Формально распространенный морфизм
В коммутативной алгебре и алгебраической геометрии морфизм называется формально этальным, если он обладает свойством подъема , аналогичным локальному диффеоморфизму .
Формально этальные гомоморфизмы колец
[ редактировать ]Пусть A — топологическое кольцо и B — топологическая A -алгебра. Тогда B , формально этальна для всех дискретных A -алгебр C , всех нильпотентных идеалов J из C и всех непрерывных A -гомоморфизмов u : B → C / J существует единственное непрерывное отображение если v : B → C , такое, что что u = pv , где p : C → C / J — каноническая проекция. [1]
Формально étale эквивалентно формально гладкому плюс формально неразветвленному . [2]
Формально распространенные морфизмы схем
[ редактировать ]Поскольку структурный пучок схемы естественным образом несет только дискретную топологию, понятие формально этальной для схем аналогично понятию формально этальной для дискретной топологии для колец. То есть морфизм схем f : X → Y , формально этален если для каждой аффинной Y -схемы Z каждый нильпотентный пучок идеалов J на Z с i : Z 0 → Z является замкнутым погружением, определяемым J , и каждый Y -морфизм g : Z 0 → X , существует единственный Y -морфизм s : Z → X такой, что g = si . [3]
Это эквивалентно тому, что — любая Y -схема и J — локально нильпотентный пучок идеалов на Z. Z [4]
Характеристики
[ редактировать ]- Открытые погружения формально плоские. [5]
- Свойство формальной этальности сохраняется при композитах, смене основания и волокнистых изделиях . [6]
- Если f : X → Y и g : Y → Z — морфизмы схем, g формально неразветвлен и gf формально этален, то f формально этален. В частности, если g формально эталь, то f формально эталь тогда и только тогда, когда gf таков. [7]
- Свойство формальной этальности является локальным для источника и цели. [8]
- Свойство формальной этальности можно проверить на стеблях. Можно показать, что морфизм колец f : A → B формально этален тогда и только тогда, когда для каждого простого числа Q кольца B индуцированное отображение A → B Q формально этально. [9] Следовательно, f формально эталь тогда и только тогда, когда для каждого простого числа Q из B отображение A P → B Q формально этально, где P = f −1 ( Q ) .
Примеры
[ редактировать ]- Локализации формально плоские.
- Конечные сепарабельные расширения полей формально этальны. В более общем смысле любая (коммутативная) плоская сепарабельная A -алгебра B формально этальна. [10]
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ EGA 0 IV , Определение 19.10.2.
- ^ EGA 0 IV , Определение 19.10.2.
- ^ EGA IV 4 , Определение 17.1.1.
- ^ EGA IV 4 , Примечания 17.1.2 (iv).
- ^ EGA IV 4 , предложение 17.1.3 (i).
- ^ EGA IV 4 , предложение 17.1.3 (ii)–(iv).
- ^ EGA IV 4 , предложение 17.1.4 и следствие 17.1.5.
- ^ EGA IV 4 , предложение 17.1.6.
- ^ вопрос mathoverflow.net
- ^ Форд (2017 , следствие 4.7.3)
Ссылки
[ редактировать ]- Форд, Тимоти Дж. (2017), Сепарабельные алгебры , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-1-4704-3770-1 , МР 3618889
- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1964). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Часть первая» . Публикации IHÉS по математике . 20 . дои : 10.1007/bf02684747 . МР 0173675 .
- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1967). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Часть четвертая» . Публикации IHÉS по математике . 32 . дои : 10.1007/bf02732123 . МР 0238860 .