Расщепление простых идеалов в расширениях Галуа

В математике взаимодействие между группой Галуа G L расширения Галуа числового поля K и тем, как простые идеалы P кольца целых чисел разлагаются _OK на множители как произведения простых идеалов поля , _OL дает один из самых богатых примеров. части алгебраической теории чисел . Расщепление простых идеалов в расширениях Галуа иногда приписывают Давиду Гильберту , называя это теорией Гильберта . Существует геометрический аналог для разветвленных накрытий римановых поверхностей только один вид подгруппы G , который проще в том смысле, что нужно рассматривать , а не два. Это, конечно, было знакомо и до Гильберта.

Определения

Пусть L / K — конечное расширение числовых полей, и пусть O _и L — _{соответствующее} кольцо целых чисел K L и Z соответственно, которые определяются как интегральное замыкание целых чисел OK в рассматриваемом поле.

{\begin{array}{ccc}O_{K}&\hookrightarrow &O_{L}\\\downarrow &&\downarrow \\K&\hookrightarrow &L\end{array}}

Наконец, пусть p — ненулевой простой идеал в или _OK , что то же самое, максимальный идеал , так что вычет O _K / p является полем .

Из основной теории одномерных колец следует существование единственного разложения

pO_{L}=\prod _{j=1}^{g}P_{j}^{e_{j}}

идеала pOL _, порожденного в OL _в посредством p, произведение различных максимальных Pj _{идеалов} с ej _{кратностями} .

Поле F = O _K / p естественным образом вкладывается в F _j = O _L / P _j для каждого j , степень f _j = [ O _L / P _j : O _K / p ] этого расширения поля вычетов называется степенью инерции поля вычетов . Pj над p .

Кратность _ej называется ветвления индексом Pj _p над . оно больше 1 Если для некоторого j , расширение поля L / K называется разветвленным в точке p (или мы говорим, что p разветвляется в L или что оно разветвлено в L ). В противном случае L / K называется неразветвленным в точке p . Если это так, то по теореме об остатках фактор O _L / pOL _{китайской} является произведением полей F _j . Расширение L / K разветвлено ровно на те простые числа, которые делят относительный дискриминант , следовательно, расширение неразветвлено во всех простых идеалах, кроме конечного числа.

Мультипликативность идеальной нормы предполагает

[L:K]=\sum _{j=1}^{g}e_{j}f_{j}.

Если f _j = e _j = 1 для каждого j (и, следовательно, g [ L : K ]), мы говорим, что p полностью распадается в L. = Если g = 1 и f ₁ = 1 (и, следовательно, e ₁ = [ L : K ]), мы говорим, что p полностью разветвляется в L . Наконец, если g и e1 _что = 1 (и, следовательно, [ ₌ L : K ] ), мы говорим, p инертен = 1 в L. f1

Ситуация с Галуа

В дальнейшем расширение L / K предполагается как расширение Галуа . Тогда лемму о простом избегании можно использовать, чтобы показать группу Галуа. $G=\operatorname {Gal} (L/K)$ действует на Pj _. транзитивно То есть простые идеальные факторы в L образуют одну орбиту при автоморфизмах L над p K . Из этого и из единственной теоремы факторизации следует, что f = f _j и e = e _j не зависят от j ; то, чего, конечно, не должно быть в случае расширений, не являющихся Галуа. Основные отношения тогда читаются

pO_{L}=\left(\prod _{j=1}^{g}P_{j}\right)^{e}

.

и

[L:K]=efg.

Соотношение выше показывает, что [ L : K ]/ ef равно числу g простых множителей числа p в O _L . По формуле стабилизатора орбиты это число также равно | Г |/| Д _{П _Дж} | для каждого j , где D _{P _j} , разложения группа P _j , является подгруппой элементов G, отправляющих данный P _j самому себе. Поскольку степень L / K и порядок G равны согласно основной теории Галуа, отсюда следует, что порядок группы разложения D _{P _j} равен ef для каждого j .

Эта группа разложения содержит подгруппу I _{P _j} , называемую инерции группой P _j , состоящую из автоморфизмов L / K , которые индуцируют тождественный автоморфизм на F _j . Другими словами, I _{P _j} — ядро отображения приведения $D_{P_{j}}\to \operatorname {Gal} (F_{j}/F)$ . Можно показать, что это отображение сюръективно, и отсюда следует, что $\operatorname {Gal} (F_{j}/F)$ изоморфен DP _{j _{, а}} / I _{P _j} порядок группы инерции I _{P _j} равен e .

