Третичный идеал

В математике третичный идеал — это двусторонний идеал в возможно некоммутативном кольце , который не может быть выражен как нетривиальное пересечение дробного правого идеала с другим идеалом. Третичные идеалы обобщают первичные идеалы на случай некоммутативных колец . Хотя первичные разложения вообще не существуют для идеалов в некоммутативных кольцах, третичные разложения существуют, по крайней мере, если кольцо нётерово .

Каждый первичный идеал третичен. Третичные идеалы и первичные идеалы совпадают для коммутативных колец. Любому (двустороннему) идеалу может быть сопоставлен третичный идеал, называемый третичным радикалом, определяемый как

$t(I)=\{r\in R{\mbox{ }}|{\mbox{ }}\forall s\notin I,{\mbox{ }}\exists x\in (s){\mbox{ }}x\notin I{\text{ and }}(x)(r)\subset I\}.$

Тогда t ( I всегда содержит I. )

Если R — нётерово кольцо (не обязательно коммутативное), а I — правый идеал в R , то I имеет единственное неизбыточное разложение на третичные идеалы.

$I=T_{1}\cap \dots \cap T_{n}$.

См. также

• Первичный идеал
• Теорема Ласкера – Нётер

Ссылки

• Райли, Дж. А. (1962), «Аксиоматическая теория первичного и третичного разложения», Trans. амер. Математика. Соц. , 105 (2): 177–201, doi : 10.1090/s0002-9947-1962-0141683-4
• Третичный идеал , Математическая энциклопедия, Интернет-справочные материалы Springer.
• Беренс, Эрнст-Август (1972), Теория колец , Verlag Academic Press, ISBN  9780080873572
• Курата, Йошики (1965), «Об аддитивной теории идеалов в неассоциативном кольце», Mathematical Journal , 88 (2): 129–135, doi : 10.1007/BF01112095 , S2CID   119531162