Первичное разложение

В математике теорема Ласкера -Нётер утверждает, что каждое нётерово кольцо является кольцом Ласкера , что означает, что каждый идеал может быть разложен как пересечение, называемое первичным разложением , конечного числа первичных идеалов (которые связаны, но не совсем с тем же самым). как, степени простых идеалов ). Теорема была впервые доказана Эмануэлем Ласкером ( 1905 ) для частного случая колец многочленов и колец сходящихся степенных рядов , а в полной общности доказана Эмми Нётер ( 1921 ).

Теорема Ласкера-Нётер является расширением фундаментальной теоремы арифметики и, в более общем смысле, фундаментальной теоремы о конечно порожденных абелевых группах на все нётеровы кольца. Теорема играет важную роль в алгебраической геометрии , утверждая, что каждое алгебраическое множество может быть однозначно разложено на конечное объединение неприводимых компонентов .

Он имеет прямое расширение на модули, утверждая, что каждый подмодуль конечно порожденного модуля над нётеровым кольцом является конечным пересечением примарных подмодулей. Сюда относится случай колец как частный случай, когда кольцо рассматривается как модуль над самим собой, так что идеалы являются подмодулями. Это также обобщает первичную форму разложения структурной теоремы для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов , а для частного случая колец многочленов над полем обобщает разложение алгебраического множества в конечное объединение (неприводимых) многообразий. .

Первый алгоритм вычисления примарных разложений колец многочленов над полем характеристики 0 была опубликована ученицей Нётер Гретой Герман ( 1926 ). Разложение, вообще говоря, не выполняется для некоммутативных нётеровых колец. Нётер привела пример некоммутативного нётерова кольца с правым идеалом, не являющимся пересечением первичных идеалов.

Первичное разложение идеала

Позволять $R$ — нётерово коммутативное кольцо. Идеал $I$ из $R$ называется первичным , если он является собственным идеалом и для каждой пары элементов $x$ и $y$ в $R$ такой, что $xy$ находится в $I$, или $x$ или какая-то сила $y$ находится в $I$; эквивалентно, каждый делитель нуля в частном $R/I$ является нильпотентным. Радикал идеала первичного $Q$ является высшим идеалом и $Q$ Говорят, что это ${\mathfrak {p}}$-первичный для ${\mathfrak {p}}={\sqrt {Q}}$.

Позволять $I$ быть идеалом в $R$. Затем $I$ имеет неизбыточное первичное разложение на первичные идеалы:

$I=Q_{1}\cap \cdots \cap Q_{n}\$.

Нерезервирование означает:

• Удаление любого из $Q_{i}$ меняет пересечение, т.е. для каждого $i$ у нас есть: $\cap _{j\neq i}Q_{j}\not \subset Q_{i}$.
• Главные идеалы ${\sqrt {Q_{i}}}$ все различны.

Более того, это разложение уникально в двух отношениях:

• Набор $\{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}$ однозначно определяется $I$, и
• Если ${\mathfrak {p}}={\sqrt {Q_{i}}}$ является минимальным элементом указанного выше множества, то $Q_{i}$ однозначно определяется $I$; фактически, $Q_{i}$ является прообразом $IR_{\mathfrak {p}}$ под картой локализации $R\to R_{\mathfrak {p}}$.

Первичные идеалы, соответствующие неминимальным простым идеалам над $I$ как правило, не уникальны (см. пример ниже). Информацию о существовании разложения см. в разделе #Primary разложение из связанных простых чисел ниже.

Элементы $\{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}$ называются простыми делителями $I$ или простые числа, принадлежащие $I$. На языке теории модулей, как обсуждается ниже, множество $\{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}$ также является набором связанных простых чисел $R$-модуль $R/I$. Явно это означает, что существуют элементы $g_{1},\dots ,g_{n}$ в $R$ такой, что

${\sqrt {Q_{i}}}=\{f\in R\mid fg_{i}\in I\}.$

Для сокращения некоторые авторы называют ассоциированное простое число $R/I$ просто ассоциированное простое число $I$ (обратите внимание, что эта практика будет противоречить использованию в теории модулей).

• Минимальные элементы $\{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}$ такие же, как минимальные простые идеалы, содержащие $I$ и называются изолированными простыми числами .
• С другой стороны, неминимальные элементы называются встроенными простыми числами .

