Критерий Эйзенштейна

В математике дает критерий Эйзенштейна достаточное условие для того, чтобы многочлен с целыми коэффициентами был неприводимым по рациональным числам , то есть чтобы его нельзя было факторизовать в произведение непостоянных многочленов с рациональными коэффициентами.

Этот критерий не применим ко всем многочленам с целыми коэффициентами, которые неприводимы к рациональным числам, но он позволяет в некоторых важных случаях доказать неприводимость с очень небольшими усилиями. Это может применяться либо непосредственно, либо после преобразования исходного полинома.

Этот критерий назван в честь Готхольда Эйзенштейна . В начале 20 века она была также известна как теорема Шенемана-Эйзенштейна, потому что Теодор Шенеман был первым, кто ее опубликовал. ^[1]^[2]

Критерий

Предположим, у нас есть следующий полином с целыми коэффициентами : $Q(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}.$

Если существует простое число $p$ такое, что выполняются следующие три условия:

$p$ делит каждое $a i$ для $0 \leq i < n$ ,
$p$ не делит $n $ и
$п 2$ не делит $0 $ ,

тогда $Q$ неприводимо над рациональными числами. Он также будет неприводимым по целым числам, если только все его коэффициенты не имеют общего нетривиального множителя (в этом случае $Q$ как целочисленный многочлен будет иметь некоторое простое число, обязательно отличное от $p$ , в качестве неприводимого множителя). Последней возможности можно избежать, если сначала сделать $примитивным$ , разделив его на наибольший общий делитель его коэффициентов ( содержимое Q $Q$ ). Это разделение не меняет того, является ли $Q$ приводимым или нет по рациональным числам (подробнее см. В Примитивной факторизации части-содержания ), и не делает недействительными гипотезы критерия для $p$ (напротив, оно может сделать критерий справедливым для некоторых простых чисел). , даже если этого не было до деления).

Примеры

Критерий Эйзенштейна может применяться либо напрямую (т. е. с использованием исходного полинома), либо после преобразования исходного полинома.

Прямой (без трансформации)

Рассмотрим полином $Q (x) = 3 x 4 + 15 х 2 + 10$ . Чтобы критерий Эйзенштейна можно было применить к простому числу $p,$ он должен разделить оба неведущих коэффициента $15$ и $10$ , что означает, что только $p = 5$ может работать, и это действительно так, поскольку $5$ не делит старший коэффициент $3$ , а его квадрат $25$ не делит постоянный коэффициент $10$ . Поэтому можно заключить, что $Q$ неприводима над $Q$ (а, поскольку она примитивна, $над Z$ также и ). Обратите внимание, что, поскольку $Q$ имеет степень 4, этот вывод не мог быть установлен только путем проверки того, что $Q$ не имеет рациональных корней (что исключает возможные множители степени 1), поскольку также возможно разложение на два квадратичных множителя.

Косвенный (после преобразования)

Часто критерий Эйзенштейна неприменим ни к одному простому числу. Однако может случиться так, что это применимо (для некоторого простого числа) к многочлену, полученному после замены (для некоторого целого числа $a$ ) $x + a$ на $x$ . Тот факт, что многочлен после замены является неприводимым, позволяет заключить, что исходный многочлен также неприводим. Эта процедура известна как применение сдвига .

Например, рассмотрим $H = x 2 + x + 2$ , в котором коэффициент 1 при $x$ не делится ни на одно простое число, критерий Эйзенштейна не применим к $H$ . Но если заменить $x$ на $x + 3$ в $H$ , получится многочлен $x 2 + 7 x + 14$ , что удовлетворяет критерию Эйзенштейна для простого числа $7$ . Поскольку замена является автоморфизмом кольца $Q [x]$ , тот факт, что мы получаем неприводимый многочлен после замены, означает, что изначально у нас был неприводимый многочлен. В этом конкретном примере было бы проще доказать, что $H$ (будучи моником степени 2) может быть приводимым только в том случае, если он имеет целочисленный корень, чего, очевидно, нет; однако общий принцип попытки замен для применения критерия Эйзенштейна является полезным способом расширить его сферу применения.

