Алгебраическое целое число

В теории алгебраических чисел алгебраическое целое число — это комплексное число , являющееся целым по целым числам . То есть целое алгебраическое число является комплексным корнем некоторого монического многочлена ( многочлена которого , старший коэффициент равен 1), коэффициенты которого являются целыми числами. Множество всех целых алгебраических чисел $A$ замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения и, следовательно, является коммутативным подкольцом комплексных чисел.

Кольцо целых чисел поля K $,$ OK $, A$ является пересечением K $числового$ и $обозначаемое$ можно охарактеризовать как максимальный порядок поля его также $K.$ : Каждое целое алгебраическое число принадлежит кольцу целых чисел некоторого числового поля. Число $α$ является целым алгебраическим числом тогда и только тогда, когда кольцо $\mathbb {Z} [\alpha ]$ как конечно порождена абелева группа , т. е. как $\mathbb {Z}$ - модуль .

Определения

Ниже приведены эквивалентные определения целого алгебраического числа. Пусть $K$ — числовое поле (т. е. конечное расширение поля $\mathbb {Q}$ , поле рациональных чисел ), другими словами, $K=\mathbb {Q} (\theta )$ для некоторого алгебраического числа $\theta \in \mathbb {C}$ по теореме о примитивном элементе .

$α \in K$ является целым алгебраическим числом, если существует монический полином $f(x)\in \mathbb {Z} [x]$ такой, что $ж (α) знак равно 0$ .
$α \in K$ является целым алгебраическим числом, если минимальный монический многочлен от $α$ над $\mathbb {Q}$ находится в $\mathbb {Z} [x]$ .
$α \in K$ — целое алгебраическое число, если $\mathbb {Z} [\alpha ]$ является конечно порожденным $\mathbb {Z}$ -модуль.
$α \in K$ является целым алгебраическим числом, если существует ненулевое конечно порожденное $\mathbb {Z}$ - субмодуль $M\subset \mathbb {C}$ такой, что $αM \subseteq M$ .

Алгебраические целые числа являются частным случаем целых элементов расширения кольца. В частности, целое алгебраическое число является целым элементом конечного расширения. $K/\mathbb {Q}$ .

Примеры

Единственные целые алгебраические числа, которые встречаются в множестве рациональных чисел, — это целые числа. Другими словами, пересечение $\mathbb {Q}$ и $А$ точно $\mathbb {Z}$ . Рациональное число $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ a / b ⁠$ не является целым алгебраическим числом, если $b$ не делит $a$ . Старшим коэффициентом полинома $bx - a$ является целое число $b$ .
Квадратный корень ${\sqrt {n}}$ неотрицательного целого числа $n$ является алгебраическим целым числом, но иррационально , если только $n$ не является полным квадратом .
Если $d$ — целое число без квадратов, то расширение $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)$ — квадратичное поле рациональных чисел. Кольцо целых алгебраических чисел $O K$ содержит ${\sqrt {d}}$ так как это корень монического многочлена $x 2 - д$ . Более того, если $d \equiv 1 mod 4$ , то элемент ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$ также является целым алгебраическим числом. Он удовлетворяет полиному $x 2 - х + ⁠ 1 / 4 ⁠ (1 - d)$ , где постоянный член $⁠ 1/4 ⁠ (1 - d)$ целое число. Полное кольцо целых чисел генерируется ${\sqrt {d}}$ или ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$ соответственно. см. в разделе Квадратное целое число . Дополнительную информацию
Кольцо целых чисел поля $F=\mathbb {Q} [\alpha ]$ , $а = 3 \sqrt m$ имеет следующий целочисленный базис , записывая $m = hk 2$ для двух без квадратов простых целых чисел взаимно $h$ и $k$ : ^[1] ${\begin{cases}1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}\pm k^{2}\alpha +k^{2}}{3k}}&m\equiv \pm 1{\bmod {9}}\\1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}}{k}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
Если $ζ n$ — примитивный $корень n-й$ степени из единицы , то кольцо целых чисел кругового поля $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ это именно $\mathbb {Z} [\zeta _{n}]$ .
Если $α$ — целое алгебраическое число, то $β = н \sqrt α$ — еще одно алгебраическое целое число. Полином для $β$ получается заменой $x н$ в полиноме для $α$ .

Непример

Если $P (x)$ является примитивным полиномом с целыми коэффициентами, но не является моническим, $P$ неприводим и по $\mathbb {Q}$ , то ни один из корней $P$ не является целым алгебраическим числом (но является алгебраическим числом ). Здесь примитив используется в том смысле, что старший общий делитель коэффициентов $P$ равен 1, что слабее, чем требование, чтобы коэффициенты были попарно относительно простыми.

