Алгебраическая независимость

В абстрактной подмножество алгебре $S$ поля $L$ независима алгебраически над подполем $K$ если элементы $S$ не удовлетворяют никакому нетривиальному полиномиальному уравнению с коэффициентами из $K$ .

В частности, одноэлементное множество $\{\alpha \}$ алгебраически независима над $K$ тогда и только тогда, когда $\alpha$ является трансцендентным по отношению к $K$ . Вообще говоря, все элементы алгебраически независимого множества $S$ над $K$ по необходимости трансцендентны над $K$ всем расширениям полей , и по $K$ созданный остальными элементами $S$ .

Пример

Два действительных числа ${\sqrt {\pi }}$ и $2\pi +1$ каждое из них является трансцендентным числом : они не являются корнями какого-либо нетривиального многочлена, коэффициенты которого являются рациональными числами . Таким образом, каждое из двух одноэлементных множеств $\{{\sqrt {\pi }}\}$ и $\{2\pi +1\}$ алгебраически независима над полем $\mathbb {Q}$ рациональных чисел.

Однако набор $\{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}$ является не алгебраически независимым над рациональными числами, поскольку нетривиальный многочлен

P(x,y)=2x^{2}-y+1

равен нулю, когда $x={\sqrt {\pi }}$ и $y=2\pi +1$ .

Алгебраическая независимость известных констант

Хотя оба $\pi$ и е , как известно, трансцендентны,неизвестно, является ли множество их обоих алгебраически независимым над $\mathbb {Q}$ . ^[1] На самом деле, даже неизвестно, $\pi +e$ иррационально. ^[2]Нестеренко доказал в 1996 году, что:

цифры $\pi$ , $e^{\pi }$ , и $\Gamma (1/4)$ , где $\Gamma$ – гамма-функция , алгебраически независимы над $\mathbb {Q}$ . ^[3]
цифры $e^{\pi {\sqrt {3}}}$ и $\Gamma (1/3)$ алгебраически независимы над $\mathbb {Q}$ .
для всех положительных целых чисел $n$ , число $e^{\pi {\sqrt {n}}}$ алгебраически независима над $\mathbb {Q}$ . ^[4]

Теорема Линдеманна – Вейерштрасса

Теорему Линдеманна – Вейерштрасса часто можно использовать для доказательства того, что некоторые множества алгебраически независимы над $\mathbb {Q}$ . В нем говорится, что всякий раз, когда $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ — алгебраические числа , линейно независимые над $\mathbb {Q}$ , затем $e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}$ также алгебраически независимы над $\mathbb {Q}$ .

Алгебраические матроиды

Учитывая расширение поля $L/K$ которое не является алгебраическим, лемму Цорна можно использовать, чтобы показать, что всегда существует максимальное алгебраически независимое подмножество $L$ над $K$ . Далее, все максимальные алгебраически независимые подмножества имеют одинаковую мощность , известную как степень трансцендентности расширения.

Для каждого набора $S$ элементов $L$ , алгебраически независимые подмножества $S$ удовлетворяют аксиомам, определяющим независимые множества матроида . В этом матроиде ранг множества элементов — это степень его трансцендентности, а плоскость, порождённая множеством $T$ элементов является пересечением $L$ с полем $K[T]$ . Матроид, который можно сгенерировать таким способом, называется алгебраическим матроидом . Никакой хорошей характеристики алгебраических матроидов не известно, но известно, что некоторые матроиды неалгебраичны; самый маленький — матроид Вамоса . ^[5]

Многие конечные матроиды могут быть представлены матрицей . над полем $K$ , в котором элементы матроида соответствуют столбцам матрицы, а набор элементов является независимым, если соответствующий набор столбцов линейно независим . Каждый матроид с линейным представлением этого типа также может быть представлен как алгебраический матроид, выбрав неопределенное значение для каждой строки матрицы и используя матричные коэффициенты в каждом столбце, чтобы назначить каждому элементу матроида линейную комбинацию этих трансцендентов. Обратное неверно: не каждый алгебраический матроид имеет линейное представление. ^[6]

Ссылки

^ Патрик Моранди (1996). Поле и теория Галуа . Спрингер. п. 174. ИСБН 978-0-387-94753-2 . Проверено 11 апреля 2008 г.
^ Грин, Бен (2008), «III.41 Иррациональные и трансцендентные числа», в Гауэрс, Тимоти (редактор), The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, стр. 222
^ Манин, Ю. Я .; Панчишкин А.А. (2007). Введение в современную теорию чисел . Энциклопедия математических наук. Том. 49 (Второе изд.). п. 61. ИСБН 978-3-540-20364-3 . ISSN 0938-0396 . Збл 1079.11002 .
^ Нестеренко, Юрий В (1996). «Модульные функции и проблемы трансцендентности». Доклады Академии наук, серия I. 322 (10): 909–914.
^ Инглтон, штат Аризона; Мейн, Р.А. (1975), «Неалгебраические матроиды существуют», Бюллетень Лондонского математического общества , 7 (2): 144–146, doi : 10.1112/blms/7.2.144 , MR 0369110 .
^ Джоши, К.Д. (1997), Прикладные дискретные структуры , New Age International, с. 909, ISBN 9788122408263 .

Внешние ссылки

Чен, Джонни. «Алгебраически независимый» . Математический мир .

[1] Патрик Моранди (1996). Поле и теория Галуа . Спрингер. п. 174. ИСБН 978-0-387-94753-2 . Проверено 11 апреля 2008 г.

[2] Грин, Бен (2008), «III.41 Иррациональные и трансцендентные числа», в Гауэрс, Тимоти (редактор), The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, стр. 222

[MP61-3] Манин, Ю. Я .; Панчишкин А.А. (2007). Введение в современную теорию чисел . Энциклопедия математических наук. Том. 49 (Второе изд.). п. 61. ИСБН 978-3-540-20364-3 . ISSN 0938-0396 . Збл 1079.11002 .

[4] Нестеренко, Юрий В (1996). «Модульные функции и проблемы трансцендентности». Доклады Академии наук, серия I. 322 (10): 909–914.

[5] Инглтон, штат Аризона; Мейн, Р.А. (1975), «Неалгебраические матроиды существуют», Бюллетень Лондонского математического общества , 7 (2): 144–146, doi : 10.1112/blms/7.2.144 , MR 0369110 .

[6] Джоши, К.Д. (1997), Прикладные дискретные структуры , New Age International, с. 909, ISBN 9788122408263 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]