Другая возможность преобразовать многочлен так, чтобы он удовлетворял критерию, который можно объединить с применением сдвига, - это изменить порядок его коэффициентов на противоположный при условии, что его постоянный член не равен нулю (без которого он в любом случае делился бы на $x$ ). Это так, потому что такие многочлены приводимы в $R [x]$ тогда и только тогда, когда они приводимы в $R [x, x -1]$ (для любой области целостности $R$ ), и в этом кольце замена $x -1$ для $x$ меняет порядок коэффициентов на противоположный (симметрично относительно постоянного коэффициента, но последующий сдвиг показателя степени представляет собой умножение на единицу). Например, $2 х 5 - 4x 2 - 3$ удовлетворяет критерию $p = 2$ после изменения местами своих коэффициентов и, следовательно, (будучи примитивным) неприводим в $Z [x]$ .

Циклотомные полиномы

Важным классом многочленов, неприводимость которых можно установить с помощью критерия Эйзенштейна, является класс круговых многочленов для простых чисел $p$ . Такой многочлен получается делением многочлена $x п - 1$ на линейный множитель $x - 1$ , соответствующий его очевидному корню $1$ (который является его единственным рациональным корнем, если $p > 2$ ): ${\frac {x^{p}-1}{x-1}}=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots +x+1.$

Здесь, как и в предыдущем примере $H$ , коэффициенты $1$ препятствуют прямому применению критерия Эйзенштейна. Однако полином будет удовлетворять критерию $p$ после замены $x + 1$ на $x$ : это дает ${\frac {(x+1)^{p}-1}{x}}=x^{p-1}+{\binom {p}{p-1}}x^{p-2}+\cdots +{\binom {p}{2}}x+{\binom {p}{1}},$ все неведущие коэффициенты которого делятся на $p$ по свойствам биномиальных коэффициентов , и чей постоянный коэффициент равен $p$ и, следовательно, не делится на $p 2$ . Альтернативный способ прийти к этому выводу — использовать тождество $(a + b) п = а п + б п$ который действителен в характеристике $p$ (и который основан на тех же свойствах биномиальных коэффициентов и приводит к эндоморфизму Фробениуса ), для вычисления приведения по модулю $p$ частного многочленов: ${\frac {(x+1)^{p}-1}{x}}\equiv {\frac {x^{p}+1^{p}-1}{x}}={\frac {x^{p}}{x}}=x^{p-1}{\pmod {p}},$ это означает, что все неглавные коэффициенты частного делятся на $p$ ; Оставшаяся проверка того, что постоянный член частного равен $p,$ может быть выполнена путем замены $x на 1$ (вместо $x + 1$ ) $x$ в расширенную форму $. р -1 + ... + х + 1$ .

История

Теодор Шенеманн был первым, кто опубликовал версию критерия: ^[1] в 1846 году в журнале Крелля , ^[3] что читается в переводе

Это $(х - а) н + pF (x)$ будет неприводим к модулю $p 2$ когда $F (x)$ по модулю $p$ не содержит множителя $x - a$ .

Эта формулировка уже включает сдвиг на $a$ вместо $0$ ; условие на $F (x)$ означает, что $F (a)$ не делится на $p$ , и поэтому $pF (a)$ делится на $p,$ но не делится на $p 2$ . Как уже говорилось, это не совсем правильно, поскольку не делается никаких предположений о степени многочлена $F (x)$ , так что рассматриваемый многочлен не обязательно должен иметь степень $n$ , как предполагает его выражение; пример $х 2 + р (х 3 + 1) \equiv (х 2 + p)(px + 1) mod p 2$ , показывает, что вывод неверен без такой гипотезы. Предполагая, что степень $F (x)$ не превышает $n$ , критерий, однако, корректен и несколько сильнее, чем формулировка, приведенная выше, поскольку если $(x - a) н + pF (x)$ неприводим по модулю $p 2$ , оно заведомо не может разложиться по $Z [x]$ на непостоянные множители.

Впоследствии Эйзенштейн опубликовал несколько иную версию в 1850 году, также в «Журнале Крелля». ^[4] Эта версия читается в переводе

Когда в многочлене $F (x)$ от $x$ произвольной степени коэффициент старшего члена равен $1$ , а все последующие коэффициенты являются целыми (действительными, комплексными) числами, на которые делится определенное (действительное или комплексное) простое число $m$ , а когда при этом последний коэффициент равен $εm$ , где $ε$ обозначает число, не делящееся на $m$ : то невозможно привести $F (x)$ к виду $\left(x^{\mu }+a_{1}x^{\mu -1}+\cdots +a_{\mu }\right)\left(x^{\nu }+b_{1}x^{\nu -1}+\cdots +b_{\nu }\right)$ где $ν, (\geq 1$ , $µ + ν = deg(F (x))$ , и все $a$ и $b$ являются целыми действительными или комплексными) числами; поэтому уравнение $F (x) = 0$ неприводимо.