В случае кольца целых чисел $\mathbb {Z}$, теорема Ласкера-Нётер эквивалентна основной теореме арифметики . Если целое число $n$ имеет простую факторизацию $n=\pm p_{1}^{d_{1}}\cdots p_{r}^{d_{r}}$, то первичное разложение идеала $\langle n\rangle$ созданный $n$ в $\mathbb {Z}$, является

$\langle n\rangle =\langle p_{1}^{d_{1}}\rangle \cap \cdots \cap \langle p_{r}^{d_{r}}\rangle .$

Аналогично, в уникальной области факторизации , если элемент имеет простую факторизацию $f=up_{1}^{d_{1}}\cdots p_{r}^{d_{r}},$ где $u$ является единицей , то первичное разложение главного идеала, порожденного $f$ является

$\langle f\rangle =\langle p_{1}^{d_{1}}\rangle \cap \cdots \cap \langle p_{r}^{d_{r}}\rangle .$

Примеры

Примеры раздела предназначены для иллюстрации некоторых свойств первичных разложений, которые могут показаться удивительными или нелогичными. Все примеры являются идеалами в кольце многочленов над полем k .

Пересечение против продукта

Первичное разложение в $k[x,y,z]$ идеального $I=\langle x,yz\rangle$ является

$I=\langle x,yz\rangle =\langle x,y\rangle \cap \langle x,z\rangle .$

Из-за генератора первой степени I не является продуктом двух более крупных идеалов. Аналогичный пример дан в двух неопределенных числах

$I=\langle x,y(y+1)\rangle =\langle x,y\rangle \cap \langle x,y+1\rangle .$

Первичная и основная мощность

В $k[x,y]$, идеал $\langle x,y^{2}\rangle$ является первичным идеалом, имеющим $\langle x,y\rangle$ как связанное простое число. Это не мощность связанного с ним простого числа.

Неединственность и встроенное простое число

Для каждого натурального числа n первичное разложение в $k[x,y]$ идеального $I=\langle x^{2},xy\rangle$ является

$I=\langle x^{2},xy\rangle =\langle x\rangle \cap \langle x^{2},xy,y^{n}\rangle .$

Соответствующие простые числа

$\langle x\rangle \subset \langle x,y\rangle .$

Пример: пусть N = R = k [ x , y ] для некоторого поля k , и пусть M — идеал ( xy , y ² ). Тогда M имеет два различных минимальных примарных разложения M знак равно ( y ) ∩ ( Икс , y ² ) знак равно ( y ) ∩ ( Икс + y , y ² ).Минимальное простое число — ( y ), а встроенное простое число — ( x , y ).

Несвязанное простое число между двумя связанными простыми числами

В $k[x,y,z],$ идеал $I=\langle x^{2},xy,xz\rangle$ имеет (неуникальное) первичное разложение

$I=\langle x^{2},xy,xz\rangle =\langle x\rangle \cap \langle x^{2},y^{2},z^{2},xy,xz,yz\rangle .$

Соответствующие простые идеалы: $\langle x\rangle \subset \langle x,y,z\rangle ,$ и $\langle x,y\rangle$ — несвязанный простой идеал такой, что

$\langle x\rangle \subset \langle x,y\rangle \subset \langle x,y,z\rangle .$

Сложный пример

За исключением очень простых примеров, первичное разложение может быть трудно вычислить, и результат может быть очень сложным. Следующий пример был разработан для обеспечения такого сложного вывода и, тем не менее, доступен для рукописных вычислений.

Позволять

${\begin{aligned}P&=a_{0}x^{m}+a_{1}x^{m-1}y+\cdots +a_{m}y^{m}\\Q&=b_{0}x^{n}+b_{1}x^{n-1}y+\cdots +b_{n}y^{n}\end{aligned}}$

— два однородных многочлена от x , y , коэффициенты которых $a_{1},\ldots ,a_{m},b_{0},\ldots ,b_{n}$ являются полиномами от других неопределенных $z_{1},\ldots ,z_{h}$ над полем k . То есть P и Q принадлежат $R=k[x,y,z_{1},\ldots ,z_{h}],$ и именно в этом кольце происходит первичное разложение идеала $I=\langle P,Q\rangle$ ищется. Для вычисления первичного разложения мы сначала предполагаем, что 1 — делитель P наибольший и Q. общий

