Линейный пакет

В математике пучок линий выражает концепцию линии , которая меняется от точки к точке пространства. Например, кривая на плоскости, имеющая касательную линию в каждой точке, определяет изменяющуюся линию: касательный пучок - это способ их организации. Более формально, в алгебраической топологии и дифференциальной топологии линейное расслоение определяется как векторное расслоение ранга 1. ^[1]

Линейные расслоения задаются путем непрерывного выбора одномерного векторного пространства для каждой точки пространства. В топологических приложениях это векторное пространство обычно является действительным или комплексным. Эти два случая демонстрируют фундаментально разное поведение из-за разных топологических свойств вещественного и комплексного векторного пространств: если начало координат удаляется из действительной прямой, то результатом является набор обратимых действительных матриц размера 1 × 1, который гомотопически эквивалентен дискретное двухточечное пространство путем сжатия положительных и отрицательных вещественных чисел в точку; тогда как удаление начала координат из комплексной плоскости дает обратимые комплексные матрицы размером 1 × 1, которые имеют гомотопический тип окружности.

Таким образом, с точки зрения теории гомотопий вещественное линейное расслоение ведет себя почти так же, как расслоение с двухточечным слоем, то есть как двойное накрытие . Частным случаем этого является ориентируемое двойное накрытие , дифференцируемого многообразия где соответствующее линейное расслоение является детерминантным расслоением касательного расслоения (см. ниже). Лента Мёбиуса соответствует двойному покрытию окружности (отображение θ → 2θ), и, меняя слой, ее также можно рассматривать как имеющую двухточечный слой, единичный интервал как слой или действительную прямую.

Комплексные линейные расслоения тесно связаны с круговыми расслоениями . Есть некоторые знаменитые из них, например, на Хопфа расслоения сфер сферы.

В алгебраической геометрии обратимый пучок (т. е. локально свободный пучок ранга один) часто называют линейным расслоением .

Каждое линейное расслоение возникает из делителя со следующими условиями

(I) Если X — приведенная и неприводимая схема, то каждое линейное расслоение происходит из дивизора.

(II) Если X — проективная схема, то справедливо то же утверждение.

Тавтологический расслоение на проективном пространстве

Одним из наиболее важных линейных расслоений в алгебраической геометрии является тавтологическое линейное расслоение на проективном пространстве . Проективизация P ( V ) векторного пространства V над полем k определяется как фактор $V\setminus \{0\}$ действием мультипликативной группы k ^×. Таким образом, каждая точка P ( V ) соответствует копии k ^×, и эти копии k ^× можно собрать в К ^×-расслоение над P ( V ). к ^× отличается от k только одной точкой, и, присоединив эту точку к каждому слою, мы получим линейное расслоение на P ( V ). Это линейное расслоение называется тавтологическим линейным расслоением . Этот линейный расслоение иногда обозначается ${\mathcal {O}}(-1)$ поскольку он соответствует двойственному скручивающему пучку Серра ${\mathcal {O}}(1)$ .

Карты в проективное пространство

Предположим, что — пространство и L — линейное расслоение на X. X Глобальное сечение L p — это функция s : X → L такая, что если : L → X — естественная проекция, то ps = id _X . В небольшой окрестности U в X, в которой L тривиально, общее пространство линейного расслоения является произведением U и основного поля k , а сечение s ограничивается функцией U → k . Однако значения s зависят от выбора тривиализации и поэтому определяются только с точностью до умножения на никуда не исчезающую функцию.

Глобальные сечения определяют отображения в проективные пространства следующим образом: выбирая r + 1 не все нулевые точки в слое L, выбирается слой тавтологического линейного расслоения на P. ^р, поэтому выбор r + 1 неодновременно исчезающих глобальных сечений L определяет отображение X в проективное пространство P ^р. Это отображение переводит слои L в слои, двойственные тавтологическому расслоению. Более конкретно, предположим, что s ₀ , ..., s _r — глобальные секции L . В малой окрестности U в X эти разделы определяют k -значные функции на U , значения которых зависят от выбора тривиализации. Однако они определяются с точностью до одновременного умножения на ненулевую функцию, поэтому их отношения вполне определены. То есть над точкой x значения s ₀ ( x ), ..., s _r ( x ) не определены четко, поскольку изменение тривиализации умножит каждое из них на ненулевую константу λ. Но он умножит их на одну и ту же константу λ, поэтому однородные координаты [ s ₀ ( x ) : ... : s _r ( x )] четко определены до тех пор, пока сечения s ₀ , ..., s _r не исчезают одновременно в точке x . Следовательно, если секции никогда не исчезают одновременно, они определяют форму [ s ₀ : ... : s _r ], которая дает отображение из X в P. ^р, а образ двойственного к тавтологическому расслоению при этом отображении есть L . Таким образом, проективное пространство приобретает универсальное свойство .

