Поднимаемся и опускаемся
В коммутативной алгебре , разделе математики , «восхождение вверх» и «спуск вниз» — это термины, которые относятся к определенным свойствам цепочек простых идеалов в целочисленных расширениях .
Фраза « подниматься вверх» относится к случаю, когда цепочку можно расширить за счет « включения вверх », а фраза «подниматься вниз» относится к случаю, когда цепочку можно продлить за счет «включения вниз».
Основными результатами являются теоремы Коэна-Зейденберга , которые были доказаны Ирвином С. Коэном и Абрахамом Зайденбергом . Они известны как теоремы о повышении и понижении .
Поднимаемся и опускаемся
[ редактировать ]Пусть A ⊆ B — расширение коммутативных колец .
Теоремы о восхождении и нисхождении дают достаточные условия для того, чтобы цепочку простых идеалов в B , каждый член которой лежит над членами более длинной цепочки простых идеалов из A , можно было продлить до длины цепочки. простых идеалов в A .
Ложь и несравнимость
[ редактировать ]Для начала исправим некоторую терминологию. Если и являются простыми идеалами A B и что соответственно, такие,
(Обратите внимание, что автоматически является простым идеалом A ), то мы говорим, что лежит под и это лежит над . В общем случае говорят, что кольцевое расширение A ⊆ B коммутативных колец удовлетворяет свойству лежания над, если каждый простой идеал A лежит при некотором простом идеале Б.
расширение A ⊆ B Говорят, что удовлетворяет свойству несравнимости, если всякий раз, когда и — различные простые числа B, лежащие над простым числом в А , тогда ⊈ и ⊈ .
Подъем
[ редактировать ]расширение кольца A ⊆ B Говорят, что удовлетворяет свойству подъема вверх, если всякий раз, когда
представляет собой цепочку простых идеалов A и
— цепочка простых идеалов B с m < n и такая, что лежит над для 1 ≤ i ≤ m последняя цепочка может быть продолжена до цепочки
такой, что лежит над для каждого 1 ≤ i ≤ n .
В ( Каплански, 1970 ) показано, что если расширение A ⊆ B удовлетворяет свойству подъема, то оно также удовлетворяет свойству перекрытия.
Спускаясь
[ редактировать ]кольцевое расширение A ⊆ B Говорят, что удовлетворяет свойству спуска, если всякий раз, когда
представляет собой цепочку простых идеалов A и
— цепочка простых идеалов B с m < n и такая, что лежит над для 1 ≤ i ≤ m последняя цепочка может быть продолжена до цепочки
такой, что лежит над для каждого 1 ≤ i ≤ n .
Существует обобщение случая расширения колец с помощью кольцевых морфизмов. Пусть f : A → B — (единичный) кольцевой гомоморфизм , так что B — кольцевое расширение f ( A ). Тогда f говорят, что удовлетворяет свойству подъема, свойство подъема выполняется для f ( A ) в B. если
Аналогично, если B является кольцевым расширением f ( A ), то f говорят, что удовлетворяет свойству спуска вниз , если свойство спуска выполняется для f ( A ) в B .
В случае обычных кольцевых расширений, таких как A ⊆ B , подходящим отображением является карта включения .
Теоремы о повышении и понижении
[ редактировать ]Обычные формулировки теорем о подъеме и опускании относятся к расширению кольца A ⊆ B :
- (Поднимаясь вверх) Если B является целым расширением A , то это расширение удовлетворяет свойству подъема вверх (и, следовательно, свойству лежания сверху) и свойству несравнимости.
- (Спускаясь вниз) Если B — целочисленное расширение A , B — область и A целозамкнуто в своем поле частных, то расширение (помимо восходящего, перележащего и несравнимого) удовлетворяет условию идущего - вниз имущество.
Есть еще одно достаточное условие свойства снижения:
- Если A ⊆ B — плоское расширение коммутативных колец, то выполнено свойство спуска. [1]
Доказательство : [2] Пусть p 1 ⊆ p 2 — простые идеалы кольца A , и пусть q 2 — простой идеал кольца B такой, что q 2 ∩ A = p 2 . Мы хотим доказать, что существует простой идеал q 1 из B, содержащийся в q 2, такой, что q 1 ∩ A = p 1 . Так как A ⊆ B — плоское расширение колец, то A p 2 ⊆ B q 2 — плоское расширение колец. В действительности A p 2 ⊆ B q 2 является точно плоским расширением колец, поскольку отображение включения A p 2 → B q 2 является локальным гомоморфизмом. Следовательно, индуцированное отображение спектров Spec( B q 2 ) → Spec( A p 2 ) сюръективно и существует простой идеал B q 2 , который стягивается к простому идеалу p 1 A p 2 группы A p 2 . Сжатием этого простого идеала B q 2 в B является простой идеал q 1 B , содержащийся в q 2 , который сжимается до p 1 . Доказательство завершено. КЭД
Ссылки
[ редактировать ]- Атья, М.Ф. и И.Г. Макдональд , Введение в коммутативную алгебру , Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9 МР 242802
- Винфрид Брунс; Юрген Херцог, кольца Коэна-Маколея . Кембриджские исследования по высшей математике, 39. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1993. xii+403 стр. ISBN 0-521-41068-1
- Коэн, И.С.; Зайденберг, А. (1946). «Первые идеалы и интегральная зависимость» . Бык. амер. Математика. Соц . 52 (4): 252–261. дои : 10.1090/s0002-9904-1946-08552-3 . МР 0015379 .
- Каплански, Ирвинг (1970). Коммутативные кольца . Аллин и Бэкон.
- Мацумура, Хидеюки (1970). Коммутативная алгебра . Бенджамина. ISBN 978-0-8053-7025-6 .
- Шарп, Р.Ю. (2000). «13 Интегральная зависимость от подколец (13.38 Теорема о повышении, стр. 258–259; 13.41 Теорема о понижении, стр. 261–262)». Шаги коммутативной алгебры . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 51 (Второе изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. xii+355. ISBN 0-521-64623-5 . МР 1817605 .