Оценочное кольцо

В абстрактной алгебре кольцо нормирования — это область целостности D такая, что для каждого ненулевого элемента x его поля частных F хотя бы один из x или x ⁻¹ принадлежит Д.

Для данного поля F , если D является подкольцом F x таким, что либо , либо x ⁻¹ принадлежит D ненулевого x в F , то D называется кольцом нормирования поля F или местом в F. для каждого Поскольку F в этом случае действительно является полем частных D , кольцо нормирования поля является кольцом нормирования. Другой способ охарактеризовать кольца нормирования поля F состоит в том, что кольца нормирования D поля F имеют F в качестве поля частных, а их идеалы упорядочены полностью путем включения ; или, что то же самое, их главные идеалы полностью упорядочены путем включения. В частности, каждое нормированное кольцо является локальным кольцом .

Кольца нормирования поля — это максимальные элементы множества локальных подколец в поле, частично упорядоченных по доминированию или уточнению . ^[1] где

(A,{\mathfrak {m}}_{A})

доминирует

(B,{\mathfrak {m}}_{B})

если

A\supseteq B

и

{\mathfrak {m}}_{A}\cap B={\mathfrak {m}}_{B}

. ^[2]

Каждое локальное кольцо в поле K мажорируется некоторым кольцом нормирования K. поля

Область целостности, локализация которой в любом простом идеале является кольцом нормирования, называется областью Прюфера .

Определения

Существует несколько эквивалентных определений кольца оценок (характеристику с точки зрения доминирования см. ниже). Для области целостности D и ее поля частных K следующие условия эквивалентны:

Для каждого ненулевого x в K хотя бы один из x или x ⁻¹ в Д. находится
Идеалы D по полностью упорядочены включению.
Главные идеалы D по полностью упорядочены включению (т.е. элементы в D полностью упорядочены до единиц с точностью по делимости ).
Существует полностью упорядоченная абелева группа Γ (называемая группой значений ) и нормирование ν: K → Γ ∪ {∞} с D = { x ∈ K | ν( х ) ≥ 0 }.

Эквивалентность первых трех определений легко вытекает. Теорема ( Крулл, 1939 ) утверждает, что любое кольцо , удовлетворяющее первым трем условиям, удовлетворяет четвертому: возьмем Γ в качестве фактора K ^×/ Д ^× единичной группы K и единичной группой D возьмем ν в качестве естественной проекции. Мы можем превратить Γ в полностью упорядоченную группу , объявив вычетные классы элементов группы D «положительными». ^[а]

Более того, для любой вполне упорядоченной абелевой группы Γ существует кольцо нормирования D с группой значений Γ (см. ряд Хана ).

Из того факта, что идеалы кольца нормирования полностью упорядочены, можно заключить, что кольцо нормирования является локальной областью и что каждый конечно порожденный идеал кольца нормирования является главным (т. е. кольцо нормирования является областью Безу ). Фактически, это теорема Крулля о том, что область целостности является кольцом нормирования тогда и только тогда, когда она является локальной областью Безу. ^[3] Отсюда следует также, что кольцо нормирования нётерово тогда и только тогда, когда оно является областью главных идеалов . В этом случае оно либо является полем, либо имеет ровно один ненулевой простой идеал; в последнем случае оно называется кольцом дискретного нормирования . (По соглашению поле не является кольцом дискретного нормирования.)

Группа значений называется дискретной , если она изоморфна аддитивной группе целых чисел , а кольцо нормирования имеет группу дискретного нормирования тогда и только тогда, когда оно является кольцом дискретного нормирования . ^[4]

Очень редко кольцо оценки может относиться к кольцу, которое удовлетворяет второму или третьему условию, но не обязательно является доменом. Более распространенный термин для этого типа колец — однорядное кольцо .

