Интегрально закрытая область

В коммутативной алгебре A целозамкнутая область — это область целостности которой , целостным замыканием в своем поле частных является A. сама Вкратце это означает, что если x является элементом поля частных A , который является корнем монического многочлена с коэффициентами из A, то x сам является элементом A. Многие хорошо изученные области являются целозамкнутыми, как показано следующей цепочкой включений классов :

rngs ⊃ кольца ⊃ коммутативные кольца ⊃ области целостности ⊃ целозамкнутые области ⊃ области НОД ⊃ области уникальной факторизации ⊃ области главных идеалов ⊃ евклидовы области ⊃ поля ⊃ алгебраически замкнутые поля

Ярким примером является кольцо целых чисел Z , евклидова область . Все регулярные локальные кольца также целозамкнуты.

Кольцо, локализациями которого во всех простых идеалах являются целозамкнутые области, является нормальным кольцом .

Основные свойства

Пусть A целозамкнутая область с полем частных K и L — расширение поля K. — Тогда x ∈ L является целым над A тогда и только тогда, когда он алгебраичен над K и его минимальный многочлен над K имеет коэффициенты из A . ^[1] В частности, это означает, что любой элемент L , интеграл по A, является корнем монического многочлена в A [ X ], который неприводим в K [ X ].

Если A — область, содержащаяся в поле , мы можем рассмотреть целостное замыкание A K в K (т.е. набор всех элементов K , которые являются целыми над A ). Это целостное замыкание представляет собой целозамкнутую область.

Интегрально замкнутые области также играют роль в гипотезе теоремы спуска . Теорема утверждает, что если A ⊆ B — целочисленное расширение областей и A — целозамкнутая область, то выполняется свойство спуска для расширения A ⊆ B .

Примеры

Ниже приведены целозамкнутые области.

Область главного идеала (в частности: целые числа и любое поле).
Уникальная область факторизации (в частности, любое кольцо многочленов над полем, над целыми числами или над любой уникальной областью факторизации).
Домен GCD (в частности, любой домен Безу или домен оценки ).
Домен Дедекинда .
над Симметричная алгебра полем (поскольку каждая симметрическая алгебра изоморфна кольцу многочленов от нескольких переменных над полем).
Позволять $k$ быть полем характеристики не 2 и $S=k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ полиномиальное кольцо над ним. Если $f$ представляет собой бесквадратный непостоянный полином от $S$ , затем $S[y]/(y^{2}-f)$ является целозамкнутой областью. ^[2] В частности, $k[x_{0},\dots ,x_{r}]/(x_{0}^{2}+\dots +x_{r}^{2})$ является целозамкнутой областью, если $r\geq 2$ . ^[3]

Чтобы привести не пример, ^[4] пусть k — поле и $A=k[t^{2},t^{3}]\subset k[t]$ , подалгебра, порожденная t ² и т ³. Тогда А не целозамкнуто: оно имеет поле частных $k(t)$ и монический полином $X^{2}-t^{2}$ в переменной X имеет корень t , который находится в области дробей, а не в A. Это связано с тем, что плоская кривая $Y^{2}=X^{3}$ имеет особенность в начале координат.

Другая область, которая не является целозамкнутой, — это $A=\mathbb {Z} [{\sqrt {5}}]$ ; его поле дробей содержит элемент ${\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}$ , которого нет в A, но удовлетворяет моническому многочлену $X^{2}-X-1=0$ .

Нётерова целозамкнутая область

Для нетеровой локальной области A размерности один следующие утверждения эквивалентны.

А является целозамкнутым.
Максимальный идеал A является главным.
A — кольцо дискретного нормирования (что эквивалентно A — дедекиндово).
A — обычное локальное кольцо.

Пусть A — нётерова область целостности. Тогда A целозамкнут тогда и только тогда, когда (i) A является пересечением всех локализаций $A_{\mathfrak {p}}$ над главными идеалами ${\mathfrak {p}}$ высоты 1 и (ii) локализации $A_{\mathfrak {p}}$ в идеальном состоянии ${\mathfrak {p}}$ высоты 1 является кольцом дискретного нормирования.

Нётерово кольцо является областью Крулля тогда и только тогда, когда оно является целозамкнутой областью.

В ненетеровом случае имеет место следующее: область целостности целозамкнута тогда и только тогда, когда она является пересечением всех содержащих ее колец нормирования .

