Аффилированный оператор

В математике для изучения модулей , дочерние операторы были введены Мюрреем и фон Нейманом в теорию алгебр фон Неймана как метод использования неограниченных операторов порожденных одним вектором. Позже Атья и Сингер показали, что теоремы об индексе для эллиптических операторов на замкнутых многообразиях с бесконечной фундаментальной группой могут быть естественным образом сформулированы в терминах неограниченных операторов, связанных с алгеброй фон Неймана группы. Алгебраические свойства присоединенных операторов оказались важными в L ² когомологии — область между анализом и геометрией , возникшая в результате изучения таких теорем об индексах.

Определение

Пусть M — алгебра фон Неймана, в гильбертовом пространстве H. действующая Замкнутый если и плотно определенный оператор называется присоединенным к M , A коммутирует с каждым унитарным оператором U из коммутанта M A . Эквивалентные условияэто:

каждое унитарное U в М' должно оставлять инвариантным график А, определяемый формулой $G(A)=\{(x,Ax):x\in D(A)\}\subseteq H\oplus H$ .
проекция на G ( A ) должна лежать в ( _M2 M ) .
каждое унитарное U в M' должно переносить D ( A ), область определения A , на себя и удовлетворять UAU* = A. там
каждое унитарное U в M' должно коммутировать с обоими разложения A. полярного операторами

Последнее условие следует из единственности полярного разложения. Если A имеет полярное разложение

A=V|A|,\,

он говорит, что частичная изометрия V должна лежать в M и что положительный самосопряженный оператор |A| должен быть связан М. с Однако по спектральной теореме положительный самосопряженный оператор коммутирует с унитарным оператором тогда и только тогда, когда каждая из его спектральных проекций $E([0,N])$ делает. Это дает еще одно эквивалентное условие:

каждая спектральная проекция | А | и частичная изометрия в полярном разложении A лежит в M .

Измеримые операторы

В общем, операторы, связанные с алгеброй фон Неймана M, не обязательно должны вести себя хорошо ни при сложении, ни при композиции. Однако при наличии точного полуконечного нормального следа τ и стандартного Гельфанда–Наймарка–Сегала действия M на H = L ²( M , τ ), Эдвард Нельсон доказал, что измеримые присоединенные операторы действительно образуют *-алгебру с хорошими свойствами: это операторы такие, что τ( I − E ([0, N ])) < ∞для N достаточно большого. Эта алгебра неограниченных операторов полна для естественной топологии, обобщающей понятие сходимости по мере .Он содержит все некоммутативные L ^п пространства определяются следом и были введены для облегчения их изучения.

Эту теорию можно применить, когда алгебра фон Неймана M имеет тип I или тип II . Когда M = B ( H ), действующий в гильбертовом пространстве L ²( H ) операторов Гильберта–Шмидта дает известную теорию некоммутативных L ^п пространства L ^п ( H ) благодаря Шаттену и фон Нейману .

Когда M, кроме того, является конечной алгеброй фон Неймана, например фактором типа II ₁ , тогда каждый дочерний оператор автоматически измерим, поэтому дочерние операторы образуют *-алгебру , как первоначально наблюдалось в первой статье Мюррея и фон Неймана. В этом случае M — регулярное кольцо фон Неймана : ибо на замыкании его образа |A| имеет измеримую обратную B и тогда T = BV ^* определяет измеримый оператор с ATA = A . Конечно, в классическом случае, когда X — вероятностное пространство и M = L ^∞ ( X ), мы просто восстанавливаем *-алгебру измеримых функций на X .

Однако если М относится к типу III , теория принимает совершенно иную форму. Ведь в этом случае благодаря теории Томиты–Такесаки известно, что некоммутативный L ^п пространства больше не реализуются операторами, связанными с алгеброй фон Неймана. Как показал Конн , эти пространства можно реализовать как неограниченные операторы только при использовании определенной положительной степени эталонного модульного оператора. Вместо того, чтобы характеризоваться простым отношением принадлежности UAU ^* = A существует более сложное бимодульное отношение, включающее аналитическое продолжение группы модулярных автоморфизмов.

Ссылки

А. Конн, Некоммутативная геометрия , ISBN 0-12-185860-X
Дж. Диксмье, Алгебры фон Неймана , ISBN 0-444-86308-7 [Алгебры операторов в гильбертовом пространстве: алгебры фон Неймана, Готье-Виллара (1957 и 1969)]
В. Люк, Л. ²-Инварианты: теория и приложения к геометрии и K-теории (Глава 8: алгебра дочерних операторов) ISBN 3-540-43566-2
Ф. Дж. Мюррей и Дж. фон Нейман, Кольца операторов , Annals of Mathematics 37 (1936), 116–229 (глава XVI).
Э. Нельсон, Заметки о некоммутативном интегрировании , J. Funct. Анальный. 15 (1974), 103–116.
М. Такесаки, Теория операторных алгебр I, II, III , ISBN 3-540-42248-X ISBN 3-540-42914-X ISBN 3-540-42913-1