Примеры

Любое поле $\mathbb {F}$ является оценочным кольцом. Например, поле рациональных функций $\mathbb {F} (X)$ об алгебраическом многообразии $X$ . ^[5]^[6]
Простой пример - это область целостности. $\mathbb {C} [X]$ поскольку инверсия общего $f/g\in \mathbb {C} (X)$ является $g/f\not \in \mathbb {C} [X]$ .
Поле силового ряда :

\mathbb {F} ((X))=\left\{f(X)=\!\sum _{i>-\infty }^{\infty }a_{i}X^{i}\,:\ a_{i}\in \mathbb {F} \right\}

имеет оценку

v(f)=\inf \nolimits _{a_{n}\neq 0}n

. Подкольцо

\mathbb {F} [[X]]

также является оценочным кольцом.

$\mathbb {Z} _{(p)},$ локализация целых чисел $\mathbb {Z}$ в простом идеале ( p ), состоящем из отношений, где числитель — любое целое число, а знаменатель не делится на p . Поле дробей – это поле рациональных чисел $\mathbb {Q} .$
Кольцо мероморфных функций на всей комплексной плоскости , имеющих ряд Маклорена ( разложение в ряд Тейлора в нуле), является кольцом нормирования. Полем дробей являются функции, мероморфные на всей плоскости. Если f не имеет ряда Маклорена, то он есть у 1/ f .
Любое кольцо p -адических целых чисел $\mathbb {Z} _{p}$ для данного простого числа p является локальным кольцом с полем частных p -адических чисел. $\mathbb {Q} _{p}$ . Интегральное закрытие $\mathbb {Z} _{p}^{\text{cl}}$ целых p -адических чисел также является локальным кольцом с полем дробей $\mathbb {Q} _{p}^{\text{cl}}$ ( алгебраическое замыкание p -адических чисел). Оба $\mathbb {Z} _{p}$ и $\mathbb {Z} _{p}^{\text{cl}}$ являются оценочными кольцами.
Пусть k — упорядоченное поле . Элемент k называется конечным, если он лежит между двумя целыми числами n < x < m ; в противном случае его называют бесконечным. Множество D конечных элементов поля k является кольцом нормирования. Множество элементов x таких, что x ∈ D и x ⁻¹ ∉ D — множество бесконечно малых элементов; и элемент x такой, что x ∉ D и x ⁻¹ ∈ D называется бесконечным.
Кольцо F конечных элементов гипервещественного поля * R (упорядоченное поле, содержащее действительные числа ) является кольцом нормирования * R . F состоит из всех гипердействительных чисел, отличающихся от стандартного действительного на бесконечно малую величину, что эквивалентно высказыванию гипердействительного числа x такого, что − n < x < n для некоторого стандартного целого числа n . Поле вычетов , конечные гипердействительные числа по модулю идеала бесконечно малых гипердействительных чисел, изоморфно действительным числам.
Типичный геометрический пример — алгебраические плоские кривые . Рассмотрим кольцо полиномов $\mathbb {C} [x,y]$ и неприводимый полином $f$ в этом ринге. Затем кольцо $\mathbb {C} [x,y]/(f)$ — кольцо полиномиальных функций на кривой $\{(x,y):f(x,y)=0\}$ . Выберите точку $P=(P_{x},P_{y})\in \mathbb {C} ^{2}$ такой, что $f(P)=0$ и это правильная точка на кривой; т. е. локальное кольцо R в точке является регулярным локальным кольцом размерности Крулля один или кольцом дискретного нормирования .
Например, рассмотрим включение $(\mathbb {C} [[X^{2}]],(X^{2}))\hookrightarrow (\mathbb {C} [[X]],(X))$ . Все это подкольца в области ограниченных снизу степенных рядов. $\mathbb {C} ((X))$ .

