Jump to content

Интегральный элемент

В коммутативной алгебре элемент b коммутативного кольца B называется целым над подкольцом , A кольца B если b является корнем некоторого многочлена над A. монического [1]

Если A , B поля , то понятия «интеграл по» и «целое расширение» — это в точности « алгебра по» и « алгебраические расширения » в теории поля (поскольку корень любого многочлена является корнем монического многочлена). ).

Наибольший интерес в теории чисел представляет случай комплексных чисел, интегрированных по Z (например, или ); в этом контексте целые элементы обычно называются алгебраическими целыми числами . Алгебраические целые числа в конечном поле расширения k рациональных чисел Q образуют подкольцо k , называемое кольцом целых чисел k теории , центральный объект исследования в алгебраических чисел .

В этой статье под термином « кольцо» будем понимать коммутативное кольцо с мультипликативным тождеством.

Определение

[ редактировать ]

Позволять будь кольцом и пусть быть подкольцом Элемент из называется целым по если для некоторых существует в такой, что

Набор элементов которые являются целыми по называется интегральным замыканием в Целочисленное замыкание любого подкольца в само по себе является подкольцом и содержит Если каждый элемент является целым по тогда мы говорим это является целым по или эквивалентно является неотъемлемым продолжением

Интегральное замыкание в теории алгебраических чисел

[ редактировать ]

Есть много примеров интегрального замыкания, которые можно найти в теории алгебраических чисел, поскольку они имеют фундаментальное значение для определения кольца целых чисел для расширения алгебраического поля. (или ).

Интегральное замыкание целых чисел в рациональных числах

[ редактировать ]

Целые числа — единственные элементы Q которые являются целыми по Z. , Другими словами, Z целое замыкание Z в Q.

Квадратичные расширения

[ редактировать ]

Целые числа Гаусса — это комплексные числа вида , и являются целыми по Z . тогда является интегральным замыканием Z в . Обычно это кольцо обозначается .

Интегральное замыкание Z в это кольцо

Этот и предыдущий примеры являются примерами квадратичных целых чисел . Интегральное замыкание квадратичного расширения можно найти, построив минимальный полином произвольного элемента и найти теоретико-числовой критерий того, что полином имеет целые коэффициенты. Этот анализ можно найти в статье о квадратичных расширениях .

Корни единства

[ редактировать ]

Пусть ζ — корень из единицы . Тогда интегральное замыкание Z в круговом поле Q (ζ) есть Z [ζ]. [2] Это можно найти, используя минимальный полином и критерий Эйзенштейна .

Кольцо целых алгебраических чисел

[ редактировать ]

Целое замыкание Z в поле комплексных чисел C или алгебраическое замыкание называется кольцом целых алгебраических чисел .

Корни из единицы , нильпотентные элементы и идемпотентные элементы целы над Z. в любом кольце

Интегральное замыкание в алгебраической геометрии

[ редактировать ]

В геометрии интегральное замыкание тесно связано с нормализацией и нормальными схемами . Это первый шаг в разрешении особенностей, поскольку он дает процесс разрешения особенностей коразмерности 1.

  • Например, интегральное замыкание это кольцо поскольку геометрически первое кольцо соответствует -плоскость, соединенная с -самолет. Они имеют особенность коразмерности 1 вдоль -ось, где они пересекаются.
  • Пусть конечная группа G. действует кольце A на Тогда A цело над A Г , набор элементов, фиксированных G ; см. Кольцо инвариантов .
  • Пусть R — , а u — в единица кольце, содержащем R. кольцо Затем [3]
  1. в −1 является целым по R тогда и только тогда, когда u −1 р [ ты ].
  2. целым над R. является
  3. Целое замыкание однородного координатного кольца нормального проективного многообразия X есть кольцо сечений [4]

Целостность в алгебре

[ редактировать ]
  • Если является алгебраическим замыканием поля k , то является целым по
  • Целое замыкание C [[ x ]] в конечном расширении C (( x )) имеет вид (см. серию Пюизо ) [ нужна ссылка ]

Эквивалентные определения

[ редактировать ]

Пусть B — кольцо, и пусть A — подкольцо в B . Учитывая элемент b в B , следующие условия эквивалентны:

(i) b целочислен над A ;
(ii) подкольцо A [ b ] кольца B, порожденное A и b, является конечно порожденным A -модулем ;
(iii) существует подкольцо C кольца B, содержащее A [ b ] и являющееся конечно порожденным A -модулем;
(iv) существует точный A [ b ]-модуль M такой, что M конечно порожден как A -модуль.

