Поднимаемся и опускаемся

В коммутативной алгебре , разделе математики , «восхождение вверх» и «спуск вниз» — это термины, которые относятся к определенным свойствам цепочек простых идеалов в целочисленных расширениях .

Фраза « подниматься вверх» относится к случаю, когда цепочку можно расширить за счет « включения вверх », а фраза «подниматься вниз» относится к случаю, когда цепочку можно продлить за счет «включения вниз».

Основными результатами являются теоремы Коэна-Зейденберга , которые были доказаны Ирвином С. Коэном и Абрахамом Зайденбергом . Они известны как теоремы о повышении и понижении .

Поднимаемся и опускаемся

Пусть A ⊆ B — расширение коммутативных колец .

Теоремы о восхождении и нисхождении дают достаточные условия для того, чтобы цепочку простых идеалов в B , каждый член которой лежит над членами более длинной цепочки простых идеалов из A , можно было продлить до длины цепочки. простых идеалов в A .

Ложь и несравнимость

Для начала исправим некоторую терминологию. Если ${\mathfrak {p}}$ и ${\mathfrak {q}}$ являются простыми идеалами A B и что соответственно, такие,

{\mathfrak {q}}\cap A={\mathfrak {p}}

(Обратите внимание, что ${\mathfrak {q}}\cap A$ автоматически является простым идеалом A ), то мы говорим, что ${\mathfrak {p}}$ лежит под ${\mathfrak {q}}$ и это ${\mathfrak {q}}$ лежит над ${\mathfrak {p}}$ . В общем случае говорят, что кольцевое расширение A ⊆ B коммутативных колец удовлетворяет свойству лежания над, если каждый простой идеал ${\mathfrak {p}}$ A лежит при некотором простом идеале ${\mathfrak {q}}$ Б.

расширение A ⊆ B Говорят, что удовлетворяет свойству несравнимости, если всякий раз, когда ${\mathfrak {q}}$ и ${\mathfrak {q}}'$ — различные простые числа B, лежащие над простым числом ${\mathfrak {p}}$ в А , тогда ${\mathfrak {q}}$ ⊈ ${\mathfrak {q}}'$ и ${\mathfrak {q}}'$ ⊈ ${\mathfrak {q}}$ .

Подъем

расширение кольца A ⊆ B Говорят, что удовлетворяет свойству подъема вверх, если всякий раз, когда

{\mathfrak {p}}_{1}\subseteq {\mathfrak {p}}_{2}\subseteq \!\!\;\cdots \cdots \cdots \!\!\,\subseteq {\mathfrak {p}}_{n}

представляет собой цепочку простых идеалов A и

{\mathfrak {q}}_{1}\subseteq {\mathfrak {q}}_{2}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q}}_{m}

— цепочка простых идеалов B с m < n и такая, что ${\mathfrak {q}}_{i}$ лежит над ${\mathfrak {p}}_{i}$ для 1 ≤ i ≤ m последняя цепочка может быть продолжена до цепочки

{\mathfrak {q}}_{1}\subseteq {\mathfrak {q}}_{2}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q}}_{m}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q}}_{n}

такой, что ${\mathfrak {q}}_{i}$ лежит над ${\mathfrak {p}}_{i}$ для каждого 1 ≤ i ≤ n .

В ( Каплански, 1970 ) показано, что если расширение A ⊆ B удовлетворяет свойству подъема, то оно также удовлетворяет свойству перекрытия.

Спускаясь

кольцевое расширение A ⊆ B Говорят, что удовлетворяет свойству спуска, если всякий раз, когда

{\mathfrak {p}}_{1}\supseteq {\mathfrak {p}}_{2}\supseteq \!\!\;\cdots \cdots \cdots \!\!\,\supseteq {\mathfrak {p}}_{n}

представляет собой цепочку простых идеалов A и

{\mathfrak {q}}_{1}\supseteq {\mathfrak {q}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {q}}_{m}

— цепочка простых идеалов B с m < n и такая, что ${\mathfrak {q}}_{i}$ лежит над ${\mathfrak {p}}_{i}$ для 1 ≤ i ≤ m последняя цепочка может быть продолжена до цепочки

{\mathfrak {q}}_{1}\supseteq {\mathfrak {q}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {q}}_{m}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {q}}_{n}

такой, что ${\mathfrak {q}}_{i}$ лежит над ${\mathfrak {p}}_{i}$ для каждого 1 ≤ i ≤ n .