Это условие означает, что I не имеет первичного компонента высоты один. Поскольку I порождается двумя элементами, это означает, что это полное пересечение (точнее, оно определяет алгебраическое множество , которое является полным пересечением), и, таким образом, все первичные компоненты имеют высоту два. Следовательно, ассоциированные простые числа I — это в точности простые идеалы высоты два, I. содержащие

Отсюда следует, что $\langle x,y\rangle$ является ассоциированным простым I. числом

Позволять $D\in k[z_{1},\ldots ,z_{h}]$ быть результирующим по x , y P ​ и Q. однородным Поскольку наибольший общий делитель P и Q является константой, результирующий D не равен нулю, а результирующая теория предполагает, что I содержит все произведения D на моном по x , y степени m + n – 1 . Как $D\not \in \langle x,y\rangle ,$ все эти мономы принадлежат главному компоненту, содержащемуся в $\langle x,y\rangle .$ Этот первичный компонент содержит P и Q , и поведение первичных разложений при локализации показывает, что этот первичный компонент

$\{t|\exists e,D^{e}t\in I\}.$

Короче говоря, у нас есть первичный компонент с очень простым связанным с ним простым числом. $\langle x,y\rangle ,$ таким образом, все его порождающие наборы включают все неопределенные значения.

Другой первичный компонент D. содержит Можно доказать, что если P и Q достаточно общие (например, если коэффициенты P и Q являются различными неопределенными), то существует только еще один первичный компонент, который является простым идеалом и порождается P , Q и D .

Геометрическая интерпретация

В алгебраической геометрии аффинное алгебраическое множество V ( I ) определяется как множество общих нулей идеала I кольца полиномов. $R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}].$

Неизбыточное первичное разложение

$I=Q_{1}\cap \cdots \cap Q_{r}$

of I определяет разложение V ( I ) в объединение алгебраических множеств V ( Q _i ) , которые неприводимы, поскольку не являются объединением двух меньших алгебраических множеств.

Если $P_{i}$ является ассоциированным простым числом $Q_{i}$, затем $V(P_{i})=V(Q_{i}),$ а теорема Ласкера–Нётер показывает, что V ( I ) имеет единственное несократимое разложение на неприводимые алгебраические многообразия.

$V(I)=\bigcup V(P_{i}),$

где объединение ограничено минимальными ассоциированными простыми числами. минимальные ассоциированные простые числа являются основными радикала I. компонентами Эти причине первичное разложение радикала I иногда называют разложением I. По этой простым

Компоненты первичного разложения (а также разложения алгебраического множества), соответствующие минимальным простым числам, называются изолированными , а остальные называются изолированными. встроенный .

Для разложения алгебраических многообразий интересны только минимальные простые числа, но в теории пересечений и, в более общем смысле, в теории схем , полное первичное разложение имеет геометрический смысл.

Первичное разложение по ассоциированным простым числам

В настоящее время принято проводить первичную декомпозицию идеалов и модулей в рамках теории ассоциированных простых чисел . Бурбаки во влиятельном учебнике «Коммутативная алгебра» В частности, этот подход используется .

Пусть R — кольцо, а M — модуль над ним. По определению, ассоциированное простое число — это простой идеал, который является аннулятором ненулевого элемента M ; то есть, ${\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} (m)$ для некоторых $m\in M$ (это подразумевает $m\neq 0$). Аналогично, простой идеал ${\mathfrak {p}}$ является ассоциированным простым числом M, если существует вставка R -модулей $R/{\mathfrak {p}}\hookrightarrow M$.

максимальный элемент множества аннуляторов ненулевых элементов M Можно показать, что является простым идеалом, и, таким образом, когда R - нётерово кольцо, существует ассоциированное простое число M тогда и только тогда, когда M не равно нулю.

Множество ассоциированных простых чисел M обозначается через $\operatorname {Ass} _{R}(M)$ или $\operatorname {Ass} (M)$. Непосредственно из определения

• Если $M=\bigoplus _{i}M_{i}$, затем $\operatorname {Ass} (M)=\bigcup _{i}\operatorname {Ass} (M_{i})$.
• Для точной последовательности $0\to N\to M\to L\to 0$, $\operatorname {Ass} (N)\subset \operatorname {Ass} (M)\subset \operatorname {Ass} (N)\cup \operatorname {Ass} (L)$.
• Если R — нётерово кольцо, то $\operatorname {Ass} (M)\subset \operatorname {Supp} (M)$ где $\operatorname {Supp}$ имеется в виду поддержка . Также набор минимальных элементов $\operatorname {Ass} (M)$ совпадает с множеством минимальных элементов $\operatorname {Supp} (M)$.

