Кольцо Нагата
В коммутативной алгебре кольцо N-1 представляет собой область целостности. которого интегральное замыкание в своем поле частных является конечно порожденным - модуль . Оно называется японским кольцом (или кольцом N-2 ), если для любого конечного расширения своего поля частных , интегральное замыкание в является конечно порожденным -модуль (или, что то же самое, конечный - алгебра ). Кольцо , называется универсально японским , если каждая конечно порожденная область целостности над ним японская, и называется кольцом Нагаты , названным в честь Масаеси Нагаты или псевдогеометрическим кольцом, если оно нётерово и универсально японское (или, что оказывается то же самое, если оно нётерово и все его факторы по простому идеалу являются N-2 кольцами). Кольцо называется геометрическим, если оно является локальным кольцом алгебраического многообразия или пополнением такого локального кольца. [1] но эта концепция мало используется.
Примеры
[ редактировать ]Поля и кольца полиномов или степенных рядов от конечного числа неопределенных над полями являются примерами японских колец. Другим важным примером является нетерова целозамкнутая область (например, область Дедекинда ), имеющая совершенное поле частных . С другой стороны, область главных идеалов или даже кольцо дискретного нормирования не обязательно являются японскими.
Любое квазиотличное кольцо является кольцом Нагаты, поэтому, в частности, почти все нётеровы кольца, встречающиеся в алгебраической геометрии, являются кольцами Нагаты.Первый пример нетерова области, не являющейся кольцом Нагаты, был приведен Акизуки (1935) .
Вот пример кольца дискретной оценки, которое не является японским кольцом. Выберите простое бесконечной степени и расширение поля характеристики поле , такой, что . Пусть кольцо дискретного нормирования быть кольцом формального степенного ряда над коэффициенты которого порождают конечное расширение . Если какой-либо формальный степенной ряд не входит в затем кольцо не является кольцом N-1 (его целое замыкание не является конечно порожденным модулем), поэтому это не японское кольцо.
Если является подкольцом кольца полиномов в бесконечном числе генераторов, порожденных квадратами и кубами всех генераторов, и получается из путем присоединения обратных ко всем элементам, не входящим ни в один из идеалов, порожденных некоторыми , затем - это одномерная нётерова область, которая не является кольцом N-1, другими словами, ее целое замыкание в своем поле частных не является конечно порожденным -модуль. Также имеет особенность возврата в каждой замкнутой точке, поэтому множество особых точек не замкнуто.
Цитаты
[ редактировать ]- ^ ( Danilov 2001 )
Ссылки
[ редактировать ]- Акизуки, Ю. (1935), «Некоторые замечания о первичных областях целостности с теоремой о делителях цепи» , Труды Физико-математического общества Японии , 3-я серия, 17 : 327–336
- Босх, Гюнцер, Реммерт, Неархимедов анализ , Springer 1984, ISBN 0-387-12546-9
- Данилов, В.И. (2001) [1994], «геометрическое кольцо» , Энциклопедия Математики , EMS Press
- А. Гротендик, Ж. Дьедонне, Элементы алгебраической геометрии , Гл. 0 IV § 23, Опубл. Математика. IHÉS 20 (1964).
- Х. Мацумура, Коммутативная алгебра ISBN 0-8053-7026-9 , глава 12.
- Нагата, Масаёси Местные кольца. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, № 13 Interscience Publishers, подразделение John Wiley & Sons, Нью-Йорк-Лондон, 1962 г., переиздано RE Krieger Pub. Ко (1975) ISBN 0-88275-228-6