Доминирование и интегральная замкнутость

Единицы x или обратимые элементы кольца нормирования — это элементы в D такие , что x ⁻¹ является членом D. также Другие элементы D не имеют обратного в D и образуют идеал M. , называемые неединицами , является максимальным среди (полностью упорядоченных) идеалов D. Поскольку M — идеал , факторкольцо D / M является полем, называемым полем вычетов D. максимальный Этот идеал

В общем, мы говорим локальное кольцо $(S,{\mathfrak {m}}_{S})$ доминирует на местном ринге $(R,{\mathfrak {m}}_{R})$ если $S\supseteq R$ и ${\mathfrak {m}}_{S}\cap R={\mathfrak {m}}_{R}$ ; другими словами, включение $R\subseteq S$ является локальным кольцевым гомоморфизмом . Каждое местное кольцо $(A,{\mathfrak {p}})$ в поле K доминирует некоторое кольцо нормирования поля K . Действительно, множество, состоящее из всех подколец R кольца K, содержащих A и $1\not \in {\mathfrak {p}}R$ непусто и индуктивен; таким образом, имеет максимальный элемент $R$ по лемме Цорна . Мы утверждаем, что R — кольцо нормирования. R — локальное кольцо с максимальным идеалом, содержащим ${\mathfrak {p}}R$ по максимальности. Опять же по максимальности оно также целозамкнуто. Теперь, если $x\not \in R$ , то по максимальности ${\mathfrak {p}}R[x]=R[x]$ и таким образом мы можем написать:

1=r_{0}+r_{1}x+\cdots +r_{n}x^{n},\quad r_{i}\in {\mathfrak {p}}R

.

С $1-r_{0}$ является единичным элементом, это означает, что $x^{-1}$ является целым по R ; таким образом, это в R . Это доказывает, что R является кольцом нормирования. ( R доминирует над A, поскольку его максимальный идеал содержит ${\mathfrak {p}}$ по конструкции.)

Локальное кольцо R в поле K является кольцом нормирования тогда и только тогда, когда оно является максимальным элементом множества всех локальных колец, содержащихся в K, частично упорядоченных по доминантности. Это легко следует из вышесказанного. ^[б]

Пусть A — подкольцо поля K и $f:A\to k$ в гомоморфизм кольца алгебраически замкнутое поле k . Тогда f продолжается до кольцевого гомоморфизма $g:D\to k$ , D некоторое кольцо нормирования K, содержащее A . (Доказательство: Пусть $g:R\to k$ — максимальное расширение, которое, очевидно, существует по лемме Цорна. По максимальности R — локальное кольцо с максимальным идеалом, ядро f содержащим . Если S — локальное кольцо, доминирующее над R , то S алгебраично над R ; если не, $S$ содержит кольцо полиномов $R[x]$ до которого продолжается g , что противоречит максимальности. Отсюда следует $S/{\mathfrak {m}}_{S}$ является алгебраическим полевым расширением $R/{\mathfrak {m}}_{R}$ . Таким образом, $S\to S/{\mathfrak {m}}_{S}\hookrightarrow k$ расширяет г ; следовательно, S = R .)

Если подкольцо R поля K содержит кольцо нормирования D поля K , то, согласно определению 1, R также является кольцом нормирования поля K . В частности, R локально и его максимальный идеал стягивается к некоторому простому идеалу из D , скажем, ${\mathfrak {p}}$ . Затем $R=D_{\mathfrak {p}}$ с $R$ доминирует $D_{\mathfrak {p}}$ , которое является кольцом нормирования, поскольку идеалы полностью упорядочены. Это наблюдение сводится к следующему: ^[7] существует биективное соответствие ${\mathfrak {p}}\mapsto D_{\mathfrak {p}},\operatorname {Spec} (D)\to$ множество всех подколец кольца K, содержащих D . В частности, D целозамкнуто, ^[8]^[с] а размерность Крулла D K — это количество собственных подколец кольца , содержащих D .

В действительности, целочисленное замыкание области целостности A в поле частных есть пересечение K A всех колец нормирования K, содержащих A . ^[9] Действительно, интегральное замыкание содержится в пересечении, поскольку кольца нормирования целозамкнуты. Обратно, пусть x принадлежит K но не является целым по A. , Поскольку идеал $x^{-1}A[x^{-1}]$ не $A[x^{-1}]$ , ^[д] он содержится в максимальном идеале ${\mathfrak {p}}$ . Тогда существует кольцо нормирования R , которое доминирует в локализации $A[x^{-1}]$ в ${\mathfrak {p}}$ . С $x^{-1}\in {\mathfrak {m}}_{R}$ , $x\not \in R$ .