Если M — конечно порожденный модуль над R , то существует конечная возрастающая последовательность подмодулей

$0=M_{0}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n-1}\subsetneq M_{n}=M\,$

такой, что каждый фактор / _Mi Mi − ₁ изоморфен $R/{\mathfrak {p}}_{i}$ ради некоторых главных идеалов ${\mathfrak {p}}_{i}$, каждый из которых обязательно находится в поддержке М . Более того, каждое ассоциированное простое число M встречается среди множества простых чисел ${\mathfrak {p}}_{i}$; то есть,

$\operatorname {Ass} (M)\subset \{{\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{n}\}\subset \operatorname {Supp} (M)$.

(Вообще говоря, эти включения не являются равенствами.) В частности, $\operatorname {Ass} (M)$ является конечным множеством, когда M конечно порождено.

Позволять $M$ — конечно порожденный модуль над нетеровым кольцом R , а N — подмодуль M . Данный $\operatorname {Ass} (M/N)=\{{\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{n}\}$, множество связанных простых чисел $M/N$, существуют подмодули $Q_{i}\subset M$ такой, что $\operatorname {Ass} (M/Q_{i})=\{{\mathfrak {p}}_{i}\}$ и

$N=\bigcap _{i=1}^{n}Q_{i}.$

Подмодуль N модуля M называется ${\mathfrak {p}}$-первичный, если $\operatorname {Ass} (M/N)=\{{\mathfrak {p}}\}$. Подмодулем R -модуля R является ${\mathfrak {p}}$-primary как подмодуль тогда и только тогда, когда он является ${\mathfrak {p}}$-первичный идеал; таким образом, когда $M=R$, приведенное выше разложение является именно первичным разложением идеала.

принимая $N=0$, приведенное выше разложение говорит, что набор связанных простых чисел конечно порожденного модуля M такой же, как $\{\operatorname {Ass} (M/Q_{i})|i\}$ когда $0=\cap _{1}^{n}Q_{i}$ (без конечного поколения может быть бесконечно много связанных простых чисел.)

Свойства связанных простых чисел

Позволять $R$ быть нетеровым кольцом. Затем

• Набор делителей нуля на R совпадает с объединением ассоциированных простых чисел R (это потому, что набор делителей нуля R является объединением множества аннуляторов ненулевых элементов, максимальные элементы которых являются ассоциированными простыми числами ).
• По той же причине объединение ассоциированных простых чисел R -модуля M представляет собой в точности множество делителей нуля на M , то есть элемент r такой, что эндоморфизм $m\mapsto rm,M\to M$ не является инъективным.
• Учитывая подмножество $\Phi \subset \operatorname {Ass} (M)$, M -модуль R , существует подмодуль $N\subset M$ такой, что $\operatorname {Ass} (N)=\operatorname {Ass} (M)-\Phi$ и $\operatorname {Ass} (M/N)=\Phi$.
• Позволять $S\subset R$ быть мультипликативным подмножеством, $M$ а $R$-модуль и $\Phi$ совокупность всех простых идеалов $R$ не пересекающийся $S$. Затем $${\mathfrak {p}}\mapsto S^{-1}{\mathfrak {p}},\,\operatorname {Ass} _{R}(M)\cap \Phi \to \operatorname {Ass} _{S^{-1}R}(S^{-1}M)$$ является биекцией. Также, $\operatorname {Ass} _{R}(M)\cap \Phi =\operatorname {Ass} _{R}(S^{-1}M)$.
• Любой простой идеал, минимальный относительно содержащего идеал J, находится в $\mathrm {Ass} _{R}(R/J).$ Эти простые числа являются в точности изолированными простыми числами.
• Модуль M над R имеет конечную длину тогда и только тогда, когда M конечно порожден и $\mathrm {Ass} (M)$ состоит из максимальных идеалов.
• Позволять $A\to B$ — кольцевой гомоморфизм нётеровых колец и F — B -модуля плоского над A. , Тогда для A -модуля E каждого

$\operatorname {Ass} _{B}(E\otimes _{A}F)=\bigcup _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Ass} (E)}\operatorname {Ass} _{B}(F/{\mathfrak {p}}F)$.

