [7] Таким образом, ниже мы просто говорим «восхождение», имея в виду «восхождение» и «лежание».
Когда A , B являются областями, такими что B является целым над A , A является полем тогда и только тогда, когда B является полем. Как следствие : дан простой идеал из Б , является максимальным идеалом B когда тогда и только тогда, является максимальным идеалом A . Еще одно следствие: если L / K — алгебраическое расширение, то любое подкольцо L, содержащее K, является полем.
Приложения
[ редактировать ]Пусть B — кольцо, целое над подкольцом A , а k — алгебраически замкнутое поле . Если является гомоморфизмом, то f продолжается до гомоморфизма B → k . [8] Это следует из подъема.
Геометрическая интерпретация подъема вверх
[ редактировать ]Позволять быть целым расширением колец. Тогда индуцированное отображение
это закрытая карта ; фактически, для любого идеала я и является сюръективным если f инъективен , . Это геометрическая интерпретация подъема.
Геометрическая интерпретация интегральных расширений
[ редактировать ]Пусть B — кольцо, а A — подкольцо, являющееся нетеровой целозамкнутой областью (т. е. — нормальная схема .) Если B целое над A , то является погружным ; есть топология то является фактортопологией . [9] В доказательстве используется понятие конструктивных множеств . (См. также: Торсор (алгебраическая геометрия) .)
Целостность, изменение основания, универсально-замкнутость и геометрия.
[ редактировать ]Если является целым по , затем является целой над R для любой A -алгебры R . [10] В частности, закрыт; т. е. интегральное расширение индуцирует « универсально замкнутое » отображение. Это приводит к геометрической характеристике интегрального расширения . А именно, пусть B — кольцо только с конечным числом минимальных простых идеалов (например, область целостности или нётерово кольцо). Тогда B целое над (подкольцом) A тогда и только тогда, когда замкнута для любой - алгебры R. A [11] В частности, всякое собственное отображение универсально замкнуто. [12]
Действия Галуа на целочисленных расширениях целозамкнутых областей
[ редактировать ]- Предложение. Пусть A — целозамкнутая область с полем частных K , L — нормальное расширение K конечное , B — замыкание A в L. целое Затем группа действует транзитивно на каждом слое .
Доказательство. Предполагать для любого в Г. Тогда, благодаря избеганию , в простому такой, что для любого . G фиксирует элемент и, таким образом y неразделим совершенно над K. , Тогда немного силы принадлежит К ; поскольку A целозамкнуто, имеем: Таким образом, мы нашли находится в но не в ; то есть, .
Приложение к алгебраической теории чисел
[ редактировать ]Группа Галуа тогда действует на все простые идеалы лежащий над фиксированным простым идеалом . [13] То есть, если
то на съемочной площадке происходит действие Галуа . Это называется расщеплением простых идеалов в расширениях Галуа .
Примечания
[ редактировать ]Та же идея в доказательстве показывает, что если является чисто неотделимым расширением (не обязательно должно быть нормальным), тогда является биективным .
Пусть A , K и т. д., как и раньше, но предположим, что L является лишь конечным полевым расширением K . Затем
- (я) имеет конечные слои.
- (ii) движение вниз имеет место между A и B : при условии , существует что сводится к нему.
Действительно, в обоих утверждениях, увеличивая L , мы можем считать, что L — нормальное расширение. Тогда (i) является непосредственным. Что касается (ii), то, поднимаясь вверх, можно найти цепочку который заключает контракт на . По транзитивности существует такой, что а потом являются искомой цепочкой.
Интегральное закрытие
[ редактировать ]Пусть A ⊂ B — кольца и A' — целое замыкание A в B . (Определение см. выше.)
Цельные затворы хорошо себя ведут в различных конструкциях. В частности, для замкнутого подмножества S в A локализация S мультипликативно −1 A' — интегральное замыкание S −1 А в С −1 Группа является интегральным замыканием в . [14] Если являются подкольцами колец , то интегральное замыкание в является где являются целыми замыканиями в . [15]
Целое замыкание локального кольца A , скажем, в B не обязательно должно быть локальным. (В этом случае кольцо называется одноветвевым .) Это имеет место, например, когда A является гензелевым , а B является полем расширения поля частных A .
Если A — подкольцо поля K , то целое замыкание A в K есть пересечение всех колец нормирования поля K содержащих A. ,
Пусть А будет -градуированное подкольцо - кольцо Б. класса Тогда интегральное замыкание A в B есть -градуированное подкольцо B . [16]
Существует также понятие интегральной замкнутости идеала . Интегральное замыкание идеала , обычно обозначается , представляет собой набор всех элементов такой, что существует монический полином
с с как корень. [17] [18] Радикал идеала целозамкнут. [19] [20]
Для нётеровых колец также существуют альтернативные определения.
- если существует не содержится ни в одном минимальном простом числе, таком, что для всех .