Доминирование используется в алгебраической геометрии . Пусть X — алгебраическое многообразие над полем k . Тогда мы говорим о кольце нормирования R в $k(X)$ имеет «центр x на X », если $R$ доминирует на местном ринге ${\mathcal {O}}_{x,X}$ пучка структуры в точке x . ^[10]

Идеалы в оценочных кольцах

Мы можем описать идеалы в кольце нормирования посредством его группы ценностей.

Пусть Г — вполне упорядоченная абелева группа . Подмножество Δ из Γ называется сегментом , если оно непусто и для любого α из Δ любой элемент между −α и α также находится в Δ (включая конечные точки). Подгруппа группы Γ называется изолированной подгруппой, если она является сегментом и является собственной подгруппой.

Пусть D — кольцо нормирования со нормированием v и группой значений Γ. Для любого подмножества A из D положим $\Gamma _{A}$ быть дополнением союза $v(A-0)$ и $-v(A-0)$ в $\Gamma$ . Если I — собственный идеал, то $\Gamma _{I}$ является сегментом $\Gamma$ . Фактически, отображение $I\mapsto \Gamma _{I}$ определяет обращающую включение биекцию между множеством собственных идеалов D и множеством сегментов $\Gamma$ . ^[11] При этом соответствии ненулевые простые идеалы группы D биективно соответствуют изолированным подгруппам группы Γ.

Пример: Кольцо p -адических целых чисел. $\mathbb {Z} _{p}$ представляет собой оценочное кольцо с группой значений $\mathbb {Z}$ . Нулевая подгруппа $\mathbb {Z}$ соответствует единственному максимальному идеалу $(p)\subseteq \mathbb {Z} _{p}$ и всю группу к нулевому идеалу . Максимальный идеал — единственная изолированная подгруппа $\mathbb {Z}$ .

Множество изолированных подгрупп полностью упорядочено по включению. Высота (Γ) группы Γ или ранг r определяется как мощность множества изолированных подгрупп группы Γ. Поскольку ненулевые простые идеалы вполне упорядочены и соответствуют изолированным подгруппам группы Γ, высота Γ равна размерности Крулля кольца нормирования D, связанного с Γ.

Наиболее важным частным случаем является высота один, что эквивалентно тому, что Γ является подгруппой действительных чисел. $\mathbb {R}$ при добавлении (или, что то же самое, положительных действительных чисел $\mathbb {R} ^{+}$ при умножении.) Кольцо нормирования с нормированием высоты единица имеет соответствующее абсолютное значение, определяющее ультраметрическое место . Особым случаем являются кольца дискретного нормирования, упомянутые ранее.

Рациональный ранг rr (Γ) определяется как ранг группы значений как абелевой группы:

\mathrm {dim} _{\mathbb {Q} }(\Gamma \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} ).

Места

Общее определение

Местом D поля K гомоморфизм колец p кольца нормирования поля K называется в некоторое поле такой, что для любого $x\not \in D$ , $p(1/x)=0$ . Образ места — это поле, называемое вычетов p полем . Например, каноническое отображение $D\to D/{\mathfrak {m}}_{D}$ это место.

Пример

Пусть A — дедекиндова область и ${\mathfrak {p}}$ главный идеал. Тогда каноническое отображение $A_{\mathfrak {p}}\to k({\mathfrak {p}})$ это место.

Специализация мест

Мы говорим, что место p специализируется на месте p ′ , обозначаемом $p\rightsquigarrow p'$ , если кольцо нормирования p содержит кольцо нормирования p ' . В алгебраической геометрии мы говорим, что простой идеал ${\mathfrak {p}}$ специализируется на ${\mathfrak {p}}'$ если ${\mathfrak {p}}\subseteq {\mathfrak {p}}'$ . Эти два понятия совпадают: $p\rightsquigarrow p'$ тогда и только тогда, когда простой идеал, соответствующий p, специализируется до простого идеала, соответствующего p ′ в некотором кольце нормирования (напомним, что если $D\supseteq D'$ являются кольцами нормирования одного и того же поля, то D соответствует простому идеалу $D'$ .)