Здесь «целые действительные числа» — это обычные целые числа , а «целые комплексные числа » — это целые числа Гаусса ; аналогичным образом следует интерпретировать «действительные и комплексные простые числа». Приложением, для которого Эйзенштейн разработал свой критерий, было установление неприводимости некоторых многочленов с коэффициентами в целых гауссовских числах, которые возникают при изучении разделения лемнискаты на куски одинаковой длины дуги.

Примечательно, что Шенеман и Эйзенштейн, сформулировав свои критерии неприводимости, сразу же применяют его для элементарного доказательства неприводимости круговых многочленов для простых чисел - результат, который Гаусс получил в своих Disquisitiones Arithmeticae с помощью гораздо более сложного доказательства. . Фактически, Эйзенштейн добавляет в сноске, что единственное известное ему доказательство этой неприводимости, кроме доказательства Гаусса, — это доказательство, данное Кронекером в 1845 году. Это показывает, что он не знал о двух различных доказательствах этого утверждения, которые имел Шенеман. приведено в его статье 1846 г., где второе доказательство основывалось на упомянутом выше критерии. Это тем более удивительно, что двумя страницами далее Эйзенштейн действительно ссылается (по другому поводу) на первую часть статьи Шенемана. В заметке («Нотиз»), появившейся в следующем номере журнала, ^[5] Шенеман указывает на это Эйзенштейну и указывает, что метод последнего существенно не отличается от того, который он использовал во втором доказательстве.

Основное доказательство

Чтобы доказать справедливость критерия, предположим, $что Q$ удовлетворяет критерию для простого числа $p$ , но тем не менее приводимо в $Q [x]$ , из чего мы хотим получить противоречие. Из леммы Гаусса следует, что $Q$ также приводима в $Z [x]$ и фактически может быть записана как произведение $Q = GH$ двух непостоянных многочленов $G, H$ (в случае, если $Q$ не является примитивным, применяется лемму к примитивному многочлену $Q / c$ (где целое число $c$ — это содержимое $Q$ ), чтобы получить для него разложение, и умножает $c$ на один из множителей, чтобы получить разложение для $Q$ ). Теперь уменьшите $Q = GH$ по модулю $p$ , чтобы получить разложение на $(Z / p Z)[x]$ . Но по предположению это сокращение для $Q$ оставляет его главный член вида $ax н$ для ненулевой константы $a \in Z / p Z$ как единственный ненулевой член. Но тогда приведения $модулю p$ по $G$ и $H$ также обязательно заставят исчезнуть все неведущие члены (и не смогут заставить исчезнуть их главные члены), поскольку никакие другие разложения $ax н$ возможны в $(Z / p Z)[x]$ , который является уникальной областью факторизации . В частности, постоянные члены $G$ и $H$ исчезают при сокращении, поэтому они делятся на $p$ , но тогда постоянный член $Q$ , который является их произведением, делится на $p. 2$ , что противоречит гипотезе, и возникает противоречие.

Второе доказательство критерия Эйзенштейна также начинается с предположения, что многочлен $Q (x)$ приводим. Показано, что это предположение влечет за собой противоречие.

Предположение, что $Q(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$ приводима, означает, что существуют многочлены ${\begin{aligned}G(x)&=c_{r}x^{r}+c_{r-1}x^{r-1}+\cdots +c_{0}&&r\geq 1\\H(x)&=d_{s}x^{s}+d_{s-1}x^{s-1}+\cdots +d_{0}&&s\geq 1\end{aligned}}$ Такой, что $Q(x)=G(x)\cdot H(x),\qquad n=r+s.$ Коэффициент $a 0$ многочлена $Q (x)$ можно разделить на простое число $p,$ но не на $p 2$ . Поскольку $a 0 = c 0 d 0$ , можно разделить $c 0$ или $d 0$ на $p$ , но не то и другое. Можно, не ограничивая общности, продолжить

с коэффициентом $c 0$ , который можно разделить на $p$ и
с коэффициентом $d 0$ , который не делится на $p$ .