Конечное поколение расширения кольца

Для любого $α$ расширение кольца (в том смысле, что эквивалентно расширению поля ) целых чисел посредством $α$ , обозначаемое $\mathbb {Z} (\alpha )\equiv \{\sum _{i=0}^{n}\alpha ^{i}z_{i}|z_{i}\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} \}$ , конечно порождено тогда и только тогда, когда $α$ — целое алгебраическое число.

Доказательство аналогично доказательству соответствующего факта относительно алгебраических чисел , с $\mathbb {Q}$ там заменен на $\mathbb {Z}$ здесь, а понятие степени расширения поля заменено конечным порождением (используя тот факт, что $\mathbb {Z}$ конечно порождена сама); только неотрицательные степени $α$ единственное требуемое изменение состоит в том, что в доказательстве участвуют .

Аналогия возможна, поскольку и целые алгебраические числа, и алгебраические числа определяются как корни монических многочленов над любым из них. $\mathbb {Z}$ или $\mathbb {Q}$ , соответственно.

Кольцо

Сумма, разность и произведение двух целых алгебраических чисел является целым алгебраическим числом. В общем, их частного нет. Таким образом, целые алгебраические числа образуют кольцо .

Это можно показать аналогично соответствующему доказательству для алгебраических чисел , используя целые числа $\mathbb {Z}$ вместо рациональных объяснений $\mathbb {Q}$ .

Можно также явно построить используемый монический полином, который обычно имеет более высокую степень, чем у исходных алгебраических целых чисел, взяв результирующие и разложив на множители. Например, если $х 2 - x - 1 =$ и $03 - y - 1 = 0$ и $z = xy$ , затем исключение $x$ и $y$ из $z - xy = 0$ и полиномов, удовлетворяющих $x$ и $y$ с использованием полученного результата, дает $z 6 - 3 з 4 - 4 з 3 + я 2 + z - 1 = 0$ , которое неприводимо и представляет собой моническое уравнение, которому удовлетворяет произведение. (Чтобы увидеть, что $xy$ является корнем $x$ -результата $z - xy$ и $x 2 - x - 1$ , можно использовать тот факт, что результат содержится в идеале , порожденном двумя входными полиномами.)

Интегральное закрытие

Каждый корень монического многочлена, коэффициенты которого являются целыми алгебраическими числами, сам по себе является целым алгебраическим числом. Другими словами, целые алгебраические числа образуют кольцо, целозамкнутое в любом из своих расширений.

Опять же, доказательство аналогично соответствующему доказательству для чисел замкнутых алгебраически .

Дополнительные факты

Любое число, которое можно составить из целых чисел с корнями, сложением и умножением, является алгебраическим целым числом; но не все целые алгебраические числа являются такими конструктивными: в наивном смысле большинство корней неприводимых квинтик таковыми не являются. Это теорема Абеля-Руффини .
Кольцо целых алгебраических чисел является областью Безу , как следствие теоремы о главном идеале .
Если унитарный многочлен, связанный с целым алгебраическим числом, имеет постоянный член 1 или -1, то обратное значение этого целого алгебраического числа также является целым алгебраическим числом, и каждый из них является единицей , элементом группы единиц кольца целых алгебраических чисел.
Если $x$ — алгебраическое число, то $a n x$ — целое алгебраическое число, где $x$ удовлетворяет полиному $p (x)$ с целыми коэффициентами и где $a n x н$ является членом высшей степени $p (x)$ . Значение $y = a n x$ является целым алгебраическим числом, поскольку оно является корнем $q (y) = a п - 1 n p (y / an — монический)$ , где $q (y)$ многочлен с целыми коэффициентами.
Если $x$ — алгебраическое число, то его можно записать как отношение целого алгебраического числа к целому ненулевому алгебраическому числу. Фактически, знаменатель всегда можно выбрать как целое положительное число. Соотношение $| п | х / | п | $ , где $x$ удовлетворяет полиному $p (x)$ с целыми коэффициентами и где $a n x н$ является членом высшей степени $p (x)$ .
Единственными рациональными алгебраическими целыми числами являются целые числа. Таким образом, если $α$ — целое алгебраическое число и $\alpha \in \mathbb {Q}$ , затем $\alpha \in \mathbb {Z}$ . Это прямой результат теоремы о рациональном корне для случая монического многочлена.

См. также

Ссылки

^ Маркус, Дэниел А. (1977). Числовые поля (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . гл. 2, с. 38 и бывш. 41. ИСБН 978-0-387-90279-1 .

Стейн, Уильям . Алгебраическая теория чисел: вычислительный подход (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2 ноября 2013 г.

[1] Маркус, Дэниел А. (1977). Числовые поля (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . гл. 2, с. 38 и бывш. 41. ИСБН 978-0-387-90279-1 .

[1]