Обычное доказательство этого использует следующий вариант теоремы Кэли-Гамильтона об определителях :

Теорема. Пусть u эндоморфизм A n -модуля M, порожденный элементами, а I идеал , такой A что . Тогда существует соотношение:

Эта теорема (с I = A и u умножением на b ) дает (iv) ⇒ (i), а остальное легко. По совпадению, лемма Накаямы также является непосредственным следствием этой теоремы.

Элементарные свойства

[ редактировать ]

Интегральная застежка образует кольцо

[ редактировать ]

Из четырех приведенных выше эквивалентных утверждений следует, что множество элементов которые являются целыми по образует подкольцо содержащий . (Доказательство: если x , y являются элементами которые являются целыми по , затем являются целыми по поскольку они стабилизируют , который является конечно порожденным модулем над и уничтожается только нулем.) [5] Это кольцо называется целым замыканием в .

Транзитивность целостности

[ редактировать ]

Другим следствием приведенной выше эквивалентности является то, что «целостность» транзитивна в следующем смысле. Позволять быть кольцом, содержащим и . Если является целым по и интеграл по , затем является целым по . В частности, если сам является целым по и является целым по , затем также является целым по .

Интеграл, замкнутый в дробном поле

[ редактировать ]

Если происходит интегральное замыкание в , то A называется целозамкнутым в . Если полное кольцо дробей , (например, поле дробей при является целостной областью ), то иногда отбрасывают уточнение «в и просто говорит: « интегральное закрытие " и " » полностью закрыта . [6] Например, кольцо целых чисел является целозамкнутым в поле .

Транзитивность интегрального замыкания с целозамкнутыми областями

[ редактировать ]

Пусть А — область целостности с полем частных К , а А' целое замыкание А в расширении алгебраического поля L поля К. — Тогда поле дробей A' равно L . В частности, А' целозамкнутая область .

Транзитивность в теории алгебраических чисел
[ редактировать ]

Эта ситуация применима в теории алгебраических чисел при связи кольца целых чисел и расширения поля. В частности, учитывая расширение поля интегральное закрытие в кольцо целых чисел .

Примечания

[ редактировать ]

Обратите внимание, что из приведенной выше транзитивности целостности следует, что если является целым по , затем является объединением (эквивалентно индуктивным пределом ) подколец, которые конечно порождены -модули.

Если нётерова , то транзитивность целостности можно ослабить до утверждения:

Существует конечно порожденный -субмодуль который содержит .

Связь с условиями конечности

[ редактировать ]

Наконец, предположение о том, что быть подкольцом можно немного изменить. Если является кольцевым гомоморфизмом , то говорят является целым, если является целым по . Точно так же говорят конечно ( конечно сгенерированный -модуль) или конечного типа ( конечно сгенерированный - алгебра ). С этой точки зрения, есть то, что

конечно тогда и только тогда, когда является целым и имеет конечный тип.

Или более явно,

является конечно порожденным -модуль тогда и только тогда, когда генерируется как -алгебра конечным числом элементов, целых по .

Интегральные расширения

[ редактировать ]

Теоремы Коэна-Зейденберга

[ редактировать ]

Целочисленное расширение A B обладает свойством подъема вверх , свойством лежания над и свойством несравнимости ( теоремы Коэна–Зейденберга ). Явно, если дана цепочка простых идеалов в A существует в B с (подъём и лежание) и два различных простых идеала с отношением включения не могут сузиться до одного и того же простого идеала (несравнимость). , размеры Крулла A B и В частности одинаковы. При этом, если A — целозамкнутая область, то имеет место движение вниз (см. ниже).

В общем, подъем подразумевает лежание. [7] Таким образом, ниже мы просто говорим «восхождение», имея в виду «восхождение» и «лежание».

Когда A , B являются областями, такими что B является целым над A , A является полем тогда и только тогда, когда B является полем. Как следствие : дан простой идеал из Б , является максимальным идеалом B когда тогда и только тогда, является максимальным идеалом A . Еще одно следствие: если L / K — алгебраическое расширение, то любое подкольцо L, содержащее K, является полем.