По предположению, $p$ не делит $a_{n}$ . Поскольку $a n = c r d s$ , ни $c r,$ ни $d s$ не могут делиться на $p$ . Таким образом, если $a_{r}$ это $r$ -й коэффициент приводимого многочлена $Q$ , то (возможно, с $d_{t}=0$ в случае $t>s$ ) $a_{r}=c_{r}d_{0}+c_{r-1}d_{1}+\cdots +c_{0}d_{r}$ где $c_{r}d_{0}$ нельзя разделить на $p$ , потому что ни $d_{0}$ ни $c_{r}$ можно разделить на $p$ .

Мы докажем это $c_{0},c_{1},\ldots ,c_{r-1}$ все делятся на $p$ . Как $a_{r}$ также делится на $p$ (по условию критерия), отсюда следует, что $c_{r}d_{0}=a_{r}-\left(c_{r-1}d_{1}+\cdots +c_{0}d_{r}\right)$ делится на $p$ , противоречие доказывает критерий.

Можно разделить $c_{0}d_{r}$ к $p$ , потому что $c_{0}$ можно разделить на $p$ .

По первоначальному предположению можно разделить коэффициент $a 1$ многочлена $Q (x)$ на $p$ . С $a_{1}=c_{0}d_{1}+c_{1}d_{0}$ и поскольку $d 0$ не кратно $p,$ должна быть возможность разделить $c 1$ на $p$ . Аналогично по индукции $c_{i}$ кратно $p$ для всех $i<r$ , что завершает доказательство.

Расширенное объяснение

Применяя теорию многоугольника Ньютона для $поля p$ -адических чисел , в качестве полинома Эйзенштейна предполагается взять нижнюю выпуклую оболочку точек

(0, 1), (1, v 1), (2, v 2), ..., (n - 1, v n -1), (n, 0)

,

где $vi —$ a $p$ -адическая оценка i $(делящая его$ т.е. высшая степень $p,$ ). Теперь данные, которые нам даны о $v i$ для $0 < i < n$ , а именно то, что они по крайней мере один, — это как раз то, что нам нужно, чтобы сделать вывод, что нижняя выпуклая оболочка — это в точности одиночный отрезок от $(0, 1)$ до $(n, 0)$ , наклон равен $-1/ n$ .

Это говорит нам о том, что каждый корень $Q$ имеет $p$ -адическую оценку $1/ n$ и, следовательно, $Q$ неприводим в $p$ -адическом поле (поскольку, например, ни одно произведение какого-либо правильного подмножества корней не имеет целочисленной оценки); и тем более над полем рациональных чисел.

Этот аргумент намного сложнее, чем прямой аргумент путем редукции по модулю $p$ . это позволяет увидеть Однако с точки зрения алгебраической теории чисел , как часто критерий Эйзенштейна может применяться после некоторой замены переменной; и таким образом строго ограничить возможный выбор $p,$ относительно которого полином мог бы иметь перенос Эйзенштейна (то есть стать Эйзенштейном после аддитивной замены переменных, как в случае $p$ -го кругового многочлена).

Фактически только простые числа $p,$ разветвляющиеся в расширении $Q,$ порожденном корнем $Q,$ имеют хоть какой-то шанс работать. можно найти с помощью дискриминанта Q $Их$ . Например, в случае $х 2 + x + 2,$ указанный выше, дискриминант равен $-7$ , так что $7$ — единственное простое число, у которого есть шанс заставить его удовлетворять критерию. По модулю $7$ получается $(x - 3) 2$ — повторный корень неизбежен, так как дискриминант равен $0 по модулю 7$ . Поэтому сдвиг переменной на самом деле является чем-то предсказуемым.

Опять же, для кругового полинома это становится

(х - 1) р -1 в сторону р

;

дискриминант может быть равен (с точностью до знака) $p р -2$ , методами линейной алгебры .

Точнее, только полностью разветвленные простые числа имеют шанс стать простыми числами Эйзенштейна для многочлена. (В квадратичных полях ветвление всегда полное, поэтому в квадратичном случае, например, $x 2 + x + 2$ выше.) Фактически, полиномы Эйзенштейна напрямую связаны с полностью разветвленными простыми числами следующим образом: если расширение поля рациональных чисел порождается корнем многочлена, который является эйзенштейновским в точке $p$ , то $p$ полностью разветвлено в расширение, и наоборот, если $p$ полностью разветвлено в числовом поле, то поле порождается корнем полинома Эйзенштейна в точке $p$ . ^[6]

Обобщение

Обобщенный критерий

Для области целостности $D$ пусть $Q=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$ быть элементом $D [x]$ — кольца полиномов с коэффициентами $D.$ из

Предположим, что существует простой идеал $p$ в $D$ такой, что

$a i \in p$ для каждого $i \neq n$ ,
$а п \notin р$ и
$а 0 \notin р 2$ , где $п 2$ является идеальным произведением p $на$ самого себя.