Обычные кольца

Авторы, в том числе Серр , Гротендик и Мацумура, определяют нормальное кольцо как кольцо, локализация которого в простых идеалах является целозамкнутой областью. Такое кольцо обязательно является приведенным кольцом , ^[5] и это иногда включается в определение. В общем, если A — нётерово кольцо, все локализации которого в максимальных идеалах являются областями, то A — конечное произведение областей. ^[6] В частности, если A — нётерово нормальное кольцо, то области в произведении являются целозамкнутыми областями. ^[7] И наоборот, любое конечное произведение целозамкнутых областей является нормальным. В частности, если $\operatorname {Spec} (A)$ нётерова, нормальна и связна, то A — целозамкнутая область. (ср. гладкая разновидность )

Пусть А — нётерово кольцо. Тогда ( критерий Серра ) A нормален тогда и только тогда, когда он удовлетворяет следующему: для любого простого идеала ${\mathfrak {p}}$ ,

Если ${\mathfrak {p}}$ имеет высоту $\leq 1$ , затем $A_{\mathfrak {p}}$ является регулярным (т.е. $A_{\mathfrak {p}}$ является кольцом дискретного нормирования .)
Если ${\mathfrak {p}}$ имеет высоту $\geq 2$ , затем $A_{\mathfrak {p}}$ имеет глубину $\geq 2$ . ^[8]

Пункт (i) часто формулируется как «регулярный в коразмерности 1». Примечание (i) подразумевает, что множество ассоциированных простых чисел $Ass(A)$ не имеет вложенных простых чисел , и, когда (i) имеет место, (ii) означает, что $Ass(A/fA)$ не имеет встроенного простого числа для любого ненолевого делителя f . В частности, кольцо Коэна-Маколея удовлетворяет (ii). Геометрически мы имеем следующее: если X — локальное полное пересечение в неособом многообразии; ^[9] например, X само по себе неособо, тогда X является Коэном-Маколеем; то есть стебли ${\mathcal {O}}_{p}$ структурного пучка являются Коэном-Маколеем для всех простых идеалов p. Тогда мы можем сказать: X нормально . (т. е. все стебли его структурного пучка нормальны) тогда и только тогда, когда оно регулярно в 1 коразмерности

Полностью интегрально закрытые домены

Пусть A — область, а K — поле частных. Элемент x в K называется почти целым над A, если подкольцо A [ x ] кольца K, порожденное A и x, является дробным идеалом кольца A ; то есть, если существует ненулевое $d\in A$ такой, что $dx^{n}\in A$ для всех $n\geq 0$ . Тогда A называется вполне целозамкнутым , если каждый почти целый элемент из K содержится в A . Полностью целозамкнутая область является целозамкнутой. И наоборот, нетерова целозамкнутая область вполне целозамкнута.

Предположим, что A полностью целозамкнута. формальных степенных рядов Тогда кольцо $A[[X]]$ полностью закрыта. ^[10] Это важно, поскольку аналог неверен для целозамкнутой области: пусть R — область нормирования высотой не менее 2 (которая целозамкнута). Затем $R[[X]]$ не является целостно замкнутым. ^[11] Пусть L — поле расширения K . Тогда целое замыкание A в L вполне целозамкнуто. ^[12]

Область целостности вполне целозамкнута тогда и только тогда, когда моноид дивизоров A является группой. ^[13]

«Целостно закрытый» строящийся объект

Следующие условия эквивалентны для области целостности A :

А целозамкнут;
Ap _p локализация A относительно ( ) целозамкнута для любого простого идеала p ;
A _m целозамкнут для любого максимального идеала m .

1 → 2 непосредственно следует из сохранения целого замыкания при локализации; 2 → 3 тривиально; 3 → 1 является результатом сохранения целого замыкания при локализации, точности локализации и того свойства, что A -модуль M равен нулю тогда и только тогда, когда его локализация относительно каждого максимального идеала равна нулю.

Напротив, «цельнозамкнутый» не пропускает частное, поскольку Z [t]/(t ²+4) не является цельнозакрытым.

Локализация вполне целозамкнутой области не обязательно должна быть полностью целозамкнутой. ^[14]

Прямым пределом целозамкнутой области является целозамкнутая область.

Модули над целозамкнутой областью

Пусть А — нётерова целозамкнутая область.

