Двойственность Матлиса

В алгебре двойственность Матлиса — это двойственность между артиновыми и нётеровыми модулями над полным нётеровым локальным кольцом . В частном случае, когда локальное кольцо имеет поле ^{[ нужны разъяснения ]} отображение в поле вычетов тесно связано с более ранней работой Фрэнсиса Сауэрби Маколея о кольцах полиномов и иногда называется двойственностью Маколея , а общий случай был введен Матлисом ( 1958 ).

Заявление

Предположим, что R — нетерово полное локальное кольцо с полем вычетов k , и выберите E в качестве инъективной оболочки k ( иногда называемой модулем Матлиса ). Двойственный D _R ( M ) к модулю M определяется как Hom _R ( M , E ). Тогда двойственность Матлиса утверждает, что функтор двойственности D _R дает антиэквивалентность между категориями артиновских и нётеровых R -модулей. В частности, функтор двойственности дает антиэквивалентность категории модулей конечной длины самой себе.

Примеры

Предположим, что нётерово полное локальное кольцо R имеет подполе k , которое отображается в подполе конечного индекса своего поля вычетов R / m . Тогда Матлис, двойственный любому R -модулю, является просто его двойственным топологическим векторным пространством над k , если модулю задана его m -адическая топология. В частности, двойственный к R как топологическому векторному пространству над k является модулем Матлиса. Этот случай тесно связан с работой Маколея о кольцах градуированных полиномов и иногда называется двойственностью Маколея.

Если R — кольцо дискретного нормирования с полем факторов K , то модуль Матлиса — это K / R . В частном случае, когда R — кольцо p -адических чисел , двойственным по Матлису конечно-порожденному модулю является двойственный к нему Понтрягину, рассматриваемый как локально компактная абелева группа .

Если R — локальное кольцо Коэна–Маколея размерности d с дуализирующим модулем Ω, то модуль Матлиса задается группой локальных когомологий H ^д
_Р (Ом). В частности, если R — артиново локальное кольцо, то модуль Матлиса совпадает с дуализирующим модулем.

Объяснение с использованием сопряженных функторов

Двойственность Матлиса можно концептуально объяснить, используя язык сопряженных функторов и производных категорий : ^[1] функтор между производными категориями R- и k -модулей, индуцированный рассмотрением k -модуля как R -модуля, допускает правосопряженный(производное внутреннее Hom )

D(k)\gets D(R):R\operatorname {Hom} _{R}(k,-).

Это правое сопряжение отправляет инъективную оболочку $E(k)$ упомянутое выше к k , который является дуализирующим объектом в $D(k)$ . Этот абстрактный факт затем приводит к вышеупомянутой эквивалентности.