Тогда $Q$ нельзя записать как произведение двух непостоянных многочленов из $D [x]$ . Если, кроме того, $($ т Q примитивно . е. не имеет нетривиальных постоянных делителей), то оно неприводимо в $D [x]$ . Если $D$ — уникальная область факторизации с полем частных $F$ , то по лемме Гаусса $Q$ неприводим в $F [x]$ независимо от того, примитивен он или нет (поскольку постоянные факторы обратимы в $F [x]$ ); в этом случае возможным выбором простого идеала является главный идеал, порожденный любым неприводимым элементом из $D$ . Последнее утверждение дает оригинальную теорему для $D = Z$ или (в формулировке Эйзенштейна) для $D = Z [i]$ .

Доказательство

Доказательство этого обобщения аналогично доказательству исходного утверждения с учетом приведения коэффициентов по модулю $p$ ; существенным моментом является то, что одночленный полином по области целостности $D / p$ не может разложиться в произведение, в котором хотя бы один из сомножителей имеет более одного члена (поскольку в таком произведении не может быть сокращения и в коэффициенте высшей или низшей возможной степени).

Пример

После $Z$ одним из основных примеров области целостности является кольцо полиномов $D = k [u]$ от переменной $u$ над полем $k$ . В этом случае главный идеал, порожденный $u,$ является простым идеалом. Затем критерий Эйзенштейна можно использовать для доказательства неприводимости многочлена, такого как $Q (x) = x 3 + ux + ты$ в $D [Икс]$ . Действительно, $u$ не делит $a 3$ , $u 2$ не $0 $ , $u$ делит $0 , 1 и$ а $2 .$ делит Это показывает, что этот многочлен удовлетворяет гипотезам обобщения критерия Эйзенштейна для простого идеала $p = (u),$ поскольку для главного идеала $(u)$ быть элементом $(u)$ эквивалентно тому, что он делится на $u$ .

См. также

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б Кокс (2011) .
^ Дорварт (1935) .
^ Шенеманн (1846) , с. 100.
^ Эйзенштейн (1850) , с. 166.
^ Шенеманн (1850) , с. 188.
^ Кассельс и Фрелих (1967) , стр. 22–23, «Местные поля».

Ссылки

Кассельс, JWS; Фрелих, Альберт, ред. (1967), Алгебраическая теория чисел .
Кокс, Дэвид А. (2011), «Почему Эйзенштейн доказал критерий Эйзенштейна и почему Шенеман открыл его первым», American Mathematical Monthly , 118 (1): 3–31, CiteSeerX 10.1.1.398.3440 , doi : 10.4169/amer. math.monthly.118.01.003 , S2CID 15978494 .
Дорварт, Х.Л. (1935), «Неприводимость полиномов», American Mathematical Monthly , 42 (6): 369–381, doi : 10.2307/2301357 , JSTOR 2301357 .
Эйзенштейн, Готхольд (1850), «О неприводимости и некоторых других свойствах уравнения, от которых зависит деление всей лемнискаты» , Журнал чистой и прикладной математики , 1850 (39): 160–179, doi : 10.1515/crll .1850.39.160 , S2CID 122322672 .
Гарлинг, DJH (1986), Курс теории Галуа , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-31249-3 .
«Алгебраическое уравнение» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994] .
Шенеманн, Теодор (1846), «Из тех модулей, которые являются степенями простых чисел» , Журнал чистой и прикладной математики , 1846 (32): 93–118, doi : 10.1515/crll.1846.32.93 , S2CID 120510090 .
Шенеман, Теодор (1850), «О некоторых теоремах, установленных доктором Эйзенштейном, касающихся неприводимых сравнений (стр. 182, том 39 этого журнала)» , Журнал чистой и прикладной математики , 1850 (40): 185–188, doi : 10.1515/crll.1850.40.185 , S2CID 199547075 .

[Cox-1] Jump up to: ^а ^б Кокс (2011) .

[2] Дорварт (1935) .

[3] Шенеманн (1846) , с. 100.

[4] Эйзенштейн (1850) , с. 166.

[5] Шенеманн (1850) , с. 188.

[6] Кассельс и Фрелих (1967) , стр. 22–23, «Местные поля».

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]