Jump to content

Обычное кольцо фон Неймана

(Перенаправлено с «Абсолютно плоское кольцо »)

В математике регулярное кольцо фон Неймана это кольцо R (ассоциативное, с 1, не обязательно коммутативное), такое, что для каждого элемента a в R существует x в R с a = axa . Можно думать о x как о «слабом обратном» элементе a; в общем случае x не определяется однозначно a . Регулярные кольца фон Неймана также называют абсолютно плоскими кольцами , поскольку эти кольца характеризуются тем, что каждый левый - модуль плоский R .

Регулярные кольца фон Неймана были введены фон Нейманом ( 1936 ) под названием «регулярные кольца» в ходе его изучения алгебр фон Неймана и непрерывной геометрии . Регулярные кольца фон Неймана не следует путать с несвязанными регулярными кольцами и регулярными локальными кольцами коммутативной алгебры .

Элемент a кольца называется регулярным элементом фон Неймана, если существует x такой, что a = axa . [1] Идеал называется регулярным идеалом (фон Неймана) , если для каждого элемента a из существует элемент x в такой, что а = акса . [2]

Каждое поле (и каждое тело ) регулярно по фон Нейману: для a ≠ 0 мы можем взять x = a −1 . [1] Область целостности является регулярной по фон Нейману тогда и только тогда, когда она является полем. Каждое прямое произведение регулярных колец фон Неймана снова регулярно по фон Нейману.

Другой важный класс примеров регулярных колец фон Неймана — это кольца Mn K ) квадратных матриц n × n размером с элементами из некоторого поля K. ( Если r ранг A ( Mn метод K ) , исключения Гаусса дает обратимые матрицы U и V такие, что

(где I r r на размером r единичная матрица ). Если мы положим X = V −1 В −1 , затем

В более общем смысле, кольцо матриц размера n × n над любым регулярным кольцом фон Неймана снова является регулярным по фон Нейману. [1]

Если V векторное пространство над полем (или телом ) K , то кольцо эндоморфизмов End K ( V ) регулярно по фон Нейману, даже если V не конечномерно. [3]

Обобщая приведенные выше примеры, предположим, что S некоторое кольцо и M S -модуль такой, что каждый подмодуль M является прямым слагаемым M (такие модули M называются полупростыми ). Тогда кольцо эндоморфизмов End S ( M ) регулярно по фон Нейману. В частности, каждое полупростое кольцо регулярно по фон Нейману. Действительно, полупростые кольца представляют собой в точности нётеровы регулярные кольца фон Неймана.

Кольцо присоединенных операторов конечной алгебры фон Неймана регулярно по фон Нейману.

Булево кольцо , в котором каждый элемент удовлетворяет это кольцо 2 = а . Каждое булево кольцо регулярно по фон Нейману.

Следующие утверждения эквивалентны для кольца R :

Соответствующие утверждения для правых модулей также эквивалентны тому, что R регулярен по фон Нейману.

Каждое регулярное кольцо фон Неймана имеет радикал Джекобсона {0} и, следовательно, является полупримитивным (также называемым «полупростым по Якобсону»).

В коммутативном регулярном кольце фон Неймана для каждого элемента x существует уникальный элемент y такой, что xyx = x и yxy = y , поэтому существует канонический способ выбора «слабого обратного» к x .

Следующие утверждения эквивалентны для коммутативного кольца R :

Кроме того, следующие утверждения эквивалентны: для коммутативного кольца A

Обобщения и специализации

[ редактировать ]

Специальные типы регулярных колец фон Неймана включают единичные регулярные кольца , сильно регулярные кольца фон Неймана и ранговые кольца .

Кольцо R называется единично регулярным , если для любого a из R существует единица u из R такая, что a = aua . Каждое полупростое кольцо единично регулярно, а единично регулярные кольца являются прямо конечными кольцами . Обычное регулярное кольцо фон Неймана не обязательно должно быть прямо конечным.

Кольцо R называется сильно регулярным по фон Нейману , если для каждого a в R существует некоторый x в R такой, что a = aax . Состояние лево-правосимметричное. Сильно регулярные кольца фон Неймана единично регулярны. Всякое сильно регулярное кольцо фон Неймана является подпрямым тел произведением . В некотором смысле это более точно имитирует свойства коммутативных регулярных колец фон Неймана, которые являются подпрямыми произведениями полей. Для коммутативных колец регулярные по фон Нейману и сильно регулярные по фон Нейману эквивалентны. эквивалентны следующие условия В общем случае для кольца R :

  • R сильно регулярен по фон Нейману.
  • R регулярен по фон Нейману и приведен
  • R регулярен по фон Нейману, и каждый идемпотент в R является центральным.
  • Каждый главный левый идеал кольца R порождается центральным идемпотентом

Обобщения регулярных колец фон Неймана включают π -регулярные кольца, левые/правые полунаследственные кольца , левые/правые неособые кольца и полупримитивные кольца .

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  • Бурклунд, Роберт; Слим, Томер М.; Юань, Аллен (20 июля 2022 г.). «Теорема хроматического нуля». п. 50. arXiv : 2207.09929 [ math.AT ].
  • Каплански, Ирвинг (1972), Поля и кольца , Чикагские лекции по математике (второе изд.), University of Chicago Press, ISBN  0-226-42451-0 , Збл   1001,16500
  • Михлер, ГО; Вилламайор, Огайо (апрель 1973 г.). «О кольцах, простые модули которых инъективны» . Журнал алгебры . 25 (1): 185–201. дои : 10.1016/0021-8693(73)90088-4 . hdl : 20.500.12110/paper_00218693_v25_n1_p185_Michler .
  • Скорняков, Л.А. (2001) [1994], "Регулярное кольцо (в смысле фон Неймана)" , Энциклопедия Математики , EMS Press
  • фон Нейман, Джон (1936), «О регулярных кольцах», Proc. Натл. акад. наук. США , 22 (12): 707–713, Bibcode : 1936PNAS...22..707V , doi : 10.1073/pnas.22.12.707 , JFM   62.1103.03 , PMC   1076849 , PMID   16577757 , Zbl   0015.38 802

Дальнейшее чтение

[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: f54e7c29577301d262bc6fb330b81c98__1700864520
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/f5/98/f54e7c29577301d262bc6fb330b81c98.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Von Neumann regular ring - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)