Теория элемента Фробениуса идет дальше и идентифицирует элемент DP _{j _{который соответствует автоморфизму Фробениуса в}} / IP _{j _j} для данного , группе Галуа конечного расширения поля F _j / F . В неразветвленном случае порядок DP _{j _{тривиален, поэтому}} равен f , а I _{P _j} элемент Фробениуса в этом случае является элементом DP _{и, следовательно, также _j} элементом G . При изменении j группы D _{P _j} являются сопряженными подгруппами внутри G : Вспоминая, что G действует транзитивно на P _j , проверяют, что если $\sigma$ отображает Pj в Pj _' , $\sigma D_{P_{j}}\sigma ^{-1}=D_{P_{j'}}$ . Следовательно, если G — абелева группа, элемент Фробениуса неразветвленного простого числа P не зависит от того, какой P _j мы возьмем. Более того, в абелевом случае сопоставление неразветвленного простого числа K с его Фробениусом и мультипликативное расширение определяет гомоморфизм из группы неразветвленных идеалов K в G . Это отображение, известное как отображение Артина , является важнейшим компонентом теории полей классов , которая изучает конечные абелевы расширения заданного числового K. поля ^[1]

В геометрическом аналоге для комплексных многообразий или алгебраической геометрии над алгебраически замкнутым полем понятия группы разложения и группы инерции совпадают. Там, учитывая разветвленное накрытие Галуа, все точки, кроме конечного числа, имеют одинаковое количество прообразов .

Расщепление простых чисел в расширениях, не являющихся Галуа, можно изучать, первоначально используя поле расщепления , то есть расширение Галуа, которое несколько больше. Например, кубические поля обычно «регулируются» содержащим их полем шестой степени.

Пример — целые числа Гаусса

В этом разделе описывается расщепление простых идеалов в расширении поля Q (i)/ Q . То есть мы берем K = Q и L = Q (i), поэтому OK _— это просто Z , а O _L = Z [i] — кольцо гауссовских целых чисел . Хотя этот случай далеко не репрезентативен — в конце концов, Z [i] имеет уникальную факторизацию , а квадратичных полей с уникальной факторизацией не так много — он демонстрирует многие особенности теории.

Записывая G для группы Галуа Q (i)/ Q и σ для автоморфизма комплексного сопряжения в G , необходимо рассмотреть три случая.

Простое число p = 2

Простое число 2 числа Z разветвляется в Z [i]:

(2)=(1+i)^{2}

Поэтому индекс ветвления здесь e = 2. Поле вычетов имеет вид

O_{L}/(1+i)O_{L}

которое представляет собой конечное поле с двумя элементами. Группа разложения должна быть равна всему G , поскольку существует только одно простое число Z [i] выше 2. Группа инерции также представляет собой все G , поскольку

a+bi\equiv a-bi{\bmod {1}}+i

для любых целых чисел a и b , как $a+bi=2bi+a-bi=(1+i)\cdot (1-i)bi+a-bi\equiv a-bi{\bmod {1}}+i$ .

Фактически, 2 — единственное простое число, которое разветвляется в Z i], поскольку каждое разветвляющееся простое число должно делить дискриминант Z [ [i], который равен −4.

Простые числа p ≡ 1 по модулю 4

Любое простое число p ≡ 1 mod 4 распадается на два различных простых идеала в Z [i]; это проявление теоремы Ферма о суммах двух квадратов . Например:

13=(2+3i)(2-3i)

Группами разложения в этом случае являются тривиальная группа {1}; действительно, автоморфизм σ меняет местами два простых числа (2 + 3i) и (2 - 3i), поэтому он не может находиться в группе разложения ни одного простого числа. Группа инерции, являющаяся подгруппой группы разложения, также является тривиальной группой. Имеется два поля вычетов, по одному для каждого простого числа.

O_{L}/(2\pm 3i)O_{L}\ ,

оба изоморфны конечному полю из 13 элементов. Элемент Фробениуса — это тривиальный автоморфизм; это означает, что

(a+bi)^{13}\equiv a+bi{\bmod {2}}\pm 3i

для любых целых чисел a и b .