Приложения

[ редактировать ]

Пусть B — кольцо, целое над подкольцом A , а k — алгебраически замкнутое поле . Если является гомоморфизмом, то f продолжается до гомоморфизма B k . [8] Это следует из подъема.

Геометрическая интерпретация подъема вверх

[ редактировать ]

Позволять быть целым расширением колец. Тогда индуцированное отображение

это закрытая карта ; фактически, для любого идеала я и является сюръективным если f инъективен , . Это геометрическая интерпретация подъема.

Геометрическая интерпретация интегральных расширений

[ редактировать ]

Пусть B — кольцо, а A — подкольцо, являющееся нетеровой целозамкнутой областью (т. е. нормальная схема .) Если B целое над A , то является погружным ; есть топология то является фактортопологией . [9] В доказательстве используется понятие конструктивных множеств . (См. также: Торсор (алгебраическая геометрия) .)

Целостность, изменение основания, универсально-замкнутость и геометрия.

[ редактировать ]

Если является целым по , затем является целой над R для любой A -алгебры R . [10] В частности, закрыт; т. е. интегральное расширение индуцирует « универсально замкнутое » отображение. Это приводит к геометрической характеристике интегрального расширения . А именно, пусть B — кольцо только с конечным числом минимальных простых идеалов (например, область целостности или нётерово кольцо). Тогда B целое над (подкольцом) A тогда и только тогда, когда замкнута для любой - алгебры R. A [11] В частности, всякое собственное отображение универсально замкнуто. [12]

Действия Галуа на целочисленных расширениях целозамкнутых областей

[ редактировать ]
Предложение. Пусть A — целозамкнутая область с полем частных K , L — нормальное расширение K конечное , B — замыкание A в L. целое Затем группа действует транзитивно на каждом слое .

Доказательство. Предполагать для любого в Г. ​Тогда, благодаря избеганию , в простому такой, что для любого . G фиксирует элемент и, таким образом y неразделим совершенно над K. , Тогда немного силы принадлежит К ; поскольку A целозамкнуто, имеем: Таким образом, мы нашли находится в но не в ; то есть, .

Приложение к алгебраической теории чисел

[ редактировать ]

Группа Галуа тогда действует на все простые идеалы лежащий над фиксированным простым идеалом . [13] То есть, если

то на съемочной площадке происходит действие Галуа . Это называется расщеплением простых идеалов в расширениях Галуа .

Примечания

[ редактировать ]

Та же идея в доказательстве показывает, что если является чисто неотделимым расширением (не обязательно должно быть нормальным), тогда является биективным .

Пусть A , K и т. д., как и раньше, но предположим, что L является лишь конечным полевым расширением K . Затем

(я) имеет конечные слои.
(ii) движение вниз имеет место между A и B : при условии , существует что сводится к нему.

Действительно, в обоих утверждениях, увеличивая L , мы можем считать, что L — нормальное расширение. Тогда (i) является непосредственным. Что касается (ii), то, поднимаясь вверх, можно найти цепочку который заключает контракт на . По транзитивности существует такой, что а потом являются искомой цепочкой.

Интегральное закрытие

[ редактировать ]

Пусть A B — кольца и A' — целое замыкание A в B . (Определение см. выше.)

Цельные затворы хорошо себя ведут в различных конструкциях. В частности, для замкнутого подмножества S в A локализация S мультипликативно −1 A' — интегральное замыкание S −1 А в С −1 Группа является интегральным замыканием в . [14] Если являются подкольцами колец , то интегральное замыкание в является где являются целыми замыканиями в . [15]

Целое замыкание локального кольца A , скажем, в B не обязательно должно быть локальным. (В этом случае кольцо называется одноветвевым .) Это имеет место, например, когда A является гензелевым , а B является полем расширения поля частных A .

Если A — подкольцо поля K , то целое замыкание A в K есть пересечение всех колец нормирования поля K содержащих A. ,

Пусть А будет -градуированное подкольцо - кольцо Б. класса Тогда интегральное замыкание A в B есть -градуированное подкольцо B . [16]

Существует также понятие интегральной замкнутости идеала . Интегральное замыкание идеала , обычно обозначается , представляет собой набор всех элементов такой, что существует монический полином

с с как корень. [17] [18] Радикал идеала целозамкнут. [19] [20]

Для нётеровых колец также существуют альтернативные определения.

