Одноветвевое локальное кольцо

В алгебраической геометрии локальное кольцо A называется одноветвевым, если приведенное кольцо A _red (полученное факторизацией A по его нильрадикалу ) является областью целостности , а целое замыкание B кольца A _red также является локальным кольцом. Одноветвевое локальное кольцо называется геометрически одноветвевым , если поле вычетов кольца B является чисто неотделимым расширением поля вычетов кольца A _red . Комплексное многообразие X называется топологически одноветвленным в точке x, если для всех дополнений Y замкнутых алгебраических подмножеств X существует фундаментальная система окрестностей (в классической топологии) x , пересечение которой с Y связно.

В частности, нормальное кольцо является одноветвистым. Понятия одноветвевых и геометрически одноветвевых точек используются в некоторых теоремах алгебраической геометрии. Например, есть следующий результат:

Теорема Пусть X и Y — две целые локально нётеровы схемы и $f\colon X\to Y$ собственный доминантный морфизм . Обозначим их функциональные поля через K(X) и K(Y) соответственно. Предположим, что алгебраическое замыкание K(Y) в K(X) имеет сепарабельную степень n и что $y\in Y$ является одноветвистым. Тогда волокно $f^{-1}(y)$ имеет не более n связных компонент. В частности, если f бирациональна . , то слои одноветвевых точек связны

В EGA теорема получена как следствие основной теоремы Зариского .