Ненетеров случай

Следующая теорема дает необходимые и достаточные условия существования в кольце примарных разложений своих идеалов.

Теорема . Пусть R — коммутативное кольцо. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

1. Каждый идеал в R имеет первичное разложение.
2. R обладает следующими свойствами:
   • каждого собственного идеала I простого идеала P существует x в R - P такой, что ( : x ) является прообразом IRP (L1) Для _и при отображении локализации R → RP _I .
   • (L2) Для каждого идеала I множество всех прообразов I S ⁻¹ R при отображении локализации R → S ⁻¹ R , S, проходящие по всем мультипликативно замкнутым подмножествам R , конечны.

Доказательство приведено в главе 4 книги Атьи – Макдональда в виде серии упражнений.

Существует следующая теорема единственности идеала, имеющего примарное разложение.

Теорема . Пусть R — коммутативное кольцо, а I — идеал. Предположим, что у меня есть минимальное первичное разложение $I=\cap _{1}^{r}Q_{i}$ (примечание: «минимальный» подразумевает ${\sqrt {Q_{i}}}$ различны.) Тогда

1. Набор $E=\left\{{\sqrt {Q_{i}}}|1\leq i\leq r\right\}$ - множество всех простых идеалов из множества $\left\{{\sqrt {(I:x)}}|x\in R\right\}$.
2. Множество минимальных элементов E совпадает с множеством простых идеалов над I. минимальных соответствующий минимальному простому числу P, прообразом IRP Более того, первичный идеал , _{является} , таким образом, однозначно определяется I. и

Теперь для любого коммутативного кольца R , идеала I и минимального простого числа P над I прообраз IRP , _при отображении локализации является наименьшим P -примарным идеалом I. содержащим Таким образом, в рамках предыдущей теоремы первичный идеал Q, соответствующий минимальному простому числу P, является наименьшим P -примарным идеалом, содержащим I , и называется P -примарным компонентом I. также

Например, если мощность P ^н простого числа P имеет первичное разложение, то его P -примарная компонента является n -й символьной P степенью .

Аддитивная теория идеалов

Этот результат является первым в области, известной сейчас как аддитивная теория идеалов, изучающей способы представления идеала как пересечения особого класса идеалов. Решение о «особом классе», например, первичных идеалах, само по себе является проблемой. В случае некоммутативных колец класс третичных идеалов является полезной заменой класса первичных идеалов.

Ссылки

• Атья, М .; Макдональд, И.Г. (1994). Введение в коммутативную алгебру . Аддисон-Уэсли . ISBN  0-201-40751-5 .
• Бурбаки, Коммутативная алгебра.
• Данилов, В.И. (2001) [1994], «Кольцо Ласкера» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра , Тексты для выпускников по математике, том. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-5350-1 , ISBN.  978-0-387-94268-1 , MR   1322960 , особ. раздел 3.3.
• Герман, Грета (1926), «Вопрос о конечном числе шагов в теории полиномиальных идеалов» , Mathematical Annals (на немецком языке), 95 : 736–788, doi : 10.1007/BF01206635 , S2CID   115897210 . Английский перевод в журнале Communications in Computer Algebra 32/3 (1998): 8–30.
• Ласкер, Э. (1905), «К теории модулей и идеалов» , Math. , 60 : 20–116, doi : 10.1007/BF01447495 , S2CID   120367750
• Марков, В.Т. (2001) [1994], «Первичное разложение» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Мацумура, Хидеюки (1970), Коммутативная алгебра
• Нётер, Эмми (1921), «Идеальная теория в кольцевых областях» , Mathematical Annals , 83 (1): 24–66, doi : 10.1007/BF01464225
• Кертис, Чарльз (1952), «Об аддитивной теории идеалов в общих кольцах», American Journal of Mathematics , 74 (3), The Johns Hopkins University Press: 687–700, doi : 10.2307/2372273 , JSTOR   2372273
• Крулль, Вольфганг (1928), «К теории двусторонних идеалов в некоммутативных областях», Mathematical Journal , 28 (1): 481–503, doi : 10.1007/BF01181179 , S2CID   122870138

Внешние ссылки

• «Первичное разложение все еще важно?» . MathOverflow . 21 августа 2012 г.