Универсальный способ определения отображения в проективное пространство — это отображение в проективизацию векторного пространства всех секций L . В топологическом случае в каждой точке существует неисчезающее сечение, которое можно построить с помощью функции рельефа, исчезающей за пределами небольшой окрестности точки. Благодаря этому результирующая карта определена везде. Однако кодомен обычно слишком велик, чтобы его можно было использовать. Обратное верно в алгебраических и голоморфных условиях. Здесь пространство глобальных сечений часто конечномерно, но неисчезающих глобальных сечений в данной точке может и не быть. (Как и в случае, когда эта процедура создает пучок Лефшеца .) Фактически, расслоение может вообще не иметь ненулевых глобальных сечений; это относится к тавтологическому линейному расслоению. Когда линейное расслоение достаточно обильно, эта конструкция подтверждает теорему вложения Кодайры .

Детерминантные пучки

В общем случае, если V — векторное расслоение в пространстве X с постоянной размерностью слоя n , n - я внешняя степень V , взятая послойно, представляет собой линейное расслоение, называемое детерминантным линейным расслоением . Эта конструкция, в частности, применяется к кокасательному расслоению многообразия гладкого . Результирующее расслоение детерминантов отвечает за явление тензорных плотностей в том смысле, что для ориентируемого многообразия оно имеет ненулевое глобальное сечение, а его тензорные степени с любым действительным показателем могут быть определены и использованы для «скручивания» любого векторного расслоения с помощью тензора. продукт .

Та же конструкция (взяв верхнюю внешнюю степень) применима к порожденному проективному модулю M над нётеровой областью, и полученный обратимый модуль называется детерминантным модулем M конечно .

Характеристические классы, универсальные расслоения и классифицирующие пространства

Первый класс Стифеля – Уитни классифицирует расслоения гладких действительных линий; в частности, совокупность вещественных линейных расслоений (классов эквивалентности) соответствует элементам первых когомологий с Z /2 Z коэффициентами; это соответствие на самом деле является изоморфизмом абелевых групп (групповые операции представляют собой тензорное произведение линейных расслоений и обычное дополнение когомологий). Аналогично, первый класс Чженя классифицирует гладкие комплексные линейные расслоения на пространстве, а группа линейных расслоений изоморфна второму классу когомологий с целыми коэффициентами. Однако расслоения могут иметь эквивалентные гладкие структуры (и, следовательно, один и тот же первый класс Чженя), но разные голоморфные структуры. Утверждения о классе Чженя легко доказываются с использованием последовательности пучков экспоненциальной на многообразии.

В более общем плане проблему классификации можно рассматривать с точки зрения теории гомотопий. Существует универсальный расслоение для реальных расслоений и универсальный расслоение для сложных линейных расслоений. Согласно общей теории классификации пространств , эвристика заключается в поиске сжимаемых пространств, на которых действуют групповые действия соответствующих групп C ₂ и S. ¹, это свободные действия. Эти пространства могут служить универсальными главными расслоениями , а факторы действий — классифицирующими пространствами BG . В этих случаях мы можем найти их явно в бесконечномерных аналогах реального и комплексного проективного пространства .

Поэтому классифицирующее пространство BC ₂ имеет гомотопический тип RP ^∞, реальное проективное пространство, заданное бесконечной последовательностью однородных координат . Он несет в себе универсальный действительный линейный пучок; с точки зрения теории гомотопий это означает, что любое вещественное линейное расслоение L на комплексе CW X определяет классифицирующее отображение из X в RP. ^∞, что делает L расслоением, изоморфным образу универсального расслоения. Это классифицирующее отображение можно использовать для определения Стифеля-Уитни класса L в первых когомологиях X с Z /2 Z коэффициентами из стандартного класса на RP. ^∞.

Аналогичным образом комплексное проективное пространство CP ^∞ несет универсальный комплексный линейный пучок. В этом случае классифицирующие отображения порождают первый Чженя X класс в H ²( X ) (целые когомологии).

Существует еще одна аналогичная теория с кватернионными линейными расслоениями (действительная размерность четыре). Это порождает один из классов Понтрягина в действительных четырехмерных когомологиях.

Таким образом, основные случаи теории характеристических классов зависят только от линейных расслоений. Согласно общему принципу расщепления, это может определить остальную часть теории (если не явно).

Существуют теории голоморфных линейных расслоений на комплексных многообразиях и обратимых пучков в алгебраической геометрии , которые разрабатывают теорию линейных расслоений в этих областях.

См. также

Примечания

^ Хартшорн (1975). Алгебраическая геометрия, Арката, 1974 . п. 7.

Ссылки

Майкл Мюррей, Line Bundles , 2002 г. (ссылка в формате PDF)
Робин Хартшорн . Алгебраическая геометрия . Книжный магазин АМС, 1975. ISBN 978-0-8218-1429-1

[1] Хартшорн (1975). Алгебраическая геометрия, Арката, 1974 . п. 7.

[1]