  • если существует не содержится ни в одном минимальном простом числе, таком, что для всех .
  • если в нормализованном расширении I обратный образ r содержится в прообразе I . Разрушение идеала — это операция схемы, заменяющая данный идеал главным идеалом. Нормализация схемы — это просто схема, соответствующая целостному замыканию всех ее колец.

Понятие интегрального замыкания идеала используется в некоторых доказательствах теоремы о спуске .

Пусть B — кольцо, а A подкольцо в B такое, что B целое над A. — Тогда аннулятор модуля A - B / A называется проводником A в B. ​Поскольку это понятие имеет происхождение из теории алгебраических чисел , проводник обозначается . Явно, состоит из элементов a из A таких, что . (ср. идеализатор в абстрактной алгебре.) Это наибольший идеал A , который также является идеалом B . [21] Если S — мультипликативно замкнутое подмножество A , то

.

Если B — подкольцо полного кольца дробей A , то мы можем отождествить

.

Пример. Пусть k — поле и пусть (т. е. A координатное кольцо аффинной кривой .) B — целое замыкание A в . Проводник A в B является идеальным . В более общем смысле, дирижер , a , b относительно простые, есть с . [22]

Предположим, что B — целое замыкание области целостности A в поле частных A такое, что A -модуль конечно порождено. Тогда дирижер A определяющим является идеалом, опору ; таким образом, A совпадает с B в дополнении к в . В частности, набор , дополнение , является открытым множеством .

Конечность интегрального замыкания

[ редактировать ]

Важный, но трудный вопрос — о конечности интегрального замыкания конечно порожденной алгебры. Известны несколько результатов.

Целое замыкание дедекиндовой области в конечном расширении поля частных является дедекиндовой областью; в частности, нётерово кольцо. Это следствие теоремы Крулля–Акидзуки . В общем, интегральное замыкание нетеровой области размерности не более 2 является нетеровым; Нагата привел пример нётеровой области размерности 3, интегральное замыкание которой не является нётеровым. [23] Более хорошее утверждение таково: интегральное замыкание нётеровой области является областью Крулля ( теорема Мори–Нагаты ). Нагата также привел пример нётеровой локальной области размерности 1, в которой интегральное замыкание не является конечным в этой области. [ нужна ссылка ]

Пусть A — нётерова целозамкнутая область с полем K. частных Если L / K — конечное сепарабельное расширение, то интегральное замыкание A A в L является конечно порожденным . -модулем [24] Это просто и стандартно (используется тот факт, что трасса определяет невырожденную билинейную форму).

Пусть A — конечно порожденная алгебра над полем k являющимся областью целостности с полем частных K. , Если L — конечное расширение K , то интегральное замыкание A -модулем , в L является конечно порожденным A а также конечно порожденной k -алгеброй. [25] Результат принадлежит Нётер и может быть показан с помощью леммы о нормализации Нётер следующим образом. Ясно, что достаточно доказать утверждение, когда L / K либо сепарабельна, либо чисто несепарабельна. Сепарабельный случай отмечен выше, поэтому предположим, что L / K совершенно неразделима. По лемме о нормализации A цело над кольцом многочленов . Поскольку L / K — конечное чисто неразделимое расширение, существует степень q такая простого числа что каждый элемент L является корнем q -й степени из элемента из K. , Позволять — конечное расширение k , содержащее все корни q-й степени из коэффициентов конечного числа рациональных функций, порождающих L . Тогда у нас есть: Кольцо справа — поле дробей , которое является интегральным замыканием S ; таким образом, содержит . Следовательно, конечен над S ; тем более, А. над Результат останется верным, если мы k на Z. заменим

Целое замыкание полной локальной нетеровой области A в конечном расширении поля частных A конечно над A . [26] Точнее, для локального нётерова кольца R имеем следующие цепочки импликаций: [27]

(i Полное ) А кольцо Нагата
(ii) A является доменом Нагата . Аналитически неразветвленный интегральное закрытие завершения конечно над интегральное замыкание A конечно над A.