- если в нормализованном расширении I обратный образ r содержится в прообразе I . Разрушение идеала — это операция схемы, заменяющая данный идеал главным идеалом. Нормализация схемы — это просто схема, соответствующая целостному замыканию всех ее колец.
Понятие интегрального замыкания идеала используется в некоторых доказательствах теоремы о спуске .
Дирижер
[ редактировать ]Пусть B — кольцо, а A подкольцо в B такое, что B целое над A. — Тогда аннулятор модуля A - B / A называется проводником A в B. Поскольку это понятие имеет происхождение из теории алгебраических чисел , проводник обозначается . Явно, состоит из элементов a из A таких, что . (ср. идеализатор в абстрактной алгебре.) Это наибольший идеал A , который также является идеалом B . [21] Если S — мультипликативно замкнутое подмножество A , то
- .
Если B — подкольцо полного кольца дробей A , то мы можем отождествить
- .
Пример. Пусть k — поле и пусть (т. е. A — координатное кольцо аффинной кривой .) B — целое замыкание A в . Проводник A в B является идеальным . В более общем смысле, дирижер , a , b относительно простые, есть с . [22]
Предположим, что B — целое замыкание области целостности A в поле частных A такое, что A -модуль конечно порождено. Тогда дирижер A определяющим является идеалом, опору ; таким образом, A совпадает с B в дополнении к в . В частности, набор , дополнение , является открытым множеством .
Конечность интегрального замыкания
[ редактировать ]Важный, но трудный вопрос — о конечности интегрального замыкания конечно порожденной алгебры. Известны несколько результатов.
Целое замыкание дедекиндовой области в конечном расширении поля частных является дедекиндовой областью; в частности, нётерово кольцо. Это следствие теоремы Крулля–Акидзуки . В общем, интегральное замыкание нетеровой области размерности не более 2 является нетеровым; Нагата привел пример нётеровой области размерности 3, интегральное замыкание которой не является нётеровым. [23] Более хорошее утверждение таково: интегральное замыкание нётеровой области является областью Крулля ( теорема Мори–Нагаты ). Нагата также привел пример нётеровой локальной области размерности 1, в которой интегральное замыкание не является конечным в этой области. [ нужна ссылка ]
Пусть A — нётерова целозамкнутая область с полем K. частных Если L / K — конечное сепарабельное расширение, то интегральное замыкание A A в L является конечно порожденным . -модулем [24] Это просто и стандартно (используется тот факт, что трасса определяет невырожденную билинейную форму).
Пусть A — конечно порожденная алгебра над полем k являющимся областью целостности с полем частных K. , Если L — конечное расширение K , то интегральное замыкание A -модулем , в L является конечно порожденным A а также конечно порожденной k -алгеброй. [25] Результат принадлежит Нётер и может быть показан с помощью леммы о нормализации Нётер следующим образом. Ясно, что достаточно доказать утверждение, когда L / K либо сепарабельна, либо чисто несепарабельна. Сепарабельный случай отмечен выше, поэтому предположим, что L / K совершенно неразделима. По лемме о нормализации A цело над кольцом многочленов . Поскольку L / K — конечное чисто неразделимое расширение, существует степень q такая простого числа что каждый элемент L является корнем q -й степени из элемента из K. , Позволять — конечное расширение k , содержащее все корни q-й степени из коэффициентов конечного числа рациональных функций, порождающих L . Тогда у нас есть: Кольцо справа — поле дробей , которое является интегральным замыканием S ; таким образом, содержит . Следовательно, конечен над S ; тем более, А. над Результат останется верным, если мы k на Z. заменим
Целое замыкание полной локальной нетеровой области A в конечном расширении поля частных A конечно над A . [26] Точнее, для локального нётерова кольца R имеем следующие цепочки импликаций: [27]
- (i Полное ) А — кольцо Нагата
- (ii) A является доменом Нагата . Аналитически неразветвленный интегральное закрытие завершения конечно над интегральное замыкание A конечно над A.
Лемма Нётер о нормализации
[ редактировать ]Лемма Нётер о нормализации — теорема коммутативной алгебры . поля K и конечно порожденной K -алгебры A можно найти элементы y1 Для , y2 данного , ..., ym , теорема гласит, что в A над алгебраически независимые K , такие, что A конечен (и, следовательно, интеграл) по B = K [ y1 , ,... ] ym . Таким образом, расширение K ⊂ A можно записать в виде композиции K ⊂ B ⊂ A , где K ⊂ B — чисто трансцендентное расширение, а B ⊂ A конечно. [28]
Интегральные морфизмы
[ редактировать ]В алгебраической геометрии морфизм схем , является целым если оно аффинно и если для некоторого (т. е. любого) аффинного открытого покрытия Y , каждая карта имеет форму где A — целая B -алгебра. Класс целочисленных морфизмов более общий, чем класс конечных морфизмов , поскольку существуют целые расширения, которые не являются конечными, например, во многих случаях, алгебраическое замыкание поля над полем.