Пример

Например, в поле функции $\mathbb {F} (X)$ некоторого алгебраического многообразия $X$ каждый главный идеал ${\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(R)$ содержится в максимальном идеале ${\mathfrak {m}}$ дает специализацию ${\mathfrak {p}}\rightsquigarrow {\mathfrak {m}}$ .

Примечания

Можно показать: если $p\rightsquigarrow p'$ , затем $p'=q\circ p|_{D'}$ для некоторой позиции q поля вычетов $k(p)$ из п . (Наблюдать $p(D')$ представляет собой оценочное кольцо $k(p)$ и пусть q — соответствующее место; остальное механическое.) Если D — кольцо нормирования p , то его размерность Крулля — это мощность специализаций, отличных от p, до p . Таким образом, для любой точки p с кольцом нормирования D поля K над полем k имеем:

\operatorname {tr.deg} _{k}k(p)+\dim D\leq \operatorname {tr.deg} _{k}K

.

Если p — место и A — подкольцо кольца нормирования p , то $\operatorname {ker} (p)\cap A$ называется центром p в A .

Места в бесконечности

Для функционального поля на аффинном многообразии $X$ существуют оценки, не связанные ни с одним из простых чисел $X$ . Эти оценки называются местами на бесконечности . [1] Например, аффинная линия $\mathbb {A} _{k}^{1}$ имеет функциональное поле $k(x)$ . Место, связанное с локализацией

k\left[{\frac {1}{x}}\right]

в максимальном идеале

{\mathfrak {m}}=\left({\frac {1}{x}}\right)

это место в бесконечности.

Примечания

^ Точнее, Γ полностью упорядочен, определяя $[x]\geq [y]$ тогда и только тогда, когда $xy^{-1}\in D$ где [ x ] и [ y ] — классы эквивалентности в Γ. ср. Эфрат (2006) , с. 39
^ Доказательство: если R — максимальный элемент, то он доминируется кольцом нормирования; таким образом, оно само должно быть оценочным кольцом. Обратно, пусть R — кольцо нормирования, а S — локальное кольцо, которое доминирует над R , но не доминирует над R . Существует x который находится в S , но не находится в R. , Затем $x^{-1}$ находится в R и фактически в максимальном идеале R . Но тогда $x^{-1}\in {\mathfrak {m}}_{S}$ , что абсурдно. быть не может Следовательно, такого S .
^ Чтобы более наглядно увидеть, что кольца нормирования целозамкнуты, предположим, что x ^н + 1 х ^{п -1} + ... + a ₀ = 0. Тогда деление на х ^{п -1} дает нам x = − a ₁ − ... − a ₀ x ^{− п +1}. Если бы x не было в D , то x ⁻¹ будет в D, и это будет выражать x как конечную сумму элементов в D , так что x будет в D , противоречие.
^ В общем, $x^{-1}$ является целым по A тогда и только тогда, когда $xA[x]=A[x].$

Цитаты

^ Хартсхорн 1977 , Теорема I.6.1A.
^ Эфрат 2006 , с. 55.
^ Кон 1968 , Предложение 1.5.
^ Эфрат 2006 , с. 43.
^ Роль колец нормирования в алгебраической геометрии
^ Существует ли риманова поверхность, соответствующая каждому расширению поля? Нужна ли еще какая-нибудь гипотеза?
^ Зариски и Сэмюэл 1975 , гл. VI, Теорема 3.
^ Эфрат 2006 , с. 38.
^ Мацумура 1989 , Теорема 10.4.
^ Хартсхорн 1977 , Глава II. Упражнение 4.5.
^ Зариски и Сэмюэл 1975 , гл. VI, Теорема 15.