Простые числа p ≡ 3 по модулю 4

Любое простое число p ≡ 3 mod 4 остаётся инертным в Z [ $i$ ]; то есть он не расщепляется. Например, (7) остается простым в Z [ $i$ ]. В этой ситуации группа разложения вся состоит из G , опять же потому, что существует только один простой множитель. Однако эта ситуация отличается от случая p = 2, поскольку теперь σ не действует тривиально на поле вычетов

O_{L}/(7)O_{L}\ ,

которое представляет собой конечное поле с 7 ² = 49 элементов. Например, разница между $1+i$ и $\sigma (1+i)=1-i$ является $2i$ , которое заведомо не делится на 7. Следовательно, группа инерции — это тривиальная группа {1}. Группа Галуа этого поля вычетов над подполем Z /7 Z имеет порядок 2 и порождается образом элемента Фробениуса. Элемент Фробениуса — это не что иное, как σ; это означает, что

(a+bi)^{7}\equiv a-bi{\bmod {7}}

для любых целых чисел a и b .

Краткое содержание

Премьер в Z	Как оно распадается на Z [i]	Инерционная группа	Группа разложения
2	Разветвляется с индексом 2	Г	Г
р ≡ 1 против 4	Разделяется на два отдельных фактора	1	1
р ≡ 3 против 4	Остается инертным	1	Г

Вычисление факторизации

Предположим, что мы хотим определить факторизацию простого идеала из OK в _P простые числа OL _из . Следующая процедура (Нойкирх, стр. 47) во многих случаях решает эту проблему. Стратегия состоит в том, чтобы выбрать целое число θ в O _L так, чтобы L генерировалось над K с помощью θ (существование такого θ гарантировано согласно теореме о примитивном элементе ), а затем изучить минимальный полином H ( X ) от θ над K. ; это монический многочлен с коэффициентами OK _из . Уменьшая коэффициенты H ( X ) по модулю P получаем унитарный полином h ( X ) с коэффициентами из F , (конечного) поля вычетов OK _P / , мы . Предположим, что h ( X ) факторизуется в кольце полиномов F [ X ] как

h(X)=h_{1}(X)^{e_{1}}\cdots h_{n}(X)^{e_{n}},

где h _j — различные монические неприводимые многочлены в F [ X ]. Тогда, пока P не является одним из конечного числа исключительных простых чисел (точное условие описано ниже), факторизация P имеет следующий вид:

PO_{L}=Q_{1}^{e_{1}}\cdots Q_{n}^{e_{n}},

где Q _j — различные простые OL _идеалы . Более того, степень инерции каждого Q _j равна степени соответствующего многочлена h _j существует явная формула , и для Q _j :

Q_{j}=PO_{L}+h_{j}(\theta )O_{L},

где h _j обозначает здесь подъем многочлена h _j до K [ X ].

В случае Галуа все степени инерции равны, и все индексы ветвления e ₁ = ... = en _равны .

Исключительные простые числа, для которых не обязательно справедлив приведенный выше результат, — это те, которые не являются взаимно простыми с проводником кольца O _K [θ]. Проводник определяется как идеальный

\{y\in O_{L}:yO_{L}\subseteq O_{K}[\theta ]\};

насколько порядок OK _{он измеряет ,} [θ] далек от всего кольца целых чисел (максимальный порядок) O _L .

Существенное предостережение заключается в том, что существуют примеры L / K и P, при которых не существует доступного θ, удовлетворяющего вышеуказанным гипотезам (см., например, ^[2]). Следовательно, приведенный выше алгоритм не может быть использован для факторизации таких P , и необходимо использовать более сложные подходы, такие как описанный в . ^[3]

Пример

Рассмотрим еще раз случай гауссовских целых чисел. Мы принимаем θ за мнимую единицу $i$ , с минимальным полиномом H ( X ) = X ² + 1. Так как Z [ $i$ ] — все кольцо целых чисел Q ( $i$ ), проводник является единичным идеалом, поэтому исключительных простых чисел нет.

Для P = (2) нам нужно работать в поле Z /(2) Z , что сводится к факторизации многочлена X ² + 1 модуль 2:

X^{2}+1=(X+1)^{2}{\pmod {2}}.

Следовательно, существует только один простой множитель со степенью инерции 1 и индексом ветвления 2, и он определяется выражением

Q=(2)\mathbf {Z} [i]+(i+1)\mathbf {Z} [i]=(1+i)\mathbf {Z} [i].

Следующий случай — P = ( p ) для простого числа p ≡ 3 mod 4. Для конкретности возьмем P = (7). Полином X ² + 1 неприводим по модулю 7. Следовательно, существует только один простой множитель со степенью инерции 2 и индексом ветвления 1, и он определяется выражением