Абсолютное интегральное закрытие
[ редактировать ]Пусть A — область целостности и L (некоторое) алгебраическое замыкание поля частных A . Тогда интегральное замыкание A A в L называется целым замыканием . абсолютным [29] Оно единственно с точностью до неканонического изоморфизма . следовательно , Примером является кольцо всех целых алгебраических чисел (и, обычно не нётеровский).
См. также
[ редактировать ]- Нормальная схема
- Лемма Нётер о нормализации
- Алгебраическое целое число
- Расщепление простых идеалов в расширениях Галуа
- Торсор (алгебраическая геометрия)
Примечания
[ редактировать ]- ^ Приведенное выше уравнение иногда называют интегральным уравнением, и b говорят, что интегрально зависит от A (в отличие от алгебраической зависимости ).
- ^ Милн 2020 , Теорема 6.4
- ^ Капланский 1974 , 1.2. Упражнение 4.
- ^ Хартсхорн 1977 , гл. II, упражнение 5.14.
- ^ Это доказательство принадлежит Дедекинду (Милн, ANT). В качестве альтернативы можно использовать симметричные полиномы, чтобы показать целые элементы, образующие кольцо. (место соч.)
- ↑ Глава 2 Huneke & Swanson, 2006 г.
- ^ Капланский 1974 , Теорема 42
- ^ Бурбаки 2006 , Глава 5, §2, Следствие 4 к теореме 1.
- ^ Мацумура 1970 , глава 2. Теорема 7.
- ^ Бурбаки 2006 , Глава 5, §1, Предложение 5
- ^ Атья и Макдональд 1994 , глава 5. Упражнение 35.
- ^ «Раздел 32.14 (05JW): Универсально замкнутые морфизмы — проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 11 мая 2020 г.
- ^ Штейн. Вычислительное введение в алгебраическую теорию чисел (PDF) . п. 101.
- ^ Упражнение в Атье и Макдональде, 1994 г.
- ^ Бурбаки 2006 , Глава 5, §1, Предложение 9
- ^ Доказательство: Пусть — кольцевой гомоморфизм такой, что если однородно степени n . Интегральное замыкание в является , где является целым замыканием A в B . Если b в B целое над A , то является целым по ; то есть, это в . То есть каждый коэффициент в полиноме в А. находится
- ↑ Упражнение 4.14 в Eisenbud, 1995 г.
- ^ Определение 1.1.1 в Huneke & Swanson 2006.
- ^ Упражнение 4.15 в Eisenbud, 1995 г.
- ^ Замечание 1.1.3 в Huneke & Swanson 2006.
- ↑ Глава 12 Huneke & Swanson, 2006 г.
- ^ Huneke & Swanson 2006 , Пример 12.2.1.
- ^ Хунеке и Суонсон, 2006 , Упражнение 4.9.
- ^ Атья и Макдональд 1994 , глава 5. Предложение 5.17.
- ^ Hartshorne 1977 , Глава I. Теорема 3.9 A
- ^ Хунеке и Суонсон, 2006 , Теорема 4.3.4.
- ^ Мацумура 1970 , Глава 12
- ^ Глава 4 Рида.
- ^ Мелвин Хохстер , Математика 711: Лекция от 7 сентября 2007 г.
Ссылки
[ редактировать ]- Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, Ян Г. (1994) [1969]. Введение в коммутативную алгебру . Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-40751-5 .
- Бурбаки, Николя (2006). Коммутативная алгебра . Берлин: Шпрингер. ISBN 978-3-540-33937-3 .
- Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Тексты для аспирантов по математике, том. 150, Шпрингер-Верлаг , ISBN 0-387-94268-8
- Каплански, Ирвинг (сентябрь 1974 г.). Коммутативные кольца . Лекции по математике. Издательство Чикагского университета . ISBN 0-226-42454-5 .
- Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9 , МР 0463157
- Мацумура, Х (1970), Коммутативная алгебра
- Х. Мацумура Коммутативная теория колец. Перевод с японского М. Рида. Второе издание. Кембриджские исследования по высшей математике, 8.
- Милн, Дж. С. (19 июля 2020 г.). «Алгебраическая теория чисел» .
- Хунеке, Крейг; Суонсон, Ирена (2006), Интегральное замыкание идеалов, колец и модулей , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 336, Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-68860-4 , MR 2266432 , заархивировано из оригинала 15 ноября 2019 г. , получено 01 марта 2011 г.
- М. Рид , Коммутативная алгебра для студентов , Лондонское математическое общество, 29 , издательство Кембриджского университета, 1995.
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Ирена Суонсон, Интегральные замыкания идеалов и колец
- Есть ли в DG-алгебрах какое-либо разумное понятие интегрального замыкания?
- Является всегда является неотъемлемым продолжением для регулярной последовательности ?]