Лемма Нётер о нормализации

[ редактировать ]

Лемма Нётер о нормализации — теорема коммутативной алгебры . поля K и конечно порожденной K -алгебры A можно найти элементы y1 Для , y2 данного , ..., ym , теорема гласит, что в A над алгебраически независимые K , такие, что A конечен (и, следовательно, интеграл) по B = K [ y1 , ,... ] ym . Таким образом, расширение K A можно записать в виде композиции K B A , где K B — чисто трансцендентное расширение, а B A конечно. [28]

Интегральные морфизмы

[ редактировать ]

В алгебраической геометрии морфизм схем , является целым если оно аффинно и если для некоторого (т. е. любого) аффинного открытого покрытия Y , каждая карта имеет форму где A — целая B -алгебра. Класс целочисленных морфизмов более общий, чем класс конечных морфизмов , поскольку существуют целые расширения, которые не являются конечными, например, во многих случаях, алгебраическое замыкание поля над полем.

Абсолютное интегральное закрытие

[ редактировать ]

Пусть A — область целостности и L (некоторое) алгебраическое замыкание поля частных A . Тогда интегральное замыкание A A в L называется целым замыканием . абсолютным [29] Оно единственно с точностью до неканонического изоморфизма . следовательно , Примером является кольцо всех целых алгебраических чисел (и, обычно не нётеровский).

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Приведенное выше уравнение иногда называют интегральным уравнением, и b говорят, что интегрально зависит от A (в отличие от алгебраической зависимости ).
  2. ^ Милн 2020 , Теорема 6.4
  3. ^ Капланский 1974 , 1.2. Упражнение 4.
  4. ^ Хартсхорн 1977 , гл. II, упражнение 5.14.
  5. ^ Это доказательство принадлежит Дедекинду (Милн, ANT). В качестве альтернативы можно использовать симметричные полиномы, чтобы показать целые элементы, образующие кольцо. (место соч.)
  6. Глава 2 Huneke & Swanson, 2006 г.
  7. ^ Капланский 1974 , Теорема 42
  8. ^ Бурбаки 2006 , Глава 5, §2, Следствие 4 к теореме 1.
  9. ^ Мацумура 1970 , глава 2. Теорема 7.
  10. ^ Бурбаки 2006 , Глава 5, §1, Предложение 5
  11. ^ Атья и Макдональд 1994 , глава 5. Упражнение 35.
  12. ^ «Раздел 32.14 (05JW): Универсально замкнутые морфизмы — проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 11 мая 2020 г.
  13. ^ Штейн. Вычислительное введение в алгебраическую теорию чисел (PDF) . п. 101.
  14. ^ Упражнение в Атье и Макдональде, 1994 г.
  15. ^ Бурбаки 2006 , Глава 5, §1, Предложение 9
  16. ^ Доказательство: Пусть — кольцевой гомоморфизм такой, что если однородно степени n . Интегральное замыкание в является , где является целым замыканием A в B . Если b в B целое над A , то является целым по ; то есть, это в . То есть каждый коэффициент в полиноме в А. находится
  17. Упражнение 4.14 в Eisenbud, 1995 г.
  18. ^ Определение 1.1.1 в Huneke & Swanson 2006.
  19. ^ Упражнение 4.15 в Eisenbud, 1995 г.
  20. ^ Замечание 1.1.3 в Huneke & Swanson 2006.
  21. Глава 12 Huneke & Swanson, 2006 г.
  22. ^ Huneke & Swanson 2006 , Пример 12.2.1.
  23. ^ Хунеке и Суонсон, 2006 , Упражнение 4.9.
  24. ^ Атья и Макдональд 1994 , глава 5. Предложение 5.17.
  25. ^ Hartshorne 1977 , Глава I. Теорема 3.9 A
  26. ^ Хунеке и Суонсон, 2006 , Теорема 4.3.4.
  27. ^ Мацумура 1970 , Глава 12
  28. ^ Глава 4 Рида.
  29. ^ Мелвин Хохстер , Математика 711: Лекция от 7 сентября 2007 г.

Дальнейшее чтение

[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 8386fbd8e43421d0fdbeedd9c605ff24__1721414100
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/83/24/8386fbd8e43421d0fdbeedd9c605ff24.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Integral element - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)