Идеал I группы A является дивизориальным тогда и только тогда, когда каждое ассоциированное с ним простое число A / I имеет высоту единицу. ^[15]

Обозначим через P множество всех простых идеалов в A высоты один. Если T — конечно порожденный модуль кручения, можно положить:

\chi (T)=\sum _{p\in P}\operatorname {length} _{p}(T)p

,

что имеет смысл как формальная сумма; то есть делитель. Мы пишем $c(d)$ для класса делителей d . Если $F,F'$ являются максимальными подмодулями модуля M , то $c(\chi (M/F))=c(\chi (M/F'))$ ^[16] и $c(\chi (M/F))$ обозначается (у Бурбаки) через $c(M)$ .

См. также

Одноветвевое локальное кольцо

Цитаты

^ Мацумура, Теорема 9.2
^ Хартсхорн 1977 , гл. II, Упражнение 6.4.
^ Хартсхорн 1977 , гл. II, Упражнение 6.5. (а)
^ Взято из Мацумуры.
^ Если все локализации в максимальных идеалах коммутативного кольца R являются приведенными кольцами (например, областями), то R приведено. Доказательство . Предположим, что x не равен нулю в R и x ²=0. Аннулятор идеале ann( x ) содержится в некотором максимальном ${\mathfrak {m}}$ . Теперь образ x отличен от нуля в локализации R в точке ${\mathfrak {m}}$ с $x=0$ в ${\mathfrak {m}}$ означает $xs=0$ для некоторых $s\not \in {\mathfrak {m}}$ но потом $s$ находится в аннуляторе x , противоречие. Это показывает, что R локализован в ${\mathfrak {m}}$ не снижается.
^ Капланский, Теорема 168, стр. 119.
^ Мацумура 1989, с. 64
^ Мацумура, Коммутативная алгебра, стр. 125. Для области эта теорема принадлежит Круллю (1931). Общий случай принадлежит Серру.
^ над алгебраически замкнутым полем
^ Упражнения в Мацумуре.
^ Мацумура, Упражнение 10.4.
^ Учения в Бурбаки.
^ Бурбаки 1972 , Гл. VII, § 1, н. 2, Теорема 1
^ Учения в Бурбаки.
^ Бурбаки 1972 , Гл. VII, § 1, н. 6. Предложение 10.
^ Бурбаки 1972 , Гл. VII, § 4, н. 7

Ссылки

Бурбаки, Николя (1972). Коммутативная алгебра . Париж: Германн.
Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9 , МР 0463157
Каплански, Ирвинг (сентябрь 1974 г.). Коммутативные кольца . Лекции по математике. Издательство Чикагского университета . ISBN 0-226-42454-5 .
Мацумура, Хидеюки (1989). Коммутативная теория колец . Кембриджские исследования по высшей математике (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-36764-6 .
Мацумура, Хидеюки (1970). Коммутативная алгебра . ISBN 0-8053-7026-9 .

[1] Мацумура, Теорема 9.2

[2] Хартсхорн 1977 , гл. II, Упражнение 6.4.

[3] Хартсхорн 1977 , гл. II, Упражнение 6.5. (а)

[4] Взято из Мацумуры.

[5] Если все локализации в максимальных идеалах коммутативного кольца R являются приведенными кольцами (например, областями), то R приведено. Доказательство . Предположим, что x не равен нулю в R и x ²=0. Аннулятор идеале ann( x ) содержится в некотором максимальном ${\mathfrak {m}}$ . Теперь образ x отличен от нуля в локализации R в точке ${\mathfrak {m}}$ с $x=0$ в ${\mathfrak {m}}$ означает $xs=0$ для некоторых $s\not \in {\mathfrak {m}}$ но потом $s$ находится в аннуляторе x , противоречие. Это показывает, что R локализован в ${\mathfrak {m}}$ не снижается.

[6] Капланский, Теорема 168, стр. 119.

[7] Мацумура 1989, с. 64

[8] Мацумура, Коммутативная алгебра, стр. 125. Для области эта теорема принадлежит Круллю (1931). Общий случай принадлежит Серру.

[9] над алгебраически замкнутым полем

[10] Упражнения в Мацумуре.

[11] Мацумура, Упражнение 10.4.

[12] Учения в Бурбаки.

[13] Бурбаки 1972 , Гл. VII, § 1, н. 2, Теорема 1

[14] Учения в Бурбаки.

[15] Бурбаки 1972 , Гл. VII, § 1, н. 6. Предложение 10.

[16] Бурбаки 1972 , Гл. VII, § 4, н. 7

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]