Источники

Бурбаки, Николя (1972). Коммутативная алгебра . Элементы математики (Первое изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN 978-020100644-5 .
Кон, П.М. (1968), «Кольца Безу и их подкольца» (PDF) , Proc. Кембриджская философия. Соц. , 64 (2): 251–264, Бибкод : 1968PCPS...64..251C , doi : 10.1017/s0305004100042791 , ISSN 0008-1981 , MR 0222065 , S2CID 123667384 , Zbl 0157.0 8401
Эфрат, Идо (2006), Оценки, упорядочения и К -теория Милнора , Математические обзоры и монографии, том. 124, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 0-8218-4041-Х , Збл 1103.12002
Фукс, Ласло; Сальсе, Луиджи (2001), Модули над ненетеровыми областями , Математические обзоры и монографии, том. 84, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-1963-0 , МР 1794715 , Збл 0973.13001
Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9 , МР 0463157
Крулл, Вольфганг (1939), «Вклад в арифметику коммутативных областей целостности. VI. Общая дискриминантная теорема. Расширения неразветвленных колец», Mathematical Journal , 45 (1): 1–19, doi : 10.1007/BF01580269 , ISSN 0025- 5874 , МР 1545800 , С2КИД 121374449 , Збл 0020.34003
Мацумура, Хидеюки (1989), Коммутативная теория колец , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 8, Перевод с японского Майлза Рида (второе изд.), ISBN 0-521-36764-6 , Збл 0666.13002
Зариски, Оскар ; Сэмюэл, Пьер (1975), Коммутативная алгебра. Том. II , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90171-8 , МР 0389876

[3] Точнее, Γ полностью упорядочен, определяя $[x]\geq [y]$ тогда и только тогда, когда $xy^{-1}\in D$ где [ x ] и [ y ] — классы эквивалентности в Γ. ср. Эфрат (2006) , с. 39

[8] Доказательство: если R — максимальный элемент, то он доминируется кольцом нормирования; таким образом, оно само должно быть оценочным кольцом. Обратно, пусть R — кольцо нормирования, а S — локальное кольцо, которое доминирует над R , но не доминирует над R . Существует x который находится в S , но не находится в R. , Затем $x^{-1}$ находится в R и фактически в максимальном идеале R . Но тогда $x^{-1}\in {\mathfrak {m}}_{S}$ , что абсурдно. быть не может Следовательно, такого S .

[11] Чтобы более наглядно увидеть, что кольца нормирования целозамкнуты, предположим, что x ^н + 1 х ^{п -1} + ... + a ₀ = 0. Тогда деление на х ^{п -1} дает нам x = − a ₁ − ... − a ₀ x ^{− п +1}. Если бы x не было в D , то x ⁻¹ будет в D, и это будет выражать x как конечную сумму элементов в D , так что x будет в D , противоречие.

[13] В общем, $x^{-1}$ является целым по A тогда и только тогда, когда $xA[x]=A[x].$

[FOOTNOTEHartshorne1977Theorem_I.6.1A-1] Хартсхорн 1977 , Теорема I.6.1A.

[FOOTNOTEEfrat200655-2] Эфрат 2006 , с. 55.

[FOOTNOTECohn1968Proposition_1.5-4] Кон 1968 , Предложение 1.5.

[FOOTNOTEEfrat200643-5] Эфрат 2006 , с. 43.

[6] Роль колец нормирования в алгебраической геометрии

[7] Существует ли риманова поверхность, соответствующая каждому расширению поля? Нужна ли еще какая-нибудь гипотеза?

[FOOTNOTEZariskiSamuel1975Ch._VI,_Theorem_3-9] Зариски и Сэмюэл 1975 , гл. VI, Теорема 3.

[FOOTNOTEEfrat200638-10] Эфрат 2006 , с. 38.

[FOOTNOTEMatsumura1989Theorem_10.4-12] Мацумура 1989 , Теорема 10.4.

[FOOTNOTEHartshorne1977Ch_II._Exercise_4.5-14] Хартсхорн 1977 , Глава II. Упражнение 4.5.

[FOOTNOTEZariskiSamuel1975Ch._VI,_Theorem_15-15] Зариски и Сэмюэл 1975 , гл. VI, Теорема 15.

[1]

[2]

[а]

[3]

[4]

[5]

[6]

[б]

[7]

[8]

[с]

[9]

[д]

[10]

[11]