Существует обобщение случая расширения колец с помощью кольцевых морфизмов. Пусть f : A → B — (единичный) кольцевой гомоморфизм , так что B — кольцевое расширение f ( A ). Тогда f говорят, что удовлетворяет свойству подъема, свойство подъема выполняется для f ( A ) в B. если

Аналогично, если B является кольцевым расширением f ( A ), то f говорят, что удовлетворяет свойству спуска вниз , если свойство спуска выполняется для f ( A ) в B .

В случае обычных кольцевых расширений, таких как A ⊆ B , подходящим отображением является карта включения .

Теоремы о повышении и понижении

Обычные формулировки теорем о подъеме и опускании относятся к расширению кольца A ⊆ B :

(Поднимаясь вверх) Если B является целым расширением A , то это расширение удовлетворяет свойству подъема вверх (и, следовательно, свойству лежания сверху) и свойству несравнимости.
(Спускаясь вниз) Если B — целочисленное расширение A , B — область и A целозамкнуто в своем поле частных, то расширение (помимо восходящего, перележащего и несравнимого) удовлетворяет условию идущего - вниз имущество.

Есть еще одно достаточное условие свойства снижения:

Если A ⊆ B — плоское расширение коммутативных колец, то выполнено свойство спуска. ^[1]

Доказательство : ^[2] Пусть p ₁ ⊆ p ₂ — простые идеалы кольца A , и пусть q ₂ — простой идеал кольца B такой, что q ₂ ∩ A = p ₂ . Мы хотим доказать, что существует простой идеал q ₁ из B, содержащийся в q _2, такой, что q ₁ ∩ A = p ₁ . Так как A ⊆ B — плоское расширение колец, то A _{p ₂} ⊆ B _{q ₂} — плоское расширение колец. В действительности A _{p ₂} ⊆ B _{q ₂} является точно плоским расширением колец, поскольку отображение включения A _{p ₂} → B _{q ₂} является локальным гомоморфизмом. Следовательно, индуцированное отображение спектров Spec( B _{q ₂} ) → Spec( A _{p ₂} ) сюръективно и существует простой идеал B _{q ₂} , который стягивается к простому идеалу p ₁ A _{p ₂} группы A _{p ₂} . Сжатием этого простого идеала B _{q ₂} в B является простой идеал q ₁ B , содержащийся в q ₂ , который сжимается до p ₁ . Доказательство завершено. КЭД

Ссылки

^ Это следует из гораздо более общей леммы Брунса-Герцога, леммы A.9 на странице 415.
^ Мацумура, стр. 33, (5.D), теорема 4

Атья, М.Ф. и И.Г. Макдональд , Введение в коммутативную алгебру , Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9 МР 242802
Винфрид Брунс; Юрген Херцог, кольца Коэна-Маколея . Кембриджские исследования по высшей математике, 39. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1993. xii+403 стр. ISBN 0-521-41068-1
Коэн, И.С.; Зайденберг, А. (1946). «Первые идеалы и интегральная зависимость» . Бык. амер. Математика. Соц . 52 (4): 252–261. дои : 10.1090/s0002-9904-1946-08552-3 . МР 0015379 .
Каплански, Ирвинг (1970). Коммутативные кольца . Аллин и Бэкон.
Мацумура, Хидеюки (1970). Коммутативная алгебра . Бенджамина. ISBN 978-0-8053-7025-6 .
Шарп, Р.Ю. (2000). «13 Интегральная зависимость от подколец (13.38 Теорема о повышении, стр. 258–259; 13.41 Теорема о понижении, стр. 261–262)». Шаги коммутативной алгебры . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 51 (Второе изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. xii+355. ISBN 0-521-64623-5 . МР 1817605 .

[1] Это следует из гораздо более общей леммы Брунса-Герцога, леммы A.9 на странице 415.

[2] Мацумура, стр. 33, (5.D), теорема 4

[1]

[2]