Аналитически неприводимое кольцо

В алгебре аналитически неприводимое кольцо — это локальное кольцо которого , пополнение не имеет делителей нуля. Геометрически это соответствует многообразию, имеющему только одну аналитическую ветвь в точке.

Зарисский (1948) доказал, что если локальное кольцо алгебраического многообразия является нормальным кольцом , то оно аналитически неприводимо. Существует много примеров приведенных и неприводимых локальных колец, которые являются аналитически приводимыми, например локальное кольцо узла неприводимой кривой, но трудно найти примеры, которые были бы также нормальными. Нагата ( 1958 , 1962 , Приложение А1, пример 7) привел такой пример нормального нётерового локального кольца , аналитически приводимого.

Пример Нагаты

Предположим, что K — поле характеристики, отличной от 2, а K [[ x , y ]] — кольцо формальных степенных рядов над K от 2 переменных. Пусть R — подкольцо кольца K [[ x , y ]], порожденное x , y и элементами z _n и локализованное на этих элементах, где

$w=\sum _{m>0}a_{m}x^{m}$ трансцендентно над K ( x )

$z_{1}=(y+w)^{2}$

$z_{n+1}=(z_{1}-(y+\sum _{0<m<n}a_{m}x^{m})^{2})/x^{n}$.

Тогда R [ X ]/( X ² – z ₁ ) – нормальное нётерово локальное кольцо, аналитически приводимое.

Ссылки

• Нагата, Масаеши (1958), «Пример нормального локального кольца, которое аналитически приводимо» , Mem. Колл. наук. унив. Киото. Сер. Математика. , 31 : 83–85, МР   0097395
• Нагата, Масаеши (1962), Локальные кольца , Межнаучные трактаты по чистой и прикладной математике, том. 13, Нью-Йорк-Лондон: Издательство Interscience Publishers.
• Зариски, Оскар (1948), «Аналитическая неприводимость нормальных многообразий», Ann. математики. , 2, 49 : 352–361, doi : 10.2307/1969284 , MR   0024158
• Зариски, Оскар ; Сэмюэл, Пьер (1975) [1960], Коммутативная алгебра. Том. II